Laplace-Transformation

Die Heaviside-Funktion ist 0 für t <0, 1 für t > 0 wert (ihr Wert in 0 hat keine Bedeutung). Da diese Funktion diskontinuierlich ist, kann sie nicht im üblichen Sinne abgeleitet werden. Andererseits ist seine Ableitung im Sinne von Verteilungen die Dirac-Funktion . Er kommt Υ{\ displaystyle \ Upsilon}δ{\ displaystyle \ delta}

L.((δ)=pL.((Υ)- -Υ((0- -)=1- -0=1,{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left (\ delta \ right) = p {\ mathcal {L}} \ left (\ Upsilon \ right) - \ Upsilon \ left (0 ^ {-} \ right) = 1-0 = 1,}

schon seit

L.((Υ)=1p,ℜ((p)>0.{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left (\ Upsilon \ right) = {\ dfrac {1} {p}}, \ Re (p)> 0.}

Beachten Sie, dass wir, wenn wir in der Formel der Ableitungsregel ƒ (0 - ) durch ƒ (0 + ) ersetzen würden, feststellen würden , was falsch ist (wir werden später darauf zurückkommen). Einige Quellen haben möglicherweise diesen Fehler. L.((δ)=0{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left (\ delta \ right) = 0}

In ähnlicher Weise sehen wir manchmal die folgende Definition der Laplace-Transformation:

F.((p)=∫α+∞e- -ptf((t) dt{\ displaystyle F \ left (p \ right) = \ int _ {\ alpha} ^ {+ \ infty} {\ rm {e}} ^ {- pt} f \ left (t \ right) ~ {\ rm { d}} t}

mit , sogar ein Mangel an Präzision an dieser Grenze. Wenn f eine Funktion im üblichen Sinne dieses Ausdrucks mit positiver Unterstützung ist, ist es ein Lebesgue-Integral, das mit dem übereinstimmt, das dem entspricht , da es vom Maß Null ist; in diesem Fall kann man auch ohne Mehrdeutigkeit schreiben . Es ist nicht dasselbe, wenn f eine „verallgemeinerte Funktion“ ist, dh eine Verteilung für Gelfand und Shilov (in) , wenn diese eine Masse ungleich Null am Ursprung hat. Der Prototyp ist die Dirac-Distribution. Algebraisch ist diese Verteilung das neutrale Element in der Faltungsalgebra positiv unterstützter Verteilungen; und da die Laplace-Transformation das Faltungsprodukt in ein gewöhnliches Produkt umwandelt , müssen wir daher die Laplace-Transformation haben . Dies gilt jedoch nur, wenn . In der Tat würden wir mit eine Laplace-Transformation gleich 0 erhalten. Dies wäre umso aberranter, als die Laplace-Transformation nicht injektiv wäre, da . α=0+{\ displaystyle \ alpha = 0 ^ {+}}α=0- -{\ displaystyle \ alpha = 0 ^ {-}}{0}}{\ displaystyle \ left \ {0 \ right \}}α=0{\ displaystyle \ alpha = 0} δ{\ displaystyle \ delta}D.+'{\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {+} ^ {\ prime}}δ{\ displaystyle \ delta}L.((δ)=1{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left (\ delta \ right) = 1}α=0- -{\ displaystyle \ alpha = 0 ^ {-}}α=0+{\ displaystyle \ alpha = 0 ^ {+}}δ≠0{\ displaystyle \ delta \ neq 0}

Multiplikation mit einer Potenz von t

Die Multiplikation mit im Zeitbereich entspricht bis auf das Vorzeichen der n- ten Ableitung der Transformation: tnicht,nicht∈NICHT{\ displaystyle t ^ {n}, n \ in \ mathbb {N}}

L.{tnichtf((t)}}=((- -1)nichtdnichtL.{f}}dpnicht{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {t ^ {n} f \ left (t \ right) \ right \} = \ left (-1 \ right) ^ {n} {\ dfrac {\ mathrm {d} ^ {n} {\ mathcal {L}} \ left \ {f \ right \}} {\ mathrm {d} p ^ {n}}}}

(1) Angenommen, f ist lokal mit positiver Unterstützung integrierbar. Die Laplace-Transformation von f ist daher definiert für , wo die Konvergenzabszisse ist, durch ℜ((p)>α{\ displaystyle \ Re (p)> \ alpha}α{\ displaystyle \ alpha}

L.{f}}((p)=∫0+∞f((t)e- -pt dt{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {f \ right \} (p) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt } ~ {\ rm {d}} t}

Die Funktion ist holomorph . Entweder und . Dann und durch vergleichende Wucherungen ist die Funktion auf [0, + ∞ [integrierbar . Die Funktion ist daher holomorph und ihre Ableitung wird durch Differenzieren unter dem Summenzeichen erhalten  : p↦f((t)e- -pt{\ displaystyle p \ mapsto f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt}}β>α{\ displaystyle \ beta> \ alpha}ℜ((p)>β{\ displaystyle \ Re (p)> \ beta}|tf((t)e- -pt|≤|tf((t)e- -βt|{\ displaystyle \ left \ vert tf \ left (t \ right) {\ rm {e}} ^ {- pt} \ right \ vert \ leq \ left \ vert tf \ left (t \ right) {\ rm {e }} ^ {- \ beta t} \ right \ vert}t↦|tf((t)e- -βt|{\ displaystyle t \ mapsto \ left \ vert tf \ left (t \ right) {\ rm {e}} ^ {- \ beta t} \ right \ vert}p↦∫0+∞f((t)e- -pt dt{\ displaystyle p \ mapsto \ int _ {0} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t}

dL.{f}}dp((p)=∫0+∞f((t)((- -te- -pt) dt=- -L.{tf((t)}}((p){\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} {\ mathcal {L}} \ left \ {f \ right \}} {{\ rm {d}} p}} \ left (p \ right) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} f \ left (t \ right) \ left (-t {\ rm {e}} ^ {- pt} \ right) ~ {\ rm {d}} t = - {\ mathcal {L}} \ left \ {tf \ left (t \ right) \ right \} \ left (p \ right)}

Dies beweist das Ergebnis im Fall n = 1 . Der allgemeine Fall folgt durch Induktion.

(2) Dieses Ergebnis ist weiterhin gültig, wenn f eine Verteilung mit positiver Unterstützung ist.

Die Umkehrformel (für n = -1 ) lautet:

L.{f((t)t}}((p)=∫p∞F.((σ)dσ{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {{\ frac {f (t)} {t}} \ right \} \ left (p \ right) = \ int _ {p} ^ {\ infty} \ mathrm {F} (\ sigma) \, \ mathrm {d} \ sigma}

und es ist gültig, vorausgesetzt, dass f die Form hat, in der g eine verallgemeinerte Funktion mit positiver Unterstützung ist. Eine Möglichkeit, dieses Ergebnis zu demonstrieren, ist unten angegeben. t↦tG((t){\ displaystyle t \ mapsto tg \ left (t \ right)}

∫p∞F.((σ)dσ=∫p∞∫0∞e- -σtf((t)dtdσ=∫0∞f((t)∫p∞e- -σtdσdt=∫0∞f((t)1te- -ptdt=L.{f((t)t}}((p){\ displaystyle \ int _ {p} ^ {\ infty} \ mathrm {F} (\ sigma) \, \ mathrm {d} \ sigma = \ int _ {p} ^ {\ infty} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ mathrm {e} ^ {- \ sigma t} f (t) \, \ mathrm {d} t \, \ mathrm {d} \ sigma = \ int _ {0} ^ {\ infty} f (t) \ int _ {p} ^ {\ infty} \ mathrm {e} ^ {- \ sigma t} \, \ mathrm {d} \ sigma \, \ mathrm {d} t = \ int _ {0 } ^ {\ infty} f (t) {\ frac {1} {t}} \ mathrm {e} ^ {- pt} \, \ mathrm {d} t = {\ mathcal {L}} \ left \ { {\ frac {f (t)} {t}} \ right \} \ left (p \ right)}

Integration

Die Laplace-Transformation eines Integrals (Grundelement von f , das bei 0 verschwindet ) entspricht einer Multiplikation mit 1 / p  :

L.{∫0- -tf((τ)dτ}}=1pL.{f}}{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {\ int _ {0 ^ {-}} ^ {t} f (\ tau) \ mathrm {d} \ tau \ right \} = {\ frac {1 } {p}} {\ mathcal {L}} \ {f \}}

und wenn ƒ eine Funktion mit positiver Unterstützung ist, stetig über [0, + ∞ [ , haben wir für alle a > 0  :

L.{∫beimtf((τ) dτ}}=1pL.{f}}+1p∫beim0f((τ)dτ.{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {\ int _ {a} ^ {t} f (\ tau) ~ {\ rm {d}} \ tau \ right \} = {\ frac {1} {p}} {\ mathcal {L}} \ {f \} + {1 \ über p} \ int _ {a} ^ {0} f (\ tau) \ mathrm {d} \ tau.}

Endwert

Angenommen, f ist lokal mit positiver Unterstützung integrierbar. Wenn die Zeitbereichsgrenze existiert und endlich ist, dann:

limt→+∞f((t)=limp∈R.,p→0+pF.((p).{\ displaystyle \ lim _ {t \ bis + \ infty} f (t) = \ lim _ {p \ in \ mathbb {R}, p \ bis 0 ^ {+}} p \ mathrm {F} (p) .}

(Beachten Sie, dass dies die einzige Eigenschaft ist, bei der für die Variable eine 0 + angezeigt wird .) p{\ displaystyle p}

Entweder . Die Existenz dieser endlichen Grenze impliziert, dass die Konvergenzabszisse der Laplace-Transformation ist . l=limt→+∞f((t){\ displaystyle l = \ lim \ limitiert _ {t \ rightarrow + \ infty} f \ left (t \ right)}F.((p){\ displaystyle F (p)}≤0{\ displaystyle \ leq 0}

Wir haben  ; Die Laplace-Transformation von ist und offensichtlich . Durch Subtrahieren von werden wir daher auf den Fall einer Funktion reduziert, die wiederum mit f bezeichnet wird , so dass . limt→+∞Υ((t)=1{\ displaystyle \ lim _ {t \ to + \ infty} \ Upsilon (t) = 1}Υ{\ displaystyle \ Upsilon}1p{\ displaystyle {\ frac {1} {p}}}limp∈R.,p→0+p1p=1{\ displaystyle \ lim _ {p \ in \ mathbb {R}, p \ bis 0 ^ {+}} p {\ frac {1} {p}} = 1}lΥ((t){\ displaystyle l \ Upsilon (t)}f((t){\ displaystyle f (t)}limt→+∞f((t)=0{\ displaystyle \ lim \ limitiert _ {t \ rightarrow + \ infty} f \ left (t \ right) = 0}

Dann wird für alle gibt es , so dass für alle , . Wir haben ε>0{\ displaystyle \ varepsilon> 0}BEIM>0{\ displaystyle A> 0}t>BEIM{\ displaystyle t> A}|f((t)|≤ε{\ displaystyle \ vert f (t) \ vert \ leq \ varepsilon}

pF.((p)=p∫0BEIMf((t)e- -ptdt+p∫BEIM+∞f((t)e- -pt dt.{\ displaystyle pF (p) = p \ int _ {0} ^ {A} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} dt + p \ int _ {A} ^ {+ \ infty} f \ left (t \ right) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t.}

Lass uns nehmen . Wir haben p∈R.,p>0{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}, p> 0}

|∫0BEIMf((t)e- -pt dt|≤∫0BEIM|f((t)| dt<+∞{\ displaystyle \ left \ vert \ int _ {0} ^ {A} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t \ right \ vert \ leq \ int _ {0} ^ {A} \ vert f (t) \ vert ~ {\ rm {d}} t <+ \ infty}

und folglich

limp∈R.,p→0+p∫0BEIMf((t)e- -pt dt=0.{\ displaystyle \ lim \ limitiert _ {p \ in \ mathbb {R}, p \ rightarrow 0 ^ {+}} p \ int _ {0} ^ {A} f (t) {\ rm {e}} ^ {-pt} ~ {\ rm {d}} t = 0.}

Daher gibt es eine echte solche, dass für undα>0{\ displaystyle \ alpha> 0}p∈R.{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}}0<p<α{\ displaystyle 0 <p <\ alpha}

|p∫0BEIMf((t)e- -pt dt|<ε.{\ displaystyle \ left \ vert p \ int _ {0} ^ {A} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t \ right \ vert <\ varepsilon .}

Andererseits,

|∫BEIM+∞f((t)e- -pt dt|≤∫0+∞εe- -pt dt=εp{\ displaystyle \ left \ vert \ int _ {A} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t \ right \ vert \ leq \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ varepsilon {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t = {\ frac {\ varepsilon} {p}}}

so existiert es so, dass für undβ>0{\ displaystyle \ beta> 0}p∈R.{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}}0<p<β{\ displaystyle 0 <p <\ beta}

|p∫BEIM+∞f((t)e- -pt dt|≤ε.{\ displaystyle \ left \ vert p \ int _ {A} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t \ right \ vert \ leq \ varepsilon.}

Daher, wenn undp∈R.{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}}0<p<Mindest((α,β){\ displaystyle 0 <p <\ min (\ alpha, \ beta)}

|p∫0+∞f((t)e- -pt dt|≤2ε{\ displaystyle \ left \ vert p \ int _ {0} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t \ right \ vert \ leq 2 \ varepsilon}

was dazu führt, wenn zu 0 + tendiert . p∫0+∞f((t)e- -pt dt→0{\ displaystyle p \ int _ {0} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t \ rightarrow 0}p∈R.{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}}

Die angegebenen Hypothesen sind wesentlich, wie die folgenden Gegenbeispiele zeigen:

• Die Funktion lässt als Grenze + ∞ zu, wenn t gegen + ∞ tendiert . Seine Laplace-Transformation ist und . Diese letzte Grenze hat in Wirklichkeit keine Richtung, da die Konvergenzabszisse von F 1 ist, daher gehört 0 nicht zur Adhäsion des Konvergenzfeldes.f::t↦etΥ((t){\ displaystyle f: t \ mapsto {\ rm {e}} ^ {t} \ Upsilon (t)}F.((p)=1p- -1{\ displaystyle F \ left (p \ right) = {\ frac {1} {p-1}}}limp→0pF.((p)=0{\ displaystyle \ lim \ limitiert _ {p \ rightarrow 0} pF \ left (p \ right) = 0}
• Die Funktion lässt keine Begrenzung zu, wenn t zu + ∞ tendiert . Seine Laplace-Transformation ist , die Konvergenzabszisse von F ist 0 und (diese letzte Grenze ist diesmal jedoch korrekt).f::t↦Sünde⁡tΥ((t){\ displaystyle f: t \ mapsto \ sin t \ Upsilon (t)}F.((p)=1p2+1{\ displaystyle F \ left (p \ right) = {\ frac {1} {p ^ {2} +1}}}limp∈R.,p→0+pF.((p)=0{\ displaystyle \ lim \ limitiert _ {p \ in \ mathbb {R}, p \ rightarrow 0 ^ {+}} pF \ left (p \ right) = 0}
• Wenn eine rationale Funktion ist, existiert und endlich ist, wenn und nur wenn die Pole aller zur Vereinigung der offenen linken Halbebene und des Ursprungs gehören, ist der Pol bei 0, falls vorhanden, einfach.F.((p){\ displaystyle F (p)}limt→+∞f((t){\ displaystyle \ lim _ {t \ to + \ infty} f (t)}F.((p){\ displaystyle F (p)}

Ursprünglicher Wert

Wenn es eine endliche Konvergenzabszisse gibt und wenn die Grenze im Zeitbereich existiert, dann: F.((p){\ displaystyle F (p)}

limt→0+f((t)=limp∈R.,p→+∞pF.((p){\ displaystyle \ lim _ {t \ bis 0 ^ {+}} f (t) = \ lim _ {p \ in \ mathbb {R}, p \ bis + \ infty} p \ mathrm {F} (p) }}

(Beachten Sie, dass dies die einzige Eigenschaft ist, bei der für die Variable eine 0 + angezeigt wird .) t{\ displaystyle t}

Entweder . Wir haben  ; Die Laplace-Transformation von ist und offensichtlich . Durch Subtrahieren von werden wir daher auf den Fall einer Funktion reduziert, die wiederum mit f bezeichnet wird , so dass . l=limt→0+f((t){\ displaystyle l = \ lim \ limitiert _ {t \ rightarrow 0 ^ {+}} f \ left (t \ right)}limt→0+Υ((t)=1{\ displaystyle \ lim _ {t \ bis 0 ^ {+}} \ Upsilon (t) = 1}Υ{\ displaystyle \ Upsilon}1p{\ displaystyle {\ frac {1} {p}}}limp∈R.,p→+∞p1p=1{\ displaystyle \ lim _ {p \ in \ mathbb {R}, p \ bis + \ infty} p {\ frac {1} {p}} = 1}lΥ((t){\ displaystyle l \ Upsilon (t)}f((t){\ displaystyle f (t)}limt→0+f((t)=0{\ displaystyle \ lim \ limitiert _ {t \ rightarrow 0 ^ {+}} f \ left (t \ right) = 0}

Entweder . Es existiert durch eine Hypothese , dass für alle t so, dass wir haben . Andererseits, ε>0{\ displaystyle \ varepsilon> 0}η>0{\ displaystyle \ eta> 0}0<t<η{\ displaystyle 0 <t <\ eta}|f((t)|≤ε{\ displaystyle \ vert f (t) \ vert \ leq \ varepsilon}

p∫0+∞f((t)e- -pt dt=ich1+ich2{\ displaystyle p \ int _ {0} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t = I_ {1} + I_ {2 }}

mit

ich1=p∫0ηf((t)e- -pt dt, ich2=p∫η+∞f((t)e- -pt dt.{\ displaystyle I_ {1} = p \ int _ {0} ^ {\ eta} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t, ~ I_ {2 } = p \ int _ {\ eta} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t.}

Sei ein Real, das streng größer ist als die Abszisse der Konvergenz von und . Wir haben α{\ displaystyle \ alpha}F.((p){\ displaystyle F (p)}p∈R., p>α{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}, ~ p> \ alpha}

|ich2|=|p∫η+∞f((t)e- -((p- -α)te- -αt dt|≤pe- -((p- -α)η∫0+∞|f((t)|e- -αt dt{\ displaystyle \ left \ vert I_ {2} \ right \ vert = \ left \ vert p \ int _ {\ eta} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- \ left (p- \ alpha \ right) t} {\ rm {e}} ^ {- \ alpha t} ~ {\ rm {d}} t \ right \ vert \ leq p {\ rm {e}} ^ {- \ left (p- \ alpha \ right) \ eta} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ left \ vert f \ left (t \ right) \ right \ vert {\ rm {e}} ^ { - \ alpha t} ~ {\ rm {d}} t}

wo das richtige Integral konvergent ist, also wann . Daher gibt es eine echte solche, dass sobald und . ich2→0{\ displaystyle I_ {2} \ rightarrow 0}p→+∞{\ displaystyle p \ rightarrow + \ infty}BEIM>0{\ displaystyle A> 0}|ich2|≤ε{\ displaystyle \ left \ vert I_ {2} \ right \ vert \ leq \ varepsilon}p∈R.{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}}p>BEIM{\ displaystyle p> A}

Andererseits,

|ich1|≤pε∫0ηe- -pt dt=ε((1- -e- -pη){\ displaystyle \ left \ vert I_ {1} \ right \ vert \ leq p \ varepsilon \ int _ {0} ^ {\ eta} {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d} } t = \ varepsilon \ left (1 - {\ rm {e}} ^ {- p \ eta} \ right)}

und dieser Begriff tendiert zu wann , daher gibt es ein reales wie sobald und . Endlich für und wir haben ε{\ displaystyle \ varepsilon}p→+∞{\ displaystyle p \ rightarrow + \ infty}B.>0{\ displaystyle B> 0}|ich1|≤2ε{\ displaystyle \ left \ vert I_ {1} \ right \ vert \ leq 2 \ varepsilon}p∈R.{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}}p>B.{\ displaystyle p> B}p∈R.{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}}p>max((BEIM,B.){\ displaystyle p> \ max (A, B)}

|pF.((p)|≤3ε.{\ displaystyle \ left \ vert pF \ left (p \ right) \ right \ vert \ leq 3 \ varepsilon.}

Ist nun beliebig klein, so tendiert dieser Term zu 0, wenn und . ε>0{\ displaystyle \ varepsilon> 0}p∈R.{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}}p→+∞{\ displaystyle p \ rightarrow + \ infty}

Faltung

Die Laplace-Transformation verwandelt das Faltungsprodukt in ein Produkt:

L.{f∗G}}=L.{f}}L.{G}}{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f * g \} = {\ mathcal {L}} \ {f \} {\ mathcal {L}} \ {g \}}

Laplace-Transformation einer periodischen Funktion

Wenn ƒ eine Nullfunktion für t <0 und für t > 0 periodisch mit der Periode T ist , dann fürR.e((p)>0{\ displaystyle Re \ left (p \ right)> 0}

L.{f}}((p)=11- -e- -T.p∫0T.e- -ptf((t)dt.{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f \} (p) = {\ frac {1} {1 - {\ rm {e}} ^ {- Tp}}} \ int _ {0} ^ { T} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t.}

Wir verwenden die Chasles-Beziehung , um das Integral über jede Periode zu zerlegen:

∫0∞e- -ptf((t)dt=∫0T.e- -ptf((t)dt+∫T.2T.e- -ptf((t)dt+∫2T.3T.e- -ptf((t)dt+...{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t = \ int _ {0} ^ {T} { \ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t + \ int _ {T} ^ {2T} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t + \ int _ {2T} ^ {3T} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t + \ ldots}

Wir nehmen eine Änderung der Variablen vor, um die Integrale wieder auf [0, T ] zu bringen.

∫0∞e- -ptf((t)dt=∫0T.e- -puf((u)du+∫0T.e- -p((u+T.)f((u+T.)du+∫0T.e- -p((u+2T.)f((u+2T.)du+...{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, {\ rm {d}} t = \ int _ {0} ^ {T. } {\ rm {e}} ^ {- pu} f (u) \, \ mathrm {d} u + \ int _ {0} ^ {T} {\ rm {e}} ^ {- p (u + T)} f (u + T) \, \ mathrm {d} u + \ int _ {0} ^ {T} {\ rm {e}} ^ {- p (u + 2T)} f (u + 2T ) \, \ mathrm {d} u + \ ldots}

Da ƒ periodisch ist, können wir die Integrale durch vereinfachen

∫0∞e- -ptf((t)dt=∫0T.e- -puf((u)du+e- -pT.∫0T.e- -puf((u)du+e- -2pT.∫0T.e- -puf((u)du+...{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t = \ int _ {0} ^ {T} { \ rm {e}} ^ {- pu} f (u) \, \ mathrm {d} u + {\ rm {e}} ^ {- pT} \ int _ {0} ^ {T} {\ rm { e}} ^ {- pu} f (u) \, \ mathrm {d} u + {\ rm {e}} ^ {- 2pT} \ int _ {0} ^ {T} {\ rm {e}} ^ {-pu} f (u) \, \ mathrm {d} u + \ ldots}

Wir gruppieren die Begriffe:

∫0∞e- -ptf((t)dt=((1+e- -pT.+e- -2pT.+...)∫0T.e- -puf((u)du.{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t = \ left (1 + {\ rm {e} } ^ {- pT} + {\ rm {e}} ^ {- 2pT} + \ ldots \ right) \ int _ {0} ^ {T} {\ rm {e}} ^ {- pu} f (u ) \, \ mathrm {d} u.}

Diese geometrische Reihe konvergiert (weil e - pT <1 ). Er kommt dann

L.{f}}((p)=11- -e- -T.p∫0T.e- -ptf((t)dt.{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f \} (p) = {\ frac {1} {1 - {\ rm {e}} ^ {- Tp}}} \ int _ {0} ^ { T} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t.}

Übersichtstabelle der Eigenschaften der Laplace-Transformation

	Zeitbereich	Domain "p"	Bemerkungen
Linearität	beimf((t)+bG((t){\ displaystyle af (t) + bg (t)}	beimF.((p)+bG((p){\ displaystyle a \ mathrm {F} (p) + b \ mathrm {G} (p)}	Ergebnisse aus den Grundregeln der Integration.
Ableitung der Transformation	tf((t){\ displaystyle tf (t)}	- -F.'((p){\ displaystyle - \ mathrm {F} '(p)}	F.'{\ displaystyle \ mathrm {F} '}ist die erste Ableitung von F.
Ableitungen der Ordnung n der Transformation	tnichtf((t){\ displaystyle t ^ {n} f (t)}	((- -1)nichtF.((nicht)((p){\ displaystyle (-1) ^ {n} \ mathrm {F} ^ {(n)} (p)}	Allgemeinere Form, n- te Ableitung von F ( p ).
Erste Ableitung der Funktion im Zeitbereich	f'((t){\ displaystyle f '(t)}	pF.((p)- -f((0- -){\ displaystyle p \ mathrm {F} (p) -f \ left (0 ^ {-} \ right)}	Es wird angenommen, dass ƒ differenzierbar ist, und es wird angenommen, dass seine Ableitung exponentiell gegen 0 tendiert. Kann durch Teilintegration erhalten werden .
Zweite Ableitung	f″((t){\ displaystyle f '' (t)}	p2F.((p)- -pf((0- -)- -f'((0- -){\ displaystyle p ^ {2} \ mathrm {F} (p) -pf \ left (0 ^ {-} \ right) -f '\ left (0 ^ {-} \ right)}	Es wird angenommen, dass ƒ zweimal differenzierbar ist, wobei die zweite Ableitung exponentiell gegen unendlich konvergiert.
N-te Ableitung von ƒ	f((nicht)((t){\ displaystyle f ^ {(n)} (t)}	pnichtF.((p)- -pnicht- -1f((0- -)- -⋯- -f((nicht- -1)((0- -){\ displaystyle p ^ {n} \ mathrm {F} (p) -p ^ {n-1} f \ left (0 ^ {-} \ right) - \ cdots -f ^ {(n-1)} \ left (0 ^ {-} \ right)}	Es wird angenommen, dass ƒ n- mal differenzierbar ist, mit einer n- ten Ableitung mit exponentieller Konvergenz im Unendlichen.
Integration der Laplace-Transformation	f((t)t{\ displaystyle {\ frac {f (t)} {t}}}	∫p∞F.((σ)dσ{\ displaystyle \ int _ {p} ^ {\ infty} \ mathrm {F} (\ sigma) \, \ mathrm {d} \ sigma}
Integration	∫0tf((τ)dτ=((u∗f)((t){\ displaystyle \ int _ {0} ^ {t} f (\ tau) \, \ mathrm {d} \ tau = (u * f) (t)}	1pF.((p){\ displaystyle {1 \ over p} \ mathrm {F} (p)}	u((t){\ displaystyle u (t)}ist die Sprungfunktion von Heaviside. Der Operator ( u  *  f ) ( t ) ist das Faltungsprodukt von u ( t ) und ƒ ( t ).
Zeitskalendilatation	f((beimt) {\ displaystyle f (at) \}	1|beim|F.((pbeim){\ displaystyle {\ frac {1} {| a |}} \ mathrm {F} \ left ({p \ over a} \ right)}
Offset auf p	ebeimtf((t){\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {at} f (t)}	F.((p- -beim){\ displaystyle \ mathrm {F} (pa)}	Diese Eigenschaft wird manchmal als Dämpfungssatz (oder Modulationssatz ) mit bezeichnet . beim<0{\ displaystyle a <0}
Zeitbereichsverschiebung	f((t- -beim)u((t- -beim){\ displaystyle f (ta) u (ta)}	e- -beimpF.((p){\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {- ap} \ mathrm {F} (p)}	u ( t ) ist die Schrittfunktion von Heaviside (Schrittfunktion)
Multiplikation	f((t)G((t){\ displaystyle f (t) g (t)}	12πichlimT.→∞∫vs.- -ichT.vs.+ichT.F.((σ)G((p- -σ)dσ{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi {\ rm {i}}} \ lim _ {\ mathrm {T} \ to \ infty} \ int _ {c - {\ rm {i}} \ mathrm {T}} ^ {c + {\ rm {i}} \ mathrm {T}} \ mathrm {F} (\ sigma) G (p- \ sigma) \, \ mathrm {d} \ sigma}	Die Integration erfolgt entlang der vertikalen Linie Re (σ) = c, die sich vollständig innerhalb des Konvergenzradius von F befindet.
Faltungsprodukt	((f∗G)((t)=∫0tf((τ)G((t- -τ)dτ{\ displaystyle (f * g) (t) = \ int _ {0} ^ {t} f (\ tau) g (t- \ tau) \, {\ rm {d}} \ tau}	F.((p)⋅G((p){\ displaystyle \ mathrm {F} (p) \ cdot \ mathrm {G} (p)}	ƒ ( t ) und g ( t ) werden zur Definition des Faltungsprodukts erweitert. R.{\ displaystyle \ mathbb {R}}
Komplexe Konjugation	f∗((t){\ displaystyle f ^ {*} (t)}	F.∗((p∗){\ displaystyle \ mathrm {F} ^ {*} (p ^ {*})}
Korrelationsfunktion	f((t)⋆G((t){\ displaystyle f (t) \ star g (t)}	F.∗((- -p∗)⋅G((p){\ displaystyle \ mathrm {F} ^ {*} (- p ^ {*}) \ cdot \ mathrm {G} (p)}
Periodische Funktion	f((t){\ displaystyle f (t)}	11- -e- -T.p∫0T.e- -ptf((t)dt{\ displaystyle {\ frac {1} {1 - {\ rm {e}} ^ {- \ mathrm {T} p}} \ int _ {0} ^ {\ mathrm {T}} {\ rm {e }} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t}	ƒ ( t ) ist eine periodische Funktion der Periode T, so dass . Dies ergibt sich aus der Zeitbereichsverschiebungseigenschaft und den geometrischen Reihen. f((t)=f((t+T.),∀t≥0{\ displaystyle f (t) = f (t + \ mathrm {T}), \; \ forall t \ geq 0}

Einige übliche Transformationen

Die monolaterale Laplace-Transformation gilt nur für Funktionen (möglicherweise verallgemeinert) mit positiver Unterstützung. Es ist aus diesem Grund , dass die Zeitfunktionen dieser Tabelle sind mehrere (oder zusammengesetzt mit) , Funktionsschritt Einheit (Heaviside) . Υ{\ displaystyle \ Upsilon}

	Funktion	Zeitbereich x((t)=L.- -1{X.((p)}}{\ displaystyle x (t) = {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ left \ {\ mathrm {X} (p) \ right \}}	Laplace-Transformation X.((p)=L.{x((t)}}{\ displaystyle \ mathrm {X} (p) = {\ mathcal {L}} \ left \ {x (t) \ right \}}	Konvergenzregion
1	Verzögerte Dirac-Verteilung	δ((t- -τ) {\ displaystyle \ delta (t- \ tau) \}	e- -τp {\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {- \ tau p} \}	∀ p{\ displaystyle \ forall \ p \,}
1a	Verteilung von Dirac	δ((t) {\ displaystyle \ delta (t) \}	1 {\ displaystyle 1 \}	∀ p{\ displaystyle \ forall \ p \,}
2	verzögert exponentiell-monomial	((t- -τ)nichtnicht!e- -α((t- -τ)⋅Υ((t- -τ){\ displaystyle {\ frac {(t- \ tau) ^ {n}} {n!}} {\ rm {e}} ^ {- \ alpha (t- \ tau)} \ cdot \ Upsilon (t- \ tau)}	e- -τp((p+α)nicht+1{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {e}} ^ {- \ tau p}} {(p + \ alpha) ^ {n + 1}}}}	Re⁡((p)>0{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
2a	Potenz n- th	tnichtnicht!⋅Υ((t){\ displaystyle {t ^ {n} \ over n!} \ cdot \ Upsilon (t)}	1pnicht+1{\ displaystyle {1 \ over p ^ {n + 1}}}	Re⁡((p)>0{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
2a.1	q- te Potenz	tqΓ((q+1)⋅Υ((t){\ displaystyle {t ^ {q} \ over \ Gamma (q + 1)} \ cdot \ Upsilon (t)}	1pq+1{\ displaystyle {1 \ over p ^ {q + 1}}}	Re⁡((p)>0{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
2a.2	Einheitenebene	Υ((t) {\ displaystyle \ Upsilon (t) \}	1p{\ displaystyle {1 \ over p}}	Re⁡((p)>0{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
2b	verzögerter Schritt	Υ((t- -τ) {\ displaystyle \ Upsilon (t- \ tau) \}	e- -τpp{\ displaystyle {{\ rm {e}} ^ {- \ tau p} \ over p}}	Re⁡((p)>0{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
2c	Rampe	t⋅Υ((t) {\ displaystyle t \ cdot \ Upsilon (t) \}	1p2{\ displaystyle {\ frac {1} {p ^ {2}}}}	Re⁡((p)>0{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
2d	exponentiell-monomial	tnichtnicht!e- -αt⋅Υ((t){\ displaystyle {\ frac {t ^ {n}} {n!}} {\ rm {e}} ^ {- \ alpha t} \ cdot \ Upsilon (t)}	1((p+α)nicht+1{\ displaystyle {\ frac {1} {(p + \ alpha) ^ {n + 1}}}	Re⁡((p)>- -α{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> - \ alpha \,}
2d.1	exponentiell	e- -αt⋅Υ((t) {\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {- \ alpha t} \ cdot \ Upsilon (t) \}	1p+α{\ displaystyle {1 \ over p + \ alpha}}	Re⁡((p)>- -α {\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> - \ alpha \}
3	exponentieller Ansatz	((1- -e- -αt)⋅Υ((t) {\ displaystyle (1 - {\ rm {e}} ^ {- \ alpha t}) \ cdot \ Upsilon (t) \}	αp((p+α){\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {p (p + \ alpha)}}}	Re⁡((p)>0 {\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \}
4	Sinus	Sünde⁡((ωt)⋅Υ((t) {\ displaystyle \ sin (\ omega t) \ cdot \ Upsilon (t) \}	ωp2+ω2{\ displaystyle {\ omega \ over p ^ {2} + \ omega ^ {2}}}	Re⁡((p)>0 {\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \}
5	Kosinus	cos⁡((ωt)⋅Υ((t) {\ displaystyle \ cos (\ omega t) \ cdot \ Upsilon (t) \}	pp2+ω2{\ displaystyle {p \ over p ^ {2} + \ omega ^ {2}}}	Re⁡((p)>0 {\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \}
6	hyperbolischer Sinus	sinh⁡((αt)⋅Υ((t) {\ displaystyle \ sinh (\ alpha t) \ cdot \ Upsilon (t) \}	αp2- -α2{\ displaystyle {\ alpha \ over p ^ {2} - \ alpha ^ {2}}}	Re⁡((p)>|α| {\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> | \ alpha | \}
7	hyperbolischer Kosinus	cosh⁡((αt)⋅Υ((t) {\ displaystyle \ cosh (\ alpha t) \ cdot \ Upsilon (t) \}	pp2- -α2{\ displaystyle {p \ over p ^ {2} - \ alpha ^ {2}}}	Re⁡((p)>|α| {\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> | \ alpha | \}
8	exponentieller Zerfall einer Sinuswelle	e- -αtSünde⁡((ωt)⋅Υ((t) {\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {- \ alpha t} \ sin (\ omega t) \ cdot \ Upsilon (t) \}	ω((p+α)2+ω2{\ displaystyle {\ omega \ over (p + \ alpha) ^ {2} + \ omega ^ {2}}}	Re⁡((p)>- -α {\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> - \ alpha \}
9	exponentieller Zerfall einer Kosinuswelle	e- -αtcos⁡((ωt)⋅Υ((t) {\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {- \ alpha t} \ cos (\ omega t) \ cdot \ Upsilon (t) \}	p+α((p+α)2+ω2{\ displaystyle {p + \ alpha \ over (p + \ alpha) ^ {2} + \ omega ^ {2}}}	Re⁡((p)>- -α {\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> - \ alpha \}
10	n-te Wurzel	tnicht⋅Υ((t){\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {t}} \ cdot \ Upsilon (t)}	p- -((nicht+1)/.nicht⋅Γ((1+1nicht){\ displaystyle p ^ {- (n + 1) / n} \ cdot \ Gamma \ left (1 + {\ frac {1} {n}} \ right)}	Re⁡((p)>0{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
11	Logarithmus	ln⁡((tt0)⋅Υ((t){\ displaystyle \ ln \ left ({t \ over t_ {0}} \ right) \ cdot \ Upsilon (t)}	- -t0p [ ln⁡((t0p)+γ ]]{\ displaystyle - {t_ {0} \ over p} \ [\ \ ln (t_ {0} p) + \ gamma \]}	Re⁡((p)>0{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
12	Bessel-Funktion des ersten Typs der Ordnung n	J.nicht((ωt)⋅Υ((t){\ displaystyle J_ {n} (\ omega t) \ cdot \ Upsilon (t)}	ωnicht((p+p2+ω2)- -nichtp2+ω2{\ displaystyle {\ frac {\ omega ^ {n} \ left (p + {\ sqrt {p ^ {2} + \ omega ^ {2}}} \ right) ^ {- n}} {\ sqrt {p ^ {2} + \ omega ^ {2}}}}	Re⁡((p)>0{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,} ((nicht>- -1){\ displaystyle (n> -1) \,}
13	modifizierte Bessel-Funktion des ersten Typs der Ordnung n	ichnicht((ωt)⋅Υ((t){\ displaystyle \ mathrm {I} _ {n} (\ omega t) \ cdot \ Upsilon (t)}	ωnicht((p+p2- -ω2)- -nichtp2- -ω2{\ displaystyle {\ frac {\ omega ^ {n} \ left (p + {\ sqrt {p ^ {2} - \ omega ^ {2}}} \ right) ^ {- n}} {\ sqrt {p ^ {2} - \ omega ^ {2}}}}	Re⁡((p)>|ω|{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> | \ omega | \,} ((nicht>- -1){\ displaystyle (n> -1) \,}
14	Fehlerfunktion	erf((t)⋅Υ((t){\ displaystyle \ mathrm {erf} (t) \ cdot \ Upsilon (t)}	ep2/.4erfc⁡((p/.2)p{\ displaystyle {{\ rm {e}} ^ {p ^ {2} / 4} \ operatorname {erfc} \ left (p / 2 \ right) \ over p}}	Re⁡((p)>0{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
Anmerkungen: Υ((t){\ displaystyle \ Upsilon (t) \,}repräsentiert die Funktion von Heaviside . δ((t){\ displaystyle \ delta (t) \,}repräsentiert die Dirac-Funktion . Γ((z){\ displaystyle \ Gamma (z) \,}ist die Gamma-Funktion . γ{\ displaystyle \ gamma \,}ist die Euler-Mascheroni-Konstante . t{\ displaystyle t \,}ist eine reelle Zahl, die typischerweise die Zeit darstellt, aber jede andere Größe bezeichnen kann. p{\ displaystyle p \,} ist eine komplexe Zahl. q{\ displaystyle q \,}ist eine reelle Zahl ( ).q+1>0{\ displaystyle q + 1> 0} α{\ displaystyle \ alpha \,}, , , Und reelle Zahlen.β{\ displaystyle \ beta \,}τ{\ displaystyle \ tau \,}ω{\ displaystyle \ omega \,} nicht{\ displaystyle n \,} ist eine ganze Zahl.

Beispiel für die Verwendung der Laplace-Transformation in Elektrizität

Wir betrachten eine Schaltung mit der Bezeichnung "R, C", die aus einem elektrischen Widerstand des Wertes R und einem Kondensator der elektrischen Kapazität C besteht, der in Reihe geschaltet ist . In allen Fällen wird angenommen, dass die Schaltung an den Anschlüssen eines idealen Spannungsgenerators angeordnet ist, der nur zu einem als Ursprung der Daten gewählten Zeitpunkt eine (allgemein) variable Spannung u ( t ) liefert , und dass der Kondensator anfänglich entladen wird.

Wir haben also jeweils für die Ladung q ( t ) des Kondensators und den Strom in der Schaltung folgende Anfangsbedingungen: ich((t)≡dqdt{\ displaystyle i \ left (t \ right) \ equiv {\ frac {{\ rm {d}} q} {{\ rm {d}} t}}}

q((0- -)=0,ich((0- -)=0.{\ displaystyle q \ left (0 ^ {-} \ right) = 0, i \ left (0 ^ {-} \ right) = 0.}

Laden eines Kondensators durch einen Spannungsschritt

Wir legen die folgende Spannung u ( t ) an:

u((t)={0, wenn t<0U.0=vs.te, wenn t≥0,{\ displaystyle u (t) = {\ begin {case} 0, {\ text {si}} t <0 \\\ mathrm {U} _ {0} = cte, {\ text {si}} t \ geq 0 \ end {Fälle}},}

und die Differentialgleichung, die die Antwort q ( t ) auf den Eingang u ( t ) bezieht, lautet durch Anwendung der üblichen Elektrizitätsgesetze:

U.0Υ((t)=R.dqdt+q((t)VS,{\ displaystyle \ mathrm {U} _ {0} \ Upsilon (t) = \ mathrm {R} {\ frac {\ mathrm {d} q} {\ mathrm {d} t}} + {\ frac {q ( t)} {\ mathrm {C}}},}

oder erneut durch Setzen von τ ≡ RC (diese Größe hat die Dimension einer Dauer) und Teilen durch R:

VSU.0τΥ((t)=q((t)τ+dqdt.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {C} \ mathrm {U} _ {0}} {\ tau}} \ Upsilon (t) = {\ frac {q (t)} {\ tau}} + {\ frac {\ mathrm {d} q} {\ mathrm {d} t}}.}

Wir nehmen die Laplace-Transformation von Mitglied zu Mitglied dieser letzten Gleichung und bezeichnen Q ( p ) als die Transformation von q ( t ). Dabei kommt es unter Berücksichtigung der Tatsache, dass q (0 - ) = 0:

Q.((p)=VSU.01τp((((1τ)+p),{\ displaystyle \ mathrm {Q} (p) = \ mathrm {C} \ mathrm {U} _ {0} {\ frac {\ frac {1} {\ tau}} {p \ left (({\ frac {) 1} {\ tau}}) + p \ right)}},}

was auch in folgender Form geschrieben werden kann:

Q.((p)=H.((p)U.((p)mit H.((p)≡((1/.τ)[((1/.τ)+p]],{\ displaystyle \ mathrm {Q} (p) = \ mathrm {H} (p) \ mathrm {U} (p) {\ text {, with}} \ mathrm {H} (p) \ equiv {\ frac { \ left (1 / \ tau \ right)} {\ left [(1 / \ tau) + p \ right]}},}

U.((p)=VSU.0/.p,{\ displaystyle \ mathrm {U} (p) = \ mathrm {C} \ mathrm {U} _ {0} / p,}

Wir können diese Gleichung sofort umkehren, indem wir (wir verwenden Eintrag Nummer 3 aus der obigen Tabelle mit α = 1 / τ ):

q((t)=U.0VS[1- -e- -t/.τ]]Υ((t).{\ displaystyle q (t) = \ mathrm {U} _ {0} \ mathrm {C} \ left [1 - {\ rm {e}} ^ {- t / \ tau} \ right] \ Upsilon (t) .}

Die physikalische Interpretation dieser Lösung ist sehr einfach: Es gibt eine Überlagerung eines Übergangsregimes

qtrbeimnichts((t)=- -U.0VSe- -t/.τ,{\ displaystyle q _ {\ mathrm {trans}} \ left (t \ right) = - \ mathrm {U} _ {0} \ mathrm {C} {\ rm {e}} ^ {- t / \ tau} ,}

Dies beschreibt die fortschreitende Ladung des Kondensators, wobei die Größe τ ≡ RC die Zeitskala (dies ist ein Beispiel für eine Zeitkonstante eines Systems) im stationären Zustand angibt

Q.perm=VSU.0≡Q.m{\ displaystyle \ mathrm {Q_ {perm}} = \ mathrm {C} \ mathrm {U} _ {0} \ equiv \ mathrm {Q_ {m}}}

Dies entspricht dem Zustand des voll geladenen Kondensators unter der Gleichspannung U 0 . Es ist leicht zu zeigen, dass der Kondensator am Ende der Periode T = τ ln (10) ≈ 2,3025 τ zu 90% geladen ist ( q = 0,90 Q m ) .

Der Term (1 - e - t / τ ) ist die Übertragungsfunktion des Systems im Zeitbereich.

Wir können die Benutzerfreundlichkeit der Laplace-Transformation erkennen, die es ermöglicht, durch eine Passage im "Raum p  " vollständig von der Auflösung der Differentialgleichung im Raum zu abstrahieren . Darüber hinaus werden die Anfangsbedingungen bei der Transformation berücksichtigt.

Anmerkungen und Referenzen

Anmerkungen

1. Bourlès 2010 (§12.3.4), Bourlès und Marinescu 2011 , § 7.3.4.1.
2. Denis-Papin und Kaufmann 1967 .
3. J.-É. Rombaldi, Korrigierte Übungen und Probleme für die Aggregation von Mathematik , De Boeck Supérieur ,2018( online lesen ) , p.  193.
4. Bourlès 2010 , p.  356.
5. (in) Milton Abramowitz und Irene Stegun , Handbuch für mathematische Funktionen mit Formeln, Grafiken und mathematischen Tabellen [ Veröffentlichungsdetails ] ( online lesen )Kap. 29 („Laplace-Transformationen“), S. 1020: 29.2.4. und 29.2.5
6. (in) Milton Abramowitz und Irene Stegun , Handbuch für mathematische Funktionen mit Formeln, Grafiken und mathematischen Tabellen [ Veröffentlichungsdetails ] ( online lesen )Kap. 29 („Laplace-Transformationen“), S. 1020: 29.1.1.
7. Schwartz 1965 , VI, 2; 2.
8. André Desbiens, „  Lineare Systeme und Steuerung GEL-2005. Kapitel 3: Laplace-Transformation  “ , Université Laval , p.  33.
9. Bracewell 2000 , Tabelle 14.1, S. 385.
10. In Einheitslast von durch Multiplikation mit C.

Verweise

• Henri Bourlès , Lineare Systeme , John Wiley & Sons ,2010544  p. ( ISBN  978-1-84821-162-9 und 1-84821-162-7 , online lesen )
• Henri Bourlès und Bogdan Marinescu , Lineare zeitvariable Systeme: Algebraisch-analytischer Ansatz , Springer,2011638  p. ( ISBN  3642197264 )
• (en) Ronald N. Bracewell , Die Fourier-Transformation und ihre Anwendungen , Boston, McGraw-Hill,2000, 3 e  ed. ( ISBN  0-07-116043-4 ).
• M. Denis-Papin und A. Kaufmann , Kurs Angewandte Betriebsberechnung , Albin Michel ,1967( ASIN  B003WR50TY )
• Laurent Schwartz , Mathematische Methoden für die Naturwissenschaften , Hermann ,1965( ISBN  2-7056-5213-2 )
• (de) DV Widder , Die Laplace-Transformation , Dover Publications ,2011406  p. ( ISBN  978-0-486-47755-8 und 0-486-47755-X )

Siehe auch

Zum Thema passende Artikel

• Bilaterale Laplace-Transformation
• Verwandelt in Z.
• Betriebsberechnung
• Mellin-Transformation
• Übertragungsfunktion
• Bernsteins Theorem über völlig monotone Funktionen