Gaußsche Summe

In der Mathematik und genauer in der modularen Arithmetik ist eine Gauß-Summe eine komplexe Zahl, deren Definition die Werkzeuge der harmonischen Analyse einer endlichen abelschen Gruppe auf dem endlichen Feld ℤ / p uses verwendet, wobei p eine ungerade Primzahl und ℤ die Menge von bezeichnet relative ganze Zahlen .

Sie wurden vom Mathematiker Carl Friedrich Gauss in seinen 1801 veröffentlichten Disquisitiones arithmeticae vorgestellt .

Sie werden in der Theorie der zyklotomischen Polynome verwendet und haben viele Anwendungen. Wir können zum Beispiel einen Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes anführen .

Definition

In diesem Artikel bezeichnet p eine ungerade Primzahl, F p das endliche Feld ℤ / p ℤ und F p * die multiplikative Gruppe seiner Nicht-Null-Elemente .

Lassen ψ a seinen Charakter aus der additiven Gruppe ( F p , +) und ein Zeichen der multiplikativen Gruppe (X F p *, ∙), dann Summe der Gauss mit χ zugeordnet ist, und ψ ist die komplexe Zahl, hier anzumerken G (χ , ψ) und definiert durch:

G (\ chi, \ psi) = \ sum _ {{x \ in {\ mathbb F} _ {p} ^ {*}}} \ chi (x) \ psi (x).

In Bezug auf die Fourier-Transformation können wir die Abbildung betrachten, die G (χ −1 , ψ) χ assoziiert , als die Fourier-Transformation der Verlängerung von χ zu F p durch die Gleichheit χ (0) = 0 und die Karte, die zu χ assoziiert ψ assoziiert G (χ −1 , ψ) als Fourier-Transformation der Restriktion von ψ nach F p *.

Eigenschaften

Die harmonische Analyse ermöglicht viele Berechnungen auf Gaußschen Summen; Dieser Absatz enthält einige Beispiele.

Wenn m eine ganzzahlige Primzahl für p ist , dann $G (\ chi, \ psi ^ {m}) = {\ frac 1 {\ chi (m)}} G (\ chi, \ psi).$
Wenn die zwei Zeichen χ und ψ nicht trivial sind - d. H. Nicht konstant gleich 1 - dann $G (\ chi, \ psi) G (\ chi ^ {{- 1}}, \ psi) = \ chi (-1) p.$

Demonstrationen

Wenn m eine ganzzahlige Primzahl für p ist , dann $G (\ chi, \ psi ^ {m}) = {\ frac 1 {\ chi (m)}} G (\ chi, \ psi).$ In der Tat impliziert die Definition einer Gauß-Summe: $G (\ chi, \ psi ^ {m}) = \ sum _ {{k \ in {\ mathbb F} _ {p} ^ {*}}} \ chi (k) \ psi (mk).$ Durch Ändern der Variablen u = mk haben wir also: $G (\ chi, \ psi ^ {m}) = \ sum _ {{u \ in {\ mathbb F} _ {p} ^ {*}}} \ chi (m) ^ {{- 1}} \ chi (u) \ psi (u) = {\ frac 1 {\ chi (m)}} G (\ chi, \ psi).$
Wenn die beiden Zeichen χ und ψ nicht trivial sind, dann $G (\ chi, \ psi) G (\ chi ^ {{- 1}}, \ psi) = \ chi (-1) p.$ In der Tat impliziert die Definition einer Gauß-Summe: $G (\ chi, \ psi) G (\ chi ^ {{- 1}}, \ psi) = \ sum _ {{k, l \ in {\ mathbb F} _ {p} ^ {*}}} \ chi (k) \ psi (k) \ chi (l) ^ {{- 1}} \ psi (l) = \ sum _ {{k, l \ in {\ mathbb F} _ {p} ^ {*} }} \ chi (kl ^ {{- 1}}) \ psi (k + l).$ Durch Ändern der Variablen u = kl −1 erhalten wir: $G (\ chi, \ psi) G (\ chi ^ {{- 1}}, \ psi) = \ sum _ {{u \ in F_ {p} ^ {*}}} \ chi (u) \ left ( -1+ \ sum _ {{l \ in {\ mathbb F} _ {p}}} \ psi ((u + 1) l) \ right).$ Die Summe der Werte des additiven Zeichens l ↦ ψ (( u + 1) l ) ist jedoch Null, außer wenn dieses Zeichen trivial ist, dh wenn u = –1 ist. Wir können ableiten: $G (\ chi, \ psi) G (\ chi ^ {{- 1}}, \ psi) = \ left (- \ sum _ {{u \ in {\ mathbb F} _ {p} ^ {*}} } \ chi (u) \ right) + \ chi (-1) p.$ Ebenso ist die Summe der Werte des nicht trivialen multiplikativen Zeichens $χ$ Null, was den Beweis beendet.

Diese zweite Eigenschaft hat die folgende unmittelbare Konsequenz :

Wenn μ ( a ) das Legendre-Symbol ( a / p ) bezeichnet - gleich 1, wenn a ein Quadrat in F p * ist, andernfalls –1 -, dann gilt für jedes nicht triviale Zeichen ψ,

G (\ mu, \ psi) ^ {2} = \ left ({\ frac {-1} p} \ right) p.

Anwendungen

Quadratisches Reziprozitätsgesetz

Das Gesetz wird wie folgt ausgedrückt, wenn q auch eine ungerade Primzahl ist, die sich von p unterscheidet :

\ left ({\ frac pq} \ right) \ left ({\ frac qp} \ right) = (- 1) ^ {{{\ frac {(p-1) (q-1)} 4}}}.

Demonstration

Sei ψ ein nicht trivialer additiver Charakter von F p . Bezeichne mit τ = G (μ, ψ) und ω = ψ (1). Der Ring ℤ [ω] enthält τ; Berechnen wir dann auf zwei Arten die Klasse von τ q –1 im Quotientenring ℤ [ω] / q ℤ [ω]. Der Binomialsatz von Newton und die Teiler der Binomialkoeffizienten zeigen, dass modulo q ,

{\ displaystyle \ tau ^ {q} \ equiv \ sum _ {x \ in \ mathbb {F} _ {p} ^ {*}} \ mu (x) ^ {q} \ psi (x) ^ {q} = \ sum _ {x \ in \ mathbb {F} _ {p} ^ {*}} \ mu (x) \ psi ^ {q} (x) = G (\ mu, \ psi ^ {q}). }}

Die erste der beiden Eigenschaften von Gauß-Summen zeigt dies jedoch

{\ displaystyle G (\ mu, \ psi ^ {q}) = \ mu (q) ^ {- 1} \ tau = \ left ({\ frac {q} {p}} \ right) \ tau}

und die Folge des zweiten, verbunden mit den Eigenschaften des Legendre-Symbols, dass

\ tau ^ {{q-1}} = \ left (\ tau ^ {2} \ right) ^ {{{\ frac {q-1} 2}}} = \ left ((- 1) ^ {{{ \ frac {p-1} 2}}} p \ right) ^ {{{\ frac {q-1} 2}} = (- 1) ^ {{{\ frac {(p-1) (q- 1)} 4}}} p ^ {{{\ frac {q-1} 2}} \ equiv (-1) ^ {{{\ frac {(p-1) (q-1)} 4}} } \ left ({\ frac pq} \ right) {\ pmod q}.

Wir leiten die Kongruenz ab:

{\ displaystyle (-1) ^ {\ frac {(p-1) (q-1)} {4}} \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) \ equiv \ left ({\ frac {q} {p}} \ right) {\ pmod {q}}.}

Da die beiden Elemente gleich 1 oder -1 und 2 ist invertierbar mod q ist diese Kongruenz eine Gleichheit.

Gaußsche quadratische Summe

Für jede p- te Wurzel der Einheit ω außer 1 mit p prime

\ left (\ sum _ {{k = 0}} ^ {{p-1}} \ omega ^ {{k ^ {2}}} \ right) ^ {2} = \ left ({\ frac {-1 } p} \ right) p.

Demonstration

Sei ψ das additive Zeichen, so dass ψ (1) = ω, H die Untergruppe der multiplikativen Gruppe F p * ist, die sich aus den quadratischen Resten von F p * zusammensetzt, P 1 die Summe der Werte von ψ auf H und P. 2 die Summe der Werte von ψ auf dem Komplement von H in F p *. Die Karte von F p * in H, die jedem Element sein Quadrat zuordnet, ist eine surjektive Karte, so dass jedes Bild genau zwei Antezedenzen zulässt ; Folglich :

\ sum _ {{k = 0}} ^ {{p-1}} \ omega ^ {{k ^ {2}}} = 1+ \ sum _ {{x \ in {\ mathbb F} _ {p} ^ {*}}} \ psi (x ^ {2}) = 1 + 2P_ {1}.

Nun ist ψ ein nicht trivialer Charakter, daher ist - wie im Beweis von § „Eigenschaften“ - die Summe 1 + P 1 + P 2 seiner Werte Null, was uns folgern lässt:

\ sum _ {{k = 0}} ^ {{p-1}} \ omega ^ {{k ^ {2}}} = 1 + 2P_ {1} = - P_ {2} + P_ {1} = G. (\ mu, \ psi).

Die Folge des § „Eigenschaften“ beendet die Demonstration.

Allgemeiner zeigte Gauß 1801 die folgenden Gleichheiten zum nächsten Vorzeichen für eine ganze Zahl n > 0:

\ sum _ {{k = 0}} ^ {{n-1}} \ exp \ left ({\ frac {2 \ pi {{\ rm {i}}} k ^ {2}} n} \ right) = {\ begin {case} (1 + {{\ rm {i}}}) {\ sqrt n} & {{\ rm {si}}} \ n \ equiv 0 \ mod 4 \\ {\ sqrt n} & {{\ rm {si}}} \ n \ äquiv 1 \ mod 4 \\ 0 & {{\ rm {si}}} \ n \ äquiv 2 \ mod 4 \\ {{\ rm {i}}} {\ sqrt n} & {{\ rm {si}}} \ n \ äquiv 3 \ mod 4, \ end {case}}

Vermutung, dass sogar die Vorzeichen für diese bestimmte Wahl korrekt waren ω = $exp (2πi / n )$ , und erst nach vier Jahren unablässiger Bemühungen gelang es ihm, diese Vermutung zu lösen.

Anmerkungen und Referenzen

(in) Harold Edwards , Fermats letzter Satz: Eine genetische Einführung in die algebraische Zahlentheorie , Springer al. " GTM " ( n o 50)2000, 3 e ed. 407 p. ( ISBN 978-0-387-95002-0 , online lesen ) , p. 360.
(in) Henry John Stephen Smith , "Bericht über die Zahlentheorie, Teil I", 1859, Repr. 1984 in The Collected Mathematical Papers von Henry John Stephen Smith , Art. 20 .
(in) Kenneth Ireland und Michael Rosen , Eine klassische Einführung in die moderne Zahlentheorie , Springer al. "GTM" ( n o 84);1990( Repr. 1998), 2 th ed. 389 p. ( ISBN 978-0-387-97329-6 , online lesen ) , p. 73.

Siehe auch

Literaturverzeichnis

Michel Demazure , Kurs der Algebra: Primalität, Teilbarkeit, Codes [ Detail der Ausgaben ]
Jean-Pierre Serre , Rechenkurs ,1970[ Detail der Ausgaben ]
André Warusfel , Endliche algebraische Strukturen , Hachette, 1971
Gabriel Peyré, Die diskrete Algebra der Fourier-Transformation , Éditions Ellipses , 2004 ( ISBN 978-2-72981867-8 )

Zum Thema passende Artikel

Externe Links

Lemma über die Gaußsche Summe von C. Banderier von der Universität Paris-XIII , 1998
Harmonische Analyse kommutativer endlicher Gruppen von A. Bechata
Bas Edixhoven und Laurent Moret-Bailly , Algebraische Zahlentheorie, Masterstudiengang Mathematik , Universität Rennes 1 ,2004( online lesen )