Rankine-Hugoniot-Beziehung
Die Beziehung Rankine-Hugoniot drückt die Diskontinuität unterschiedlicher Mengen durch eine Stoßwelle oder eine Gleitlinie in einem Gas aus. Es wurde zu Ehren von Pierre-Henri Hugoniot
und William Rankine benannt .
Der allgemeine Fall
Wir sind an partiellen Differentialgleichungen in Dimension 1 des Typs interessiert :
∂w∂t+∂f((w)∂x=0{\ displaystyle {\ frac {\ partielles w} {\ partielles t}} + {\ frac {\ partielles f (w)} {\ partielles x}} = 0}Diese Gleichungen gelten als hyperbolisch, wenn die Jacobi-Matrix von f diagonalisierbar ist und positive reelle Werte aufweist, von denen hier angenommen wird, dass sie verifiziert sind. Solche Gleichungen lassen regelmäßige Lösungen und diskontinuierliche Lösungen zu, an denen wir interessiert sind.
Wir integrieren die obige Erhaltungsgleichung in der Nähe der Abszisse x c der Diskontinuität:
∫xvs.- -εxvs.+ε∂w∂tdx=f[w((xvs.- -ε)]]- -f[w((xvs.+ε)]]{\ displaystyle \ int _ {x_ {c} - \ varepsilon} ^ {x_ {c} + \ varepsilon} {\ frac {\ partielle w} {\ partielle t}} \, \ mathrm {d} x = f [ w (x_ {c} - \ varepsilon)] - f [w (x_ {c} + \ varepsilon)]}Mit der Integrationsregel von Leibniz kommt es:
vvs.[w((xvs.- -ε)- -w((xvs.+ε)]]+∂∂t∫xvs.- -εxvs.wdx+∂∂t∫xvs.xvs.+εwdx=f[w((xvs.- -ε)]]- -f[w((xvs.+ε)]]{\ displaystyle v_ {c} \, [w (x_ {c} - \ varepsilon) -w (x_ {c} + \ varepsilon)] + {\ frac {\ partiell} {\ partiell t}} \ int _ { x_ {c} - \ varepsilon} ^ {x_ {c}} w \ mathrm {d} x + {\ frac {\ partiell} {\ partiell t}} \ int _ {x_ {c}} ^ {x_ {c } + \ varepsilon} w \ mathrm {d} x = f [w (x_ {c} - \ varepsilon)] - f [w (x_ {c} + \ varepsilon)]}Man bemerkte die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Diskontinuität.
vvs.=dxvs.dt{\ displaystyle v_ {c} = {\ frac {\ mathrm {d} x_ {c}} {\ mathrm {d} t}}}
Auf diese Weise erhalten wir die Sprungrelation von w :
ε→0{\ displaystyle \ varepsilon \ rightarrow 0}
vvs.[w((xvs.- -ε)- -w((xvs.+ε)]]=f[w((xvs.- -ε)]]- -f[w((xvs.+ε)]]{\ displaystyle v_ {c} \, [w (x_ {c} - \ varepsilon) -w (x_ {c} + \ varepsilon)] = f [w (x_ {c} - \ varepsilon)] - f [w (x_ {c} + \ varepsilon)]}Um die Notationen zu vereinfachen, werden wir schreiben
vvs.((wG- -wd)=f((wG)- -f((wd){\ displaystyle v_ {c} \, (w_ {g} -w_ {d}) = f (w_ {g}) - f (w_ {d})}
Burger-Gleichung
Ein einfaches Beispiel ist die Burgers-Gleichung, die der obigen Definition mit und entspricht .
w=u{\ displaystyle w = u}f((w)=u22{\ displaystyle f (w) = {\ frac {u ^ {2}} {2}}}
In diesem Fall wird die Sprunggleichung geschrieben:
vvs.((ud- -uG)=ud2- -uG22{\ displaystyle v_ {c} \, (u_ {d} -u_ {g}) = {\ frac {u_ {d} ^ {2} -u_ {g} ^ {2}} {2}}}
ist
vvs.=ud+uG2{\ displaystyle v_ {c} = {\ frac {u_ {d} + u_ {g}} {2}}}
Ein stationärer Schock impliziert dies daher notwendigerweise .
ud=- -uG{\ displaystyle u_ {d} = - u_ {g}}
Eulers Gleichungen
Instabiles Problem
Wir wenden die Sprungrelation für jede der Euler-Gleichungen an :
Kontinuität |
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w=ρ{\ displaystyle w = \ rho} |
|
f((w)=ρV.{\ displaystyle f (w) = \ rho V} |
|
vvs.((ρd- -ρG)=ρdV.d- -ρGV.G{\ displaystyle v_ {c} \, (\ rho _ {d} - \ rho _ {g}) = \ rho _ {d} V_ {d} - \ rho _ {g} V_ {g}}
|
Bewegungsumfang |
|
w=ρV.{\ displaystyle w = \ rho V} |
|
f((w)=ρV.2+p{\ displaystyle f (w) = \ rho V ^ {2} + p} |
|
vvs.((ρdV.d- -ρGV.G)=((ρdV.d2+pd)- -((ρGV.G2+pG){\ displaystyle v_ {c} \, (\ rho _ {d} V_ {d} - \ rho _ {g} V_ {g}) = (\ rho _ {d} V_ {d} ^ {2} + p_ {d}) - (\ rho _ {g} V_ {g} ^ {2} + p_ {g})}
|
Energie |
|
w=ρE.{\ displaystyle w = \ rho E} |
|
f((w)=((ρE.+p)V.{\ displaystyle f (w) = (\ rho E + p) V} |
|
vvs.((ρdE.d- -ρGE.G)=((ρdE.d+pd)V.d- -((ρGE.G+pG)V.G{\ displaystyle v_ {c} \, (\ rho _ {d} E_ {d} - \ rho _ {g} E_ {g}) = (\ rho _ {d} E_ {d} + p_ {d}) V_ {d} - (\ rho _ {g} E_ {g} + p_ {g}) V_ {g}}
|
Wir haben festgestellt:
-
ρ{\ displaystyle \ rho} die Dichte,
-
V.{\ displaystyle V} Geschwindigkeit,
-
p{\ displaystyle p} Druck,
-
E.=e+v22{\ displaystyle E = e + {\ frac {v ^ {2}} {2}}} Gesamtenergie pro Masseneinheit,
-
e{\ displaystyle e}die innere Energie pro Masseneinheit.
Es gibt zwei Arten von Diskontinuitäten:
- der Schock, bei dem alle Mengen diskontinuierlich sind,
- die Kontaktdiskontinuität, bei der die Geschwindigkeit und der Druck kontinuierlich sind. Dies entspricht zwei Stromlinien, die nebeneinander gleiten, ohne sich gegenseitig zu durchdringen und den gleichen Druck zu haben (Impulserhaltung).((vvs.=V.d=V.G){\ displaystyle \ left (v_ {c} = V_ {d} = V_ {g} \ right)}
Stationärer rechter Stoßdämpfer
Im Falle eines stationären Schocks, wie er in der Aerodynamik auftritt, werden die Sprungbeziehungen:
vvs.=0{\ displaystyle v_ {c} = 0}
ρdV.d=ρGV.GρdV.d2+pd=ρGV.G2+pG((ρdE.d+pd)V.d=((ρGE.G+pG)V.G{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} \ rho _ {d} V_ {d} & = & \ rho _ {g} V_ {g} \\ [0.6em] \ rho _ {d} V_ {d } ^ {2} + p_ {d} & = & \ rho _ {g} V_ {g} ^ {2} + p_ {g} \\ [0.6em] (\ rho _ {d} E_ {d} + p_ {d}) V_ {d} & = & (\ rho _ {g} E_ {g} + p_ {g}) V_ {g} \ end {array}}}Durch Vereinfachung der Energiesprunggleichung durch die Sprungbeziehung zum Massendurchsatz erhalten wir die Erhaltung der Gesamtenthalpie:
H.G=H.d{\ displaystyle H_ {g} = H_ {d}}oder
H.=E.+pρ=e+V.22+pρ{\ displaystyle H = E + {\ frac {p} {\ rho}} = e + {\ frac {V ^ {2}} {2}} + {\ frac {p} {\ rho}}}Im Falle eines idealen Gases extrahieren wir die Beziehungen, die die "Sprünge" verbinden, dh das Verhältnis der Werte stromabwärts und stromaufwärts des Schocks, indem wir die Machzahl stromaufwärts einführen , die als Daten des Problems angenommen wird
p=((γ- -1)ρe{\ displaystyle p = (\ gamma -1) \ rho e}
M.G=V.GγrT.G{\ displaystyle M_ {g} = {\ frac {V_ {g}} {\ sqrt {\ gamma rT_ {g}}}}wobei r die spezifische Gaskonstante ist .
Diese Beziehungen sind wie folgt
R.=ρdρG=V.GV.d=((γ+1)M.G2((γ- -1)M.G2+2{\ displaystyle R = {\ frac {\ rho _ {d}} {\ rho _ {g}}} = {\ frac {V_ {g}} {V_ {d}}} = {\ frac {(\ gamma +1) M_ {g} ^ {2}} {(\ gamma -1) M_ {g} ^ {2} +2}}}
pdpG=1+2γγ+1((M.G2- -1){\ displaystyle {\ frac {p_ {d}} {p_ {g}}} = 1 + {\ frac {2 \ gamma} {\ gamma +1}} (M_ {g} ^ {2} -1)}
T.dT.G=pdpGρGρd{\ displaystyle {\ frac {T_ {d}} {T_ {g}}} = {\ frac {p_ {d}} {p_ {g}}} {\ frac {\ rho _ {g}} {\ rho _ {d}}}}
M.dM.G=[R.2+γ- -12M.G2((R.2- -1)]]- -12{\ displaystyle {\ frac {M_ {d}} {M_ {g}}} = \ left [R ^ {2} + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M_ {g} ^ {2} (R ^ {2} -1) \ right] ^ {- {\ frac {1} {2}}}}
Das Dichteverhältnis ist begrenzt, wenn M.G→∞{\ displaystyle M_ {g} \ to \ infty}
ρdρG→γ+1γ- -1{\ displaystyle {\ frac {\ rho _ {d}} {\ rho _ {g}}} \ to {\ frac {\ gamma +1} {\ gamma -1}}}Zum Beispiel für Luft, die aus zweiatomigen Molekülen besteht, für die die Grenze des Dichteverhältnisses gleich 6 ist.
γ=1,4{\ displaystyle \ gamma = 1.4}
Wir können auch die reduzierte Entropievariation berechnen , wobei C V die Volumenwärmekapazität istS.VSV.=lnpργ{\ displaystyle {\ frac {S} {C_ {V}}} = \ ln {\ frac {p} {\ rho ^ {\ gamma}}}}
S.d- -S.GVSV.=ln((pdpG)- -γln((ρdρG){\ displaystyle {\ frac {S_ {d} -S_ {g}} {C_ {V}}} = \ ln \ left ({\ frac {p_ {d}} {p_ {g}}} \ right) - \ gamma \ ln \ left ({\ frac {\ rho _ {d}} {\ rho _ {g}}} \ right)}Dieser Wert ist Null für M g = 1 und steigt mit der Machzahl an. Die Werte von M g <1 führen zu negativen Werten, die durch die Thermodynamik verboten sind. Es gibt keinen Schock für .
M.G≤1{\ displaystyle M_ {g} \ leq 1}
Stationärer Schrägschock
Bei einer geometrischen Konfiguration vom Dieder- Typ kann ein stationärer Schrägschock vorliegen (siehe Abbildung). Im Rahmen der Euler-Gleichungen ignoriert man die komplexen Phänomene der viskosen Wechselwirkung in unmittelbarer Nähe der Wand.
Schreiben Sie die Erhaltung des Impulsdichte-Tensors durch den Schock
((ρV.V.+p)⋅nicht=ρ((V.⊥2V.⊥V.∥V.⊥V.∥V.∥2)((10)+p((10)=((ρV.⊥2+pρV.⊥V.∥){\ displaystyle (\ rho \ mathbf {V} \ mathbf {V} + p) \ cdot \ mathbf {n} = \ rho {\ begin {pmatrix} V _ {\ perp} ^ {2} & V _ {\ perp} V_ {\ parallel} \\ V _ {\ perp} V _ {\ parallel} & V _ {\ parallel} ^ {2} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}} + p {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ rho V _ {\ perp} ^ {2} + p \\\ rho V _ { \ perp} V _ {\ parallel} \ end {pmatrix}}}wo ist der Schock normal und die Komponenten von V normal bzw. parallel. Daher die Erhaltungsbeziehungen
nicht=((10){\ displaystyle \ mathbf {n} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}}V.⊥{\ displaystyle V _ {\ perp}}V.∥{\ displaystyle V _ {\ parallel}}
ρV.⊥d2+pd=ρV.⊥G2+pG{\ displaystyle \ rho V _ {\ perp d} ^ {2} + p_ {d} = \ rho V _ {\ perp g} ^ {2} + p_ {g}}
ρV.⊥dV.∥d=ρV.⊥GV.∥G{\ displaystyle \ rho V _ {\ perp d} V _ {\ parallel d} = \ rho V _ {\ perp g} V _ {\ parallel g}}
Die Erhaltung der Masse ist geschrieben
ρdV.⊥d=ρGV.⊥G{\ displaystyle \ rho _ {d} V _ {\ perp d} = \ rho _ {g} V _ {\ perp g}}Aus den letzten beiden Gleichungen leitet man die Erhaltung der Parallelgeschwindigkeit ab , die man also notieren wird V.∥d=V.∥G{\ displaystyle V _ {\ parallel d} = V _ {\ parallel g}}V.∥{\ displaystyle V _ {\ parallel}}
Das System ist daher identisch mit dem des richtigen Aufpralls für die normalen Geschwindigkeiten und die parallelen Geschwindigkeiten und die Machzahlen dieser Komponenten und , wobei die letztere Größe daher kleiner als eins ist. Dies beeinträchtigt in keiner Weise, ob die Strömung stromabwärts des Schocks entweder Unterschall oder Überschall ist. Aus den Beziehungen für den richtigen Schock können wir daher geben
V.GSündeθ{\ displaystyle V_ {g} \ sin \ theta}V.dSünde((θ- -β){\ displaystyle V_ {d} \ sin (\ theta - \ beta)}V.Gcosθ{\ displaystyle V_ {g} \ cos \ theta}V.dcos((θ- -β){\ displaystyle V_ {d} \ cos (\ theta - \ beta)}M.GSündeθ{\ displaystyle M_ {g} \ sin \ theta}M.dSünde((θ- -β){\ displaystyle M_ {d} \ sin (\ theta - \ beta)}
V.⊥2V.⊥1=V.⊥2V.∥V.∥V.⊥1=bräunen((θ- -β)bräunenθ=((γ- -1)M.G2Sünde2θ+2((γ+1)M.G2Sünde2θ{\ displaystyle {\ frac {V _ {\ perp 2}} {V _ {\ perp 1}}} = {\ frac {V _ {\ perp 2}} {V _ {\ parallel}}} {\ frac {V _ {\ parallel}} {V _ {\ perp 1}}} = {\ frac {\ tan (\ theta - \ beta)} {\ tan \ theta}} = {\ frac {(\ gamma -1 ) M_ {g} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta +2} {(\ gamma +1) M_ {g} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}}}
was in vereinfacht ist
bräunenβ=2bräunenθM.G2Sünde2θ- -1M.G2((γ+cos2θ)+2{\ displaystyle \ tan \ beta = {\ frac {2} {\ tan \ theta}} \, {\ frac {M_ {g} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta -1} {M_ {g } ^ {2} (\ gamma + \ cos 2 \ theta) +2}}}
- Die entsprechenden Kurven (siehe Abbildung) zeigen, dass:
- zwei mögliche Stoßwinkel können einem gegebenen Diederwinkel entsprechen und daher Stöße unterschiedlicher Stärke (die "Kraft" wird beispielsweise durch den Drucksprung gemessen); bei einem schwachen Stoß (allgemein anzutreffen) führt eine Erhöhung der Machzahl zu einer Verringerung des Stoßwinkels;
- für gegebenes M gibt es ein Maximum von β, das einen richtigen Aufprall ermöglicht, darüber hinaus erscheint eine andere Konfiguration: ein gekrümmter Stoß vor dem Fuß des Dieders .
- der Drucksprung
pdpG=1+2γγ+1((M.G2Sünde2θ- -1){\ displaystyle {\ frac {p_ {d}} {p_ {g}}} = 1 + {\ frac {2 \ gamma} {\ gamma +1}} (M_ {g} ^ {2} \ sin ^ { 2} \ theta -1)}ρ2ρ1=((γ+1)M.G2Sünde2θ((γ- -1)M.G2Sünde2θ+2{\ displaystyle {\ frac {\ rho _ {2}} {\ rho _ {1}}} = {\ frac {(\ gamma +1) M_ {g} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta } {(\ gamma -1) M_ {g} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta +2}}}- die nachgeschaltete Machzahl
M.2=1Sünde((θ- -β)1+γ- -12M.G2Sünde2θγM.G2Sünde2θ- -γ- -12{\ displaystyle M_ {2} = {\ frac {1} {\ sin (\ theta - \ beta)}} {\ sqrt {\ frac {1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M_ { g} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta} {\ gamma M_ {g} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta - {\ frac {\ gamma -1} {2}}} }}
Verweise
-
(in) ® Salas , " Die seltsamen Ereignisse, die zur Theorie der Stoßwellen führen " , 17. Schockinteraktionssymposium , Rom,2006( online lesen )
-
Pierre-Henri Hugoniot , „ Memoiren über die Ausbreitung von Bewegungen in Körpern und insbesondere in idealen Gasen (zweiter Teil) “, Journal de l'École Polytechnique , vol. 58,1889, p. 1–125 ( online lesen )
-
(in) William Rankine , " Zur thermodynamischen Theorie der Wellen endlicher Längsstörungen " , Philosophical Transactions der Royal Society of London , vol. 160,1870, p. 277–288 ( online lesen )
-
Marc Buffat, " Beziehungen durch einen richtigen Schock "
-
(in) John D. Anderson, Jr., Grundlagen der Aerodynamik , New York / St. Louis / Paris usw., McGraw-Hill Education ,1991772 p. ( ISBN 0-07-001679-8 )
Externe Links
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