Kontinuierliche Bremsstrahlung
Die Bremsstrahlung oder Bremsstrahlung ( sprich in Deutsch [ b ʁ ɛ m s ˌ ʃ t ʁ hat ː die ʊ ŋ ] zu bremsen "langsam" und strahlung "Strahlung", also d. Oder ‚Verzögerung Strahlung„„Radiation Bremsung‘) ist breite Spektrum elektromagnetische Strahlung, die durch die Verlangsamung elektrischer Ladungen erzeugt wird. Wir sprechen auch von weißer Strahlung .
Wenn ein festes Ziel von einem Elektronenstrahl bombardiert wird , werden sie durch das elektrische Feld der Kerne des Ziels gebremst und abgelenkt . Nun, wie Maxwells Gleichungen beschreiben , strahlt jede Ladung, deren Geschwindigkeit sich im absoluten Wert oder in der Richtung ändert, aus. Da die Energie auf die im Zusammenhang Abbremsung der Elektronen stark Abstufungen folgenden quantifiziert wird (wie durch die zugehörige Übersetzungsverteilungsfunktion erforderlich), erzeugt er einen Strom von Photonen , dessen Spektrums in Energie nahezu kontinuierlich ist.
Anwendungen
Dieses Verfahren wird insbesondere zur Erzeugung von Röntgenstrahlen in Röntgengeneratoren und Synchrotrons verwendet . Diese beiden Quellen geben nicht den gleichen Spektraltyp an . In der Tat ist die Synchrotronstrahlung im Gegensatz zu einer Röntgenröhre, die aufgrund elektronischer Übergänge einige Spektrallinien aufweist, rein kontinuierlich .
Spektrumsform
Die maximale Energie der Photonen ist die anfängliche kinetische Energie E 0 der Elektronen. Das Energiespektrum stoppt daher bei diesem Wert E 0 . Wenn wir das Spektrum in Wellenlänge (die häufigste Darstellung) darstellen, haben wir ein Spektrum, das bei λ 0 beginnt und gleich ist
λ0=hvs.E.0{\ displaystyle \ lambda _ {0} = {\ frac {hc} {E_ {0}}}}oder
λ0=hvs.eU.{\ displaystyle \ lambda _ {0} = {\ frac {hc} {eU}}}und dessen Energie für λ max maximal ist, was gleich ist
λmbeimx=32λ0{\ displaystyle \ lambda _ {\ mathrm {max}} = {\ frac {3} {2}} \ lambda _ {0}}oder
Thermische Bremsstrahlung
In einem Plasma erzeugen freie Elektronen ständig eine Bremsstrahlung, wenn sie mit Ionen kollidieren . In einem einheitlichen Plasma, das thermische Elektronen enthält, wird die spektrale Leistungsdichte der emittierten Bremsstrahlung aus der Differentialgleichung berechnet :
dP.B.rdω=423π[nichtere3]]2[mevs.2kB.T.e]]1/.2[mevs.2re3]]Z.effE.1((wm),{\ displaystyle {dP _ {\ mathrm {Br}} \ over d \ omega} = {4 {\ sqrt {2}} \ over 3 {\ sqrt {\ pi}}} \ left [n_ {e} r_ { e} ^ {3} \ right] ^ {2} \ left [{\ frac {m_ {e} c ^ {2}} {k_ {B} T_ {e}}} \ right] ^ {1/2} \ left [{m_ {e} c ^ {2} \ over r_ {e} ^ {3}} \ right] Z _ {\ mathrm {eff}} E_ {1} (w_ {m}),}Wo ist die Dichte der Elektronen, ist der klassische Radius des Elektrons , ist die Masse des Elektrons, ist die Boltzmann-Konstante und ist die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum. Die ersten beiden Faktoren in eckigen Klammern rechts von der Gleichheit sind dimensionslos. Der Zustand der "effektiven" Ladung eines Ions ist ein Durchschnitt der Ladung aller Ionen:
nichte{\ displaystyle n_ {e}}re{\ displaystyle r_ {e}}me{\ displaystyle m_ {e}}kB.{\ displaystyle k_ {B}}vs.{\ displaystyle c}Z.eff{\ displaystyle Z _ {\ mathrm {eff}}}
Z.eff=∑Z.Z.2nichtZ.nichte{\ displaystyle Z _ {\ mathrm {eff}} = \ sum _ {Z} Z ^ {2} {n_ {Z} \ über n_ {e}}} ,
wo ist die Dichtezahl der Ionen, die eine Ladung von tragen . Die Funktion ist ein integrales Exponential . Die Funktion wird berechnet nach:
nichtZ.{\ displaystyle n_ {Z}}Z.{\ displaystyle Z}E.1{\ displaystyle E_ {1}}wm{\ displaystyle w_ {m}}
wm=ω2me2km2kB.T.e{\ displaystyle w_ {m} = {\ omega ^ {2} m_ {e} \ über 2k_ {m} ^ {2} k_ {B} T_ {e}}}mit der maximalen Wellenzahl oder Cutoff. wenn eV (für eine einzelne Ionenspezies; 27,2 eV ist die doppelte Ionisierungsenergie von Wasserstoff) wobei K eine reine Zahl und die De Broglie-Wellenlänge ist . Ansonsten, wo ist der klassische Coulomb-Abstand entsprechend der nächstgelegenen Flugbahn.
km{\ displaystyle k_ {m}}km=K./.λB.{\ displaystyle k_ {m} = K / \ lambda _ {B}}kB.T.e>27,2Z.2{\ displaystyle k_ {B} T_ {e}> 27,2Z ^ {2}}λB.=ℏ/.((mekB.T.e)1/.2{\ displaystyle \ lambda _ {B} = \ hbar / (m_ {e} k_ {B} T_ {e}) ^ {1/2}}km∝1/.lvs.{\ displaystyle k_ {m} \ propto 1 / l_ {c}}lvs.{\ displaystyle l_ {c}}
dP.B.r/.dω{\ displaystyle dP _ {\ mathrm {Br}} / d \ omega}ist unendlich bei und nimmt entsprechend schnell ab . In einigen speziellen Fällen ist es möglich, das Antiderivativ der Differentialgleichung analytisch zu berechnen.
ω=0{\ displaystyle \ omega = 0}ω{\ displaystyle \ omega}
Für den Fall haben wir
km=K./.λB.{\ displaystyle k_ {m} = K / \ lambda _ {B}}
wm=12K.2[ℏωkB.T.e]]2{\ displaystyle w_ {m} = {1 \ over 2K ^ {2}} \ left [{\ frac {\ hbar \ omega} {k_ {B} T_ {e}}} \ right] ^ {2}} .
In diesem Fall ist die auf allen Frequenzen integrierte Leistungsdichte endlich und wert
P.B.r=83[nichtere3]]2[kB.T.emevs.2]]1/.2[mevs.3re4]]Z.effαK.{\ displaystyle P _ {\ mathrm {Br}} = {8 \ over 3} \ left [n_ {e} r_ {e} ^ {3} \ right] ^ {2} \ left [{k_ {B} T_ {e} \ über m_ {e} c ^ {2}} \ rechts] ^ {1/2} \ links [{m_ {e} c ^ {3} \ über r_ {e} ^ {4}} \ rechts ] Z _ {\ mathrm {eff}} \ alpha K} .
Die Feinstrukturkonstante erscheint aufgrund der Quantennatur von . In der Praxis ist eine häufig verwendete Version dieser Formel:
α{\ displaystyle \ alpha}λB.{\ displaystyle \ lambda _ {B}}
P.B.r[W / m3]]=[nichte7.69×1018m- -3]]2T.e[eV]]1/.2Z.eff{\ displaystyle P _ {\ mathrm {Br}} [{\ textrm {W / m}}} ^ {3}] = \ left [{n_ {e} \ over 7.69 \ times 10 ^ {18} { \ textrm {m}} ^ {- 3}} \ right] ^ {2} T_ {e} [{\ textrm {eV}}] ^ {1/2} Z _ {\ mathrm {eff}}} .
Diese Formel liegt nahe am theoretischen Wert, wenn K = 3,17; Der Wert K = 3 wird von Ichimaru vorgeschlagen.
Bei sehr hohen Temperaturen müssen relativistische Korrekturen vorgenommen werden, indem Terme der Ordnung k B T e / m e c 2 hinzugefügt werden .
Wenn das Plasma optisch dünn ist, verlässt die Strahlung der Bremsstrahlung das Plasma und nimmt einen Teil seiner Energie weg. Dieser Effekt wird als "Bremsstrahlungskühlung" bezeichnet.
Beschreibung durch die Quantenmechanik
Die gesamte Beschreibung unter Verwendung der Quantenmechanik wurde zuerst von Bethe und Heitler durchgeführt. Sie nahmen eine ebene Welle für Elektronen an, die vom Atomkern gestreut werden, und folgerten einen Querschnitt, der die gesamte Geometrie dieses Phänomens mit der Frequenz des emittierten Photons in Beziehung setzt. Der Querschnitt, der eine Symmetrie der Quantenmechanik zur Erzeugung von Paaren zeigt , ist:
d4σ=Z.2αfichnichte3ℏ2((2π)2|p→f||p→ich|dωωdΩichdΩfdΦ|q→|4××[p→f2Sünde2Θf((E.f- -vs.|p→f|cosΘf)2((4E.ich2- -vs.2q→2)+p→ich2Sünde2Θich((E.ich- -vs.|p→ich|cosΘich)2((4E.f2- -vs.2q→2)+2ℏ2ω2p→ich2Sünde2Θich+p→f2Sünde2Θf((E.f- -vs.|p→f|cosΘf)((E.ich- -vs.|p→ich|cosΘich)- -2|p→ich||p→f|SündeΘichSündeΘfcosΦ((E.f- -vs.|p→f|cosΘf)((E.ich- -vs.|p→ich|cosΘich)((2E.ich2+2E.f2- -vs.2q→2)]].{\ displaystyle {\ begin {align} d ^ {4} \ sigma & = {\ frac {Z ^ {2} \ alpha _ {fine} ^ {3} \ hbar ^ {2}} {(2 \ pi) ^ {2}}} {\ frac {| {\ vec {p}} _ {f} |} {| {\ vec {p}} _ {i} |}} {\ frac {d \ omega} {\ Omega}} {\ frac {d \ Omega _ {i} d \ Omega _ {f} d \ Phi} {| {\ vec {q}} | ^ {4}}} \ times \\ & \ times \ left [{\ frac {{\ vec {p}} _ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {f}} {(E_ {f} -c | {\ vec {p}} _ {f} | \ cos \ Theta _ {f}) ^ {2}}} \ left (4E_ {i} ^ {2} -c ^ {2} {\ vec {q}} ^ {2} \ right) \ right. \\ & + {\ frac {{\ vec {p}} _ {i} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i}} {(E_ {i} -c | {\ vec {p}} _ {i} | \ cos \ Theta _ {i}) ^ {2}}} \ left (4E_ {f} ^ {2} -c ^ {2} {\ vec {q}} ^ {2} \ right) \\ & + 2 \ hbar ^ {2} \ omega ^ {2} {\ frac {{\ vec {p}} _ {i} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i} + {\ vec {p}} _ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {f}} {(E_ {f} -c | {\ vec {p}} _ {f} | \ cos \ Theta _ {f}) (E_ {i} -c | {\ vec {p}} _ {i} | \ cos \ Theta _ {i})}} \\ & - 2 \ links. {\ frac {| {\ vec {p}} _ {i} || {\ vec {p}} _ {f} | \ sin \ Theta _ {i} \ sin \ Theta _ {f} \ cos \ Phi} {(E_ {f} -c | {\ vec {p}} _ {f} | \ cos \ Theta _ {f}) (E_ {i} -c | {\ vec {p}} _ { i} | \ cos \ Theta _ {i})}} \ left (2E_ {i} ^ {2} + 2E_ {f} ^ {2} -c ^ {2} {\ vec {q}} ^ {2 } \ right) \ right]. \ end {align}}}Wo ist die Ordnungszahl , die Feinstrukturkonstante , die reduzierte Planck-Konstante und die Lichtgeschwindigkeit . Die kinetische Energie des Elektrons im Anfangs- und Endzustand wird durch die Formel mit seiner Gesamtenergie und seinem Impuls in Beziehung gesetzt :
Z.{\ displaystyle Z}αfichnichte≈1/.137{\ displaystyle \ alpha _ {fine} \ ca. 1/137}ℏ{\ displaystyle \ hbar}vs.{\ displaystyle c}E.kichnicht,ich/.f{\ displaystyle E_ {kin, i / f}} E.ich,f{\ displaystyle E_ {i, f}} p→ich,f{\ displaystyle {\ vec {p}} _ {i, f}}
E.ich,f=E.kichnicht,ich/.f+mevs.2=me2vs.4+p→ich,f2vs.2,{\ displaystyle E_ {i, f} = E_ {kin, i / f} + m_ {e} c ^ {2} = {\ sqrt {m_ {e} ^ {2} c ^ {4} + {\ vec {p}} _ {i, f} ^ {2} c ^ {2}}},}
Wo ist die Masse des Elektrons ? Die Energieeinsparung gibt
me{\ displaystyle m_ {e}}
E.f=E.ich- -ℏω,{\ displaystyle E_ {f} = E_ {i} - \ hbar \ omega,}
Wo ist die kinetische Energie des Photons? Die Richtungen des emittierten Photons und des gestreuten Elektrons sind gegeben durch
ℏω{\ displaystyle \ hbar \ omega}
Θich=∢((p→ich,k→),Θf=∢((p→f,k→),Φ=Winkel zwischen ebenen Wellen ((p→ich,k→) und ((p→f,k→),{\ displaystyle {\ begin {align} \ Theta _ {i} & = \ sphärischer Winkel ({\ vec {p}} _ {i}, {\ vec {k}}), \\\ Theta _ {f} & = \ sphärischer Winkel ({\ vec {p}} _ {f}, {\ vec {k}}), \\\ Phi & = {\ text {Winkel zwischen ebenen Wellen}} ({\ vec {p}} _ {i}, {\ vec {k}}) {\ text {et}} ({\ vec {p}} _ {f}, {\ vec {k}}), \ end {align}}}
Wo ist der Impuls des Photons?k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}
Die Differenzen sind gegeben durch
dΩich=SündeΘich dΘich,dΩf=SündeΘf dΘf.{\ displaystyle {\ begin {align} d \ Omega _ {i} & = \ sin \ Theta _ {i} \ d \ Theta _ {i}, \\ d \ Omega _ {f} & = \ sin \ Theta _ {f} \ d \ Theta _ {f}. \ end {align}}}
Der Absolutwert von den virtuellen Photonen zwischen dem Atomkern und dem Elektron
- -q→2=- -|p→ich|2- -|p→f|2- -((ℏvs.ω)2+2|p→ich|ℏvs.ωcosΘich- -2|p→f|ℏvs.ωcosΘf+2|p→ich||p→f|((cosΘfcosΘich+SündeΘfSündeΘichcosΦ).{\ displaystyle {\ begin {align} - {\ vec {q}} ^ {2} & = - | {\ vec {p}} _ {i} | ^ {2} - | {\ vec {p}} _ {f} | ^ {2} - \ left ({\ frac {\ hbar} {c}} \ omega \ right) ^ {2} +2 | {\ vec {p}} _ {i} | {\ frac {\ hbar} {c}} \ omega \ cos \ Theta _ {i} -2 | {\ vec {p}} _ {f} | {\ frac {\ hbar} {c}} \ omega \ cos \ Theta _ {f} \\ & + 2 | {\ vec {p}} _ {i} || {\ vec {p}} _ {f} | (\ cos \ Theta _ {f} \ cos \ Theta _ {i} + \ sin \ Theta _ {f} \ sin \ Theta _ {i} \ cos \ Phi). \ end {align}}}
Die Gültigkeit ergibt sich aus der Born-Näherung
v≫Z.vs.137{\ displaystyle v \ gg {\ frac {Zc} {137}}}
wobei diese Beziehung für die Geschwindigkeit des Elektrons im Anfangs- und Endzustand gilt.
v{\ displaystyle v}
Für praktische Anwendungen (z. B. Monte-Carlo-Codes) kann es interessant sein, sich auf die Beziehung zwischen der Frequenz des emittierten Photons und dem Winkel zwischen diesem Photon und dem eingegebenen Elektron zu konzentrieren. Köhn und Ebert haben den Querschnitt von Bethe und Heitler auf und integriert und erhalten:
Φ{\ displaystyle \ Phi}Θf{\ displaystyle \ Theta _ {f}}
d2σ((E.ich,ω,Θich)dωdΩich=∑j=16ichj{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ sigma (E_ {i}, \ omega, \ Theta _ {i})} {d \ omega d \ Omega _ {i}}} = \ sum \ limit _ {j = 1} ^ {6} I_ {j}}mit
ich1=2πBEIMΔ22+4pich2pf2Sünde2Θichln((Δ22+4pich2pf2Sünde2Θich- -Δ22+4pich2pf2Sünde2Θich((Δ1+Δ2)+Δ1Δ2- -Δ22- -4pich2pf2Sünde2Θich- -Δ22+4pich2pf2Sünde2Θich((Δ1- -Δ2)+Δ1Δ2)×[1+vs.Δ2pf((E.ich- -vs.pichcosΘich)- -pich2vs.2Sünde2Θich((E.ich- -vs.pichcosΘich)2- -2ℏ2ω2pfΔ2vs.((E.ich- -vs.pichcosΘich)((Δ22+4pich2pf2Sünde2Θich)]],ich2=- -2πBEIMvs.pf((E.ich- -vs.pichcosΘich)ln((E.f+pfvs.E.f- -pfvs.),ich3=2πBEIM((Δ2E.f+Δ1pfvs.)2+4m2vs.4pich2pf2Sünde2Θich×ln((((((E.f+pfvs.)((4pich2pf2Sünde2Θich((E.f- -pfvs.)+((Δ1+Δ2)((((Δ2E.f+Δ1pfvs.)- -((Δ2E.f+Δ1pfvs.)2+4m2vs.4pich2pf2Sünde2Θich)))((((E.f- -pfvs.)((4pich2pf2Sünde2Θich((- -E.f- -pfvs.)+((Δ1- -Δ2)((((Δ2E.f+Δ1pfvs.)- -((Δ2E.f+Δ1pfvs.)2+4m2vs.4pich2pf2Sünde2Θich)))- -1)×[- -((Δ22+4pich2pf2Sünde2Θich)((E.f3+E.fpf2vs.2)+pfvs.((2((Δ12- -4pich2pf2Sünde2Θich)E.fpfvs.+Δ1Δ2((3E.f2+pf2vs.2))((Δ2E.f+Δ1pfvs.)2+4m2vs.4pich2pf2Sünde2Θich- -vs.((Δ2E.f+Δ1pfvs.)pf((E.ich- -vs.pichcosΘich)- -4E.ich2pf2((2((Δ2E.f+Δ1pfvs.)2- -4m2vs.4pich2pf2Sünde2Θich)((Δ1E.f+Δ2pfvs.)((((Δ2E.f+Δ1pfvs.)2+4m2vs.4pich2pf2Sünde2Θich)2+8pich2pf2m2vs.4Sünde2Θich((E.ich2+E.f2)- -2ℏ2ω2pich2Sünde2Θichpfvs.((Δ2E.f+Δ1pfvs.)+2ℏ2ω2pfm2vs.3((Δ2E.f+Δ1pfvs.)((E.ich- -vs.pichcosΘich)((((Δ2E.f+Δ1pfvs.)2+4m2vs.4pich2pf2Sünde2Θich)]],ich4=- -4πBEIMpfvs.((Δ2E.f+Δ1pfvs.)((Δ2E.f+Δ1pfvs.)2+4m2vs.4pich2pf2Sünde2Θich- -16πE.ich2pf2BEIM((Δ2E.f+Δ1pfvs.)2((((Δ2E.f+Δ1pfvs.)2+4m2vs.4pich2pf2Sünde2Θich)2,ich5=4πBEIM((- -Δ22+Δ12- -4pich2pf2Sünde2Θich)((((Δ2E.f+Δ1pfvs.)2+4m2vs.4pich2pf2Sünde2Θich)×[ℏ2ω2pf2E.ich- -vs.pichcosΘich×E.f[2Δ22((Δ22- -Δ12)+8pich2pf2Sünde2Θich((Δ22+Δ12)]]+pfvs.[2Δ1Δ2((Δ22- -Δ12)+16Δ1Δ2pich2pf2Sünde2Θich]]Δ22+4pich2pf2Sünde2Θich+2ℏ2ω2pich2Sünde2Θich((2Δ1Δ2pfvs.+2Δ22E.f+8pich2pf2Sünde2ΘichE.f)E.ich- -vs.pichcosΘich+2E.ich2pf2{2((Δ22- -Δ12)((Δ2E.f+Δ1pfvs.)2+8pich2pf2Sünde2Θich[((Δ12+Δ22)((E.f2+pf2vs.2)+4Δ1Δ2E.fpfvs.]]}}((((Δ2E.f+Δ1pfvs.)2+4m2vs.4pich2pf2Sünde2Θich)+8pich2pf2Sünde2Θich((E.ich2+E.f2)((Δ2pfvs.+Δ1E.f)E.ich- -vs.pichcosΘich]],ich6=16πE.f2pich2Sünde2ΘichBEIM((E.ich- -vs.pichcosΘich)2((- -Δ22+Δ12- -4pich2pf2Sünde2Θich),{\ displaystyle {\ begin {align} I_ {1} & = {\ frac {2 \ pi A} {\ sqrt {\ Delta _ {2} ^ {2} + 4p_ {i} ^ {2} p_ {f } ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i}}} \ ln \ left ({\ frac {\ Delta _ {2} ^ {2} + 4p_ {i} ^ {2} p_ { f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i} - {\ sqrt {\ Delta _ {2} ^ {2} + 4p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i}}} (\ Delta _ {1} + \ Delta _ {2}) + \ Delta _ {1} \ Delta _ {2}} {- \ Delta _ {2 } ^ {2} -4p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i} - {\ sqrt {\ Delta _ {2} ^ {2} + 4p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i}}} (\ Delta _ {1} - \ Delta _ {2}) + \ Delta _ { 1} \ Delta _ {2}}} \ rechts) \\ & \ times \ left [1 + {\ frac {c \ Delta _ {2}} {p_ {f} (E_ {i} -cp_ {i} \ cos \ Theta _ {i})}} - {\ frac {p_ {i} ^ {2} c ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i}} {(E_ {i} -cp_ {i} \ cos \ Theta _ {i}) ^ {2}}} - {\ frac {2 \ hbar ^ {2} \ omega ^ {2} p_ {f} \ Delta _ {2}} {c ( E_ {i} -cp_ {i} \ cos \ Theta _ {i}) (\ Delta _ {2} ^ {2} + 4p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ { 2} \ Theta _ {i})}} \ right], \\ I_ {2} & = - {\ frac {2 \ pi Ac} {p_ {f} (E_ {i} -cp_ {i} \ cos \ Theta _ {i})}} \ ln \ left ({\ frac {E_ {f} + p_ {f} c} {E_ {f} -p_ {f} c}} \ right), \\ I_ { 3} & = {\ frac {2 \ pi A} {\ sqrt {(\ Delta _ {2} E_ {f} + \ Delta _ {1} p_ {f} c) ^ {2} + 4m ^ {2 } c ^ {4} p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i}}} \\ & \ times \ ln {\ Bigg (} {\ Big (} (E_ {f} + p_) {f} c) (4p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i} (E_ {f} -p_ {f} c) + (\ Delta _ {1} + \ Delta _ {2}) ((\ Delta _ {2} E_ {f} + \ Delta _ {1} p_ {f} c) \\ & - {\ sqrt {(\ Delta _ { 2} E_ {f} + \ Delta _ {1} p_ {f} c) ^ {2} + 4m ^ {2} c ^ {4} p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i}}})) {\ Big)} {\ Big (} (E_ {f} -p_ {f} c) (4p_ {i} ^ {2} p_ {f } ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i} (- E_ {f} -p_ {f} c) \\ & + (\ Delta _ {1} - \ Delta _ {2}) ( (\ Delta _ {2} E_ {f} + \ Delta _ {1} p_ {f} c) - {\ sqrt {(\ Delta _ {2} E_ {f} + \ Delta _ {1} p_ {f } c) ^ {2} + 4m ^ {2} c ^ {4} p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i}}})) ) {\ Big)} ^ {- 1} {\ Bigg)} \\ & \ times \ left [- {\ frac {(\ Delta _ {2} ^ {2} + 4p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i}) (E_ {f} ^ {3} + E_ {f} p_ {f} ^ {2} c ^ {2}) + p_ {f} c (2 (\ Delta _ {1} ^ {2} -4p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i}) E_ {f } p_ {f} c + \ Delta _ {1} \ Delta _ {2} (3E_ {f} ^ {2} + p_ {f} ^ {2} c ^ {2})} {(\ Delta _ {2} E_ {f} + \ Delta _ {1} p_ {f} c) ^ {2} + 4m ^ {2} c ^ {4} p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2 } \ sin ^ {2} \ Theta _ {i}}} \ right. \\ & - {\ frac {c (\ Delta _ {2} E_ {f} + \ Delta _ {1} p_ {f} c )} {p_ {f} (E_ {i} -cp_ {i} \ cos \ Thet a _ {i})}} \\ & - {\ frac {4E_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} (2 (\ Delta _ {2} E_ {f} + \ Delta _ { 1} p_ {f} c) ^ {2} -4m ^ {2} c ^ {4} p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i }) (\ Delta _ {1} E_ {f} + \ Delta _ {2} p_ {f} c)} {((\ Delta _ {2} E_ {f} + \ Delta _ {1} p_ {f } c) ^ {2} + 4m ^ {2} c ^ {4} p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i}) ^ {2 }}} \\ & + \ left. {\ frac {8p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} m ^ {2} c ^ {4} \ sin ^ {2} \ Theta _ { i} (E_ {i} ^ {2} + E_ {f} ^ {2}) - 2 \ hbar ^ {2} \ omega ^ {2} p_ {i} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i} p_ {f} c (\ Delta _ {2} E_ {f} + \ Delta _ {1} p_ {f} c) +2 \ hbar ^ {2} \ omega ^ {2} p_ { f} m ^ {2} c ^ {3} (\ Delta _ {2} E_ {f} + \ Delta _ {1} p_ {f} c)} {(E_ {i} -cp_ {i} \ cos \ Theta _ {i}) ((\ Delta _ {2} E_ {f} + \ Delta _ {1} p_ {f} c) ^ {2} + 4m ^ {2} c ^ {4} p_ {i } ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i})}} \ right], \\ I_ {4} & = - {\ frac {4 \ pi Ap_ { f} c (\ Delta _ {2} E_ {f} + \ Delta _ {1} p_ {f} c)} {(\ Delta _ {2} E_ {f} + \ Delta _ {1} p_ {f } c) ^ {2} + 4m ^ {2} c ^ {4} p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i}}} - { \ frac {16 \ pi E_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} A (\ Delta _ {2} E_ {f} + \ Delta _ {1} p_ {f} c) ^ {2 }} {((\ Delta _ {2} E_ {f} + \ Delta _ {1} p_ {f} c) ^ {2} + 4m ^ {2} c ^ {4} p_ {i} ^ {2 } p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i}) ^ {2}}}, \\ I_ {5 } & = {\ frac {4 \ pi A} {(- \ Delta _ {2} ^ {2} + \ Delta _ {1} ^ {2} -4p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i}) ((\ Delta _ {2} E_ {f} + \ Delta _ {1} p_ {f} c) ^ {2} + 4m ^ {2 } c ^ {4} p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i})}} \\ & \ times \ left [{\ frac {\ hbar ^ {2} \ omega ^ {2} p_ {f} ^ {2}} {E_ {i} -cp_ {i} \ cos \ Theta _ {i}}} \ right. \\ & \ times {\ frac {E_ {f} [2 \ Delta _ {2} ^ {2} (\ Delta _ {2} ^ {2} - \ Delta _ {1} ^ {2}) + 8p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i} (\ Delta _ {2} ^ {2} + \ Delta _ {1} ^ {2})] + p_ {f} c [2 \ Delta _ {1} \ Delta _ {2} (\ Delta _ {2} ^ {2} - \ Delta _ {1} ^ {2}) + 16 \ Delta _ {1} \ Delta _ {2 } p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i}]} {\ Delta _ {2} ^ {2} + 4p_ {i} ^ {2 } p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i}}} \\ & + {\ frac {2 \ hbar ^ {2} \ omega ^ {2} p_ {i} ^ { 2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i} (2 \ Delta _ {1} \ Delta _ {2} p_ {f} c + 2 \ Delta _ {2} ^ {2} E_ {f} + 8p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i} E_ {f})} {E_ {i} -cp_ {i} \ cos \ Theta _ { i}}} \\ & + {\ frac {2E_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ {2 (\ Delta _ {2} ^ {2} - \ Delta _ {1} ^ {2}) (\ Delta _ {2} E_ {f} + \ Delta _ {1} p_ {f} c) ^ {2} + 8p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i} [(\ Delta _ {1} ^ {2} + \ Delta _ {2} ^ {2}) (E_ {f} ^ {2} + p _ {f} ^ {2} c ^ {2}) + 4 \ Delta _ {1} \ Delta _ {2} E_ {f} p_ {f} c] \}} {((\ Delta _ {2}) E_ {f} + \ Delta _ {1} p_ {f} c) ^ {2} + 4m ^ {2} c ^ {4} p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i})}} \\ & + \ left. {\ Frac {8p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ { i} (E_ {i} ^ {2} + E_ {f} ^ {2}) (\ Delta _ {2} p_ {f} c + \ Delta _ {1} E_ {f})} {E_ {i } -cp_ {i} \ cos \ Theta _ {i}}} \ right], \\ I_ {6} & = {\ frac {16 \ pi E_ {f} ^ {2} p_ {i} ^ {2 } \ sin ^ {2} \ Theta _ {i} A} {(E_ {i} -cp_ {i} \ cos \ Theta _ {i}) ^ {2} (- \ Delta _ {2} ^ {2 } + \ Delta _ {1} ^ {2} -4p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i})}}, \ end {align} }}und
BEIM=Z.2αfichnichte3((2π)2|p→f||p→ich|ℏ2ωΔ1=- -p→ich2- -p→f2- -((ℏvs.ω)2+2ℏvs.ω|p→ich|cosΘich,Δ2=- -2ℏvs.ω|p→f|+2|p→ich||p→f|cosΘich.{\ displaystyle {\ begin {align} A & = {\ frac {Z ^ {2} \ alpha _ {fine} ^ {3}} {(2 \ pi) ^ {2}}} {\ frac {| { \ vec {p}} _ {f} |} {| {\ vec {p}} _ {i} |}} {\ frac {\ hbar ^ {2}} {\ omega}} \\\ Delta _ { 1} & = - {\ vec {p}} _ {i} ^ {2} - {\ vec {p}} _ {f} ^ {2} - \ left ({\ frac {\ hbar} {c} } \ omega \ right) ^ {2} +2 {\ frac {\ hbar} {c}} \ omega | {\ vec {p}} _ {i} | \ cos \ Theta _ {i}, \\\ Delta _ {2} & = - 2 {\ frac {\ hbar} {c}} \ omega | {\ vec {p}} _ {f} | +2 | {\ vec {p}} _ {i} | | {\ vec {p}} _ {f} | \ cos \ Theta _ {i}. \ end {align}}}
Eine doppelte differentielle Integration des effektiven Abschnitts zeigt zum Beispiel, dass Elektronen, deren kinetische Energie größer ist als die Energie in Ruhe (511 keV), Photonen meist in der Richtung vor ihnen emittieren, während Elektronen kleinerer Energien Photonen isotrop emittieren (dh gleichermaßen in alle Richtungen).
Anmerkungen und Referenzen
Anmerkungen
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Die Energie der Elektronen folgt einer Maxwell-Boltzmann-Verteilung bei einer Temperatur .T.e{\ displaystyle T_ {e}}
-
ist eine Leistung pro Winkelfrequenzintervall pro Volumen, die über den gesamten Raumwinkel integriert ist.
Verweise
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(in) NRL Plasma Formulary 2006 Revision, p. 58.
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Siehe auch
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