Spektralstrahl

Sei ein Endomorphismus auf einem komplexen Banachraum , wir nennen den Spektralradius von und bezeichnen den Radius der kleinsten geschlossenen Kugel mit dem Zentrum 0, der alle Spektralwerte von enthält . Sie ist immer kleiner oder gleich dem Bedienerstandard von . $BEIM$ $E.$ $BEIM$ $\ rho (A)$ $BEIM$ $BEIM$

In der endlichen Dimension ist für einen Endomorphismus komplexer Eigenwerte der Spektralradius gleich . $\ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, ..., \ lambda _ {n}$ $\ max _ {{i}} {\ left | \ lambda _ {i} \ right |}$

Daher gilt für jede Matrixnorm N , dh jede Standardalgebra für (bzw. ) und für jede Matrix A für (jeweils ) . $M_ {n} (\ mathbb {R})$ $M_ {n} ({\ mathbb C})$ $M_ {n} (\ mathbb {R})$ $M_ {n} ({\ mathbb C})$ $\ rho (A) \ leq N (A)$

Demonstration

Sei ein Eigenwert von und ein zugehöriger Eigenvektor. Beachten Sie die quadratische Matrix, deren erste Spalte und die anderen Null sind. Wir haben also und wir können vereinfachen, indem wir, weil der Vektor nicht Null ist, für die Matrix der gleiche sind . $\ lambda$ $BEIM$ $X.$ $B.$ $X.$ $AB = \ Lambda B.$ $| \ lambda | N (B) = N (AB) \ leq N (A) N (B)$ $N (B)$ $X.$ $B.$

Darüber hinaus zeigen wir, dass die Untergrenze für die Menge der untergeordneten Normen und damit erst recht für die Menge der Algebra-Normen festgelegt wird. $\ rho (A) = \ inf N (A)$

Der Satz von Gelfand besagt, dass der spektrale Radius eines Endomorphismus durch die Formel gegeben ist . $\ rho (A)$ $BEIM$ $\ rho (A) = \ lim _ {{+ \ infty}} \ | A ^ {n} \ | ^ {{1 / n}}$

Für einen normalen Operator (insbesondere für einen Autoadjoint-Operator ) auf einem Hilbert-Raum H ist der Spektralradius gleich der Operatornorm. Daraus folgt, dass für jeden Operator A auf H , . $\ | A \ | ^ {2} = \ rho (A ^ {*} A)$

Der Spektralradius kann daher streng kleiner sein als der Bedienerstandard. Zum Beispiel hat die Matrix einen Spektralradius 0, aber so (genauer gesagt, weil wir haben ). $M = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}$ $M \ neq 0$ $\ | M \ |> 0 = \ rho (M)$ $\ | M \ | = 1$ $\ | M \ | ^ {2} = \ | ^ {{\ operatorname t}} M \ M \ | = \ rho (^ {{\ operatorname t}} M \ M) = 1$

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