Das Sierpiński-Dreieck oder Sierpińsky- Sieb , auch Mandelbrot als Sierpiński-Zylinderkopfdichtung bezeichnet , ist ein Fraktal , benannt nach Wacław Sierpiński , der es 1915 beschrieb.
Es kann aus einem "vollen" Dreieck durch eine Unendlichkeit von Wiederholungen erhalten werden, die darin bestehen, die Größe des Dreiecks durch zwei zu teilen und sie dann dreifach durch ihre Eckpunkte zu verbinden, um ein neues Dreieck zu bilden. Bei jeder Wiederholung ist das Dreieck daher gleich groß, aber „immer weniger voll“.
Ein Algorithmus zum Erhalten von Näherungen, die beliebig nahe am Sierpiński-Dreieck liegen, kann auf folgende wiederkehrende Weise geschrieben werden :
Das Fraktal wird nach einer unendlichen Anzahl von Iterationen erhalten . Bei jedem Schritt nimmt die Fläche des Satzes ab und wird mit 3/4 multipliziert.
Das Sierpiński-Dreieck ist der Attraktor des Systems iterierter Funktionen { h a , h b , h c } der drei Homothetien des Verhältnisses 1/2, die an den Eckpunkten a, b und c zentriert sind. Übrigens garantiert die Theorie der Systeme iterierter Funktionen a posteriori die Existenz des Sierpiński-Dreiecks.
Wir wenden das Spiel des Chaos an .
Wenn wir Pascals Dreieck in einen dreieckigen Rahmen einschreiben, ist die Vereinigung von Zellen, die ungerade Terme enthalten, ein Sierpiński-Dreieck.
Hinweis: Dies entspricht der Konstruktion eines Pascal-Dreiecks in
Daraus ergibt sich ein Sierpinski Dreieck ein mit PLC zu Wolfram , Artikel 126, inspiriert durch das Spiel des Lebens von Conway . Dies ermöglicht es beispielsweise , die Muster der Schale des Conus-Textils teilweise zu erklären .
Das Sierpiński-Dreieck hat eine fraktale Dimension oder eine Hausdorff-Dimension gleich log 3 / log 2 oder ungefähr 1,585 . In der Tat ist das Sierpiński-Dreieck die Vereinigung von drei Kopien von sich selbst, die jeweils um den Faktor 1/2 reduziert werden .
Das Sierpiński-Dreieck wird als Logo oder Symbol verwendet. Das Logo der École des Ponts ParisTech repräsentiert ein Sierpiński-Dreieck am Ende der zweiten Iteration.
Die Triforce , ein wichtiges Symbol der Videospielsaga The Legend of Zelda , ist die erste Wiederholung von Sierpińskis Dreieck.
(en) Eric W. Weisstein , „ Sierpiński-Sieb “ , auf MathWorld