Gaußsche quadratische Summe

In der Zahlentheorie ist eine quadratische Gaußsche Summe eine bestimmte endliche Summe von Wurzeln der Einheit . Eine quadratische Gaußsche Summe kann als lineare Kombination der Werte der komplexen Exponentialfunktion mit Koeffizienten interpretiert werden, die durch ein quadratisches Zeichen gegeben sind. Für einen allgemeinen Charakter erhalten wir eine allgemeinere Gaußsche Summe . Diese Aufgaben werden nach dem Namen Carl Friedrich Gauß , der sie eingehend untersucht und wandte sie auf die quadratische Reziprozitätsgesetze , kubische und biquadratische (in) .

Definition

Sei $p$ eine ungerade Primzahl und $habe$ eine ganze Zahl . Dann ist die Gaußsche Summe $mod p$ , $g ( a ; p )$ die Summe der $p-$ ten Wurzeln der folgenden Einheit:

{\ displaystyle g (a; p) = \ sum _ {n = 0} ^ {p-1} \ operatorname {e} ^ {2 \ pi \ mathrm {i} an ^ {2} / p} = \ sum _ {n = 0} ^ {p-1} \ zeta _ {p} ^ {an ^ {2}}, \ quad \ zeta _ {p} = \ operatorname {e} ^ {2 \ pi \ mathrm {i } / p}}

Wenn $a$ nicht durch $p$ teilbar ist , ist ein äquivalenter Ausdruck für diese Summe (den wir durch Auswertung auf zwei verschiedene Arten finden) ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {p-1} \ left (1+ \ left ({\ frac {n} {p}} \ right) \ right) \ zeta _ {p} ^ {an }}$

{\ displaystyle G (a, \ chi) = \ sum _ {n = 0} ^ {p-1} \ chi (n) \ operatorname {e} ^ {2 \ pi \ mathrm {i} an / p}}

Hier ist das Symbol von Legendre , das ein quadratisches Zeichen $mod$ $p ist$ . Eine analoge Formel mit einem allgemeinen Zeichen $χ$ anstelle des Legendre-Symbols definiert die Gaußsche Summe $G$ $($ $χ$ $)$ . ${\ displaystyle \ chi (n) = \ left ({\ frac {n} {p}} \ right)}$

Eigenschaften

Der Wert der Gaußschen Summe ist eine algebraische ganze Zahl in der p- ten zyklotomischen Erweiterung Q ( ζ p ).
Die Auswertung der Gaußschen Summe kann auf den Fall $a = 1$ reduziert werden : ${\ displaystyle g (a; p) = \ left ({\ frac {a} {p}} \ right) g (1; p)}$ .
Der genaue Wert der von Gauß berechneten Gauß-Summe ergibt sich aus der Formel ${\ displaystyle g (1; p) = \ sum _ {n = 0} ^ {p-1} \ operatorname {e} ^ {2 \ pi \ mathrm {i} n ^ {2} / p} = {\ begin {Fälle} {\ sqrt {p}} & p \ äquiv 1 \ mod 4 \\\ mathrm {i} {\ sqrt {p}} & p \ äquiv 3 \ mod 4. \ end {Fälle}}}$

Gleichheit war leicht zu demonstrieren und führte Gauß zu einem seiner Beweise für das Gesetz der quadratischen Reziprozität. Die Bestimmung des Vorzeichens der Gaußschen Summe erwies sich jedoch als viel schwieriger: Gauß konnte dieses Ergebnis erst nach mehrjähriger Arbeit feststellen. Später gaben Peter Gustav Lejeune Dirichlet , Leopold Kronecker , Issai Schur und andere Mathematiker unterschiedliche Beweise dafür.

{\ displaystyle g (a; p) ^ {2} = \ left ({\ frac {-1} {p}} \ right) p}

Verallgemeinerte quadratische Gaußsche Summen

Entweder $a$ , $b$ und $c$ der natürlichen Zahlen . Die verallgemeinerte Gaußsche Summe $G ( a , b , c )$ ist definiert durch

{\ displaystyle G (a, b, c) = \ sum _ {n = 0} ^ {c-1} \ exp \ left (2 \ pi \ mathrm {i} {\ frac {an ^ {2} + bn } {c}} \ right)}

Die klassische Gaußsche Summe ist die Summe . ${\ displaystyle G (a, c) = G (a, 0, c)}$

Eigenschaften

Die Gaußsche Summe G ( a , b , c ) hängt nur von den Klassen von a und b modulo c ab .
Gaußsche Summen sind im folgenden Sinne multiplikativ: Angesichts der natürlichen Zahlen a , b , c und d, so dass gcd ( c , d ) = 1 ist, haben wir G ( a , b , cd ) = G ( ac , b , d ) G ( ad , b , c ). Dies ist eine direkte Folge des chinesischen Restsatzes .
Wir haben $G ( a , b , c ) = 0,$ wenn $pgcd ( a , c )> 1 ist,$ außer wenn $pgcd ( a , c )$ $b$ teilt , in welchem Fall wir haben

{\ displaystyle G (a, b, c) = \ operatorname {pgcd} (a, c) \ cdot G \ left ({\ frac {a} {\ operatorname {pgcd} (a, c)}}, {\ frac {b} {\ operatorname {pgcd} (a, c)}}, {\ frac {c} {\ operatorname {pgcd} (a, c)}} \ right)}

Daher können wir bei der Auswertung der quadratischen Gaußschen Summen immer pgcd ( a , c ) = 1 annehmen .

Sei $a$ , $b$ und $c$ ganze Zahlen, so dass und $ac + b$ gerade sind. Wir haben das folgende Analogon des quadratischen Reziprozitätsgesetzes für Gaußsche Summen (noch allgemeiner) ${\ displaystyle ac \ neq 0}$

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {| c | -1} \ operatorname {e} ^ {\ pi \ mathrm {i} (an ^ {2} + bn) / c} = | c / a | ^ {1/2} \ operatorname {e} ^ {\ pi \ mathrm {i} (| ac | -b ^ {2}) / (4ac)} \ sum _ {n = 0} ^ {| a | -1} \ operatorname {e} ^ {- \ pi \ mathrm {i} (cn ^ {2} + bn) / a}}

Sei $m$ für jede ganze Zahl ungerade. ${\ displaystyle \ varepsilon _ {m}: = {\ begin {fällen} 1 & m \ äquiv 1 \ mod 4 \\\ mathrm {i} & m \ äquiv 3 \ mod 4 \ end {fällen}}}$

Die Werte der Gaußschen Summen für $b = 0$ und $pgcd ( a , c ) = 1$ werden explizit durch die berühmte Gaußsche Formel angegeben:

{\ displaystyle G (a, c) = G (a, 0, c) = {\ begin {case} 0 & c \ equiv 2 \ mod 4 \\\ varepsilon _ {c} {\ sqrt {c}} \ links ({\ frac {a} {c}} \ rechts) & c \ {\ text {ungerade}} \\ (1 + i) \ varepsilon _ {a} ^ {- 1} {\ sqrt {c}} \ left ({\ frac {c} {a}} \ right) & a \ {\ text {odd}}, 4 \ mid c. \ end {case}}}

wo ist Symbol Jacobi . ${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {c}} \ right)}$

Für $b > 0$ können wir in den meisten Fällen leicht Gaußsche Summen berechnen, indem wir das Quadrat vervollständigen . Dies schlägt jedoch in einigen Fällen fehl (zum Beispiel wenn $c$ gerade und $b$ ungerade ist), was mit anderen Mitteln relativ einfach berechnet werden kann. Wenn zum Beispiel $c$ ungerade ist und $gcd ( a , c ) = 1 ist$ , haben wir

{\ displaystyle G (a, b, c) = \ varepsilon _ {c} {\ sqrt {c}} \ cdot \ left ({\ frac {a} {c}} \ right) \ operatorname {e} ^ { -2 \ pi \ mathrm {i} \ psi (a) b ^ {2} / c}}

wo ist eine Zahl so, dass . Als weiteres Beispiel gilt: Wenn 4 $c$ teilt und wenn $b$ ungerade ist und $gcd ($ $a$ $,$ $c$ $) = 1$ , dann ist $G$ $($ $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ $) = 0$ . Zum Beispiel können wir es wie folgt beweisen: Aufgrund der multiplikativen Eigenschaft von Gaußschen Summen genügt es zu zeigen, dass wenn $n$ $> 1$ und $a$ $,$ $b$ ungerade sind und $gcd ($ $a$ $,$ $c$ $) = 1$ . Wenn $b$ ungerade ist, ist es für alles gerade . Nach Hensels Lemma hat die Gleichung für alle $q$ höchstens zwei Lösungen in . Nimmt für ein Zählargument jeden geraden Wert genau zweimal. Die geometrische Summenformel zeigt das dann . ${\ displaystyle \ psi (a)}$ ${\ displaystyle 4 \ psi (a) a \ equiv 1 {\ bmod {c}}}$ ${\ displaystyle G (a, b, 2 ^ {n}) = 0}$ ${\ displaystyle an ^ {2} + bn}$ ${\ displaystyle 0 \ leq n <c-1}$ ${\ displaystyle an ^ {2} + bn + q = 0}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2 ^ {n} \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle an ^ {2} + bn {\ bmod {c}}}$ ${\ displaystyle G (a, b, 2 ^ {n}) = 0}$

Wenn $c$ ungerade und ohne Quadratfaktor ist und $gcd ( a , c ) = 1 ist$ , dann

{\ displaystyle G (a, 0, c) = \ sum _ {n = 0} ^ {c-1} \ left ({\ frac {n} {c}} \ right) \ operatorname {e} ^ {2 \ pi \ mathrm {i} an / c}}

Wenn $c$ nicht ohne quadratischen Faktor ist, verschwindet die rechte Seite, die linke Seite jedoch nicht. Oft wird die richtige Summe auch als quadratische Gaußsche Summe bezeichnet.

Eine andere nützliche Formel ist

G ( n , p k ) = pG ( n , p k -2 )

wenn k ≥ 2 und p eine ungerade Primzahl ist oder wenn k ≥ 4 und p = 2 ist.

Anmerkungen und Referenzen

Satz 1.2.2 in BC Berndt, RJ Evans, KS Williams, Gauß und Jacobi Sums , John Wiley and Sons (1998).

Siehe auch

Zum Thema passende Artikel

Literaturverzeichnis

(en) Kenneth Ireland und Michael Rosen , Eine klassische Einführung in die moderne Zahlentheorie , Springer-Verlag ,1990389 p. ( ISBN 978-0-387-97329-6 , online lesen )
(en) Bruce C. Berndt , Ronald J. Evans und Kenneth S. Williams, Gauß und Jacobi Sums , New York / Chichester / Weinheim usw., John Wiley & Sons ,1998583 p. ( ISBN 0-471-12807-4 )
(en) Henryk Iwaniec und Emmanuel Kowalski (de) , Analytische Zahlentheorie , AMS ,2004( ISBN 0-8218-3633-1 )

Externer Link

(en) Eric W. Weisstein , „ Gaußsche Summe “ , auf MathWorld