Volles Viereck
In der Ebenengeometrie ist ein vollständiges Viereck (manchmal nur ein Viereck ) die Figur, die aus vier Punkten A, B, C und D besteht, so dass drei von ihnen nicht ausgerichtet sind: Dies sind die Eckpunkte des Vierecks. Die sechs Linien, die diese Punkte zwei mal zwei verbinden, sind die Seiten des Vierecks.
Zwei Seiten, die keinen gemeinsamen Scheitelpunkt haben, sollen entgegengesetzt sein. Zwei gegenüberliegende (nicht parallele) Seiten haben einen gemeinsamen Punkt , der als diagonaler Punkt des Vierecks bezeichnet wird . Ein volles Viereck (dessen Seiten nicht parallel sind) hat vier Eckpunkte, sechs Seiten und drei diagonale Punkte.
Das Viereck ist von seinem projektiven Dual zu unterscheiden, dem vollständigen Viereck, das aus vier Linien ohne Triplett gleichzeitiger Linien und ihren sechs Schnittpunkten besteht und drei Diagonalen und drei Diagonalpunkte enthält.
Beschreibbares Viereck
Ein Viereck gilt als beschreibbar, wenn sich seine vier Eckpunkte auf demselben Kreis befinden .
Damit ein Viereck beschreibbar ist, ist es notwendig und ausreichend, dass zwei Paare gegenüberliegender Seiten antiparallel sind . Das dritte Paar ist dann zu jedem der beiden anderen antiparallel.
Sei ABCD ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten (AB) und (CD) sich bei I schneiden:
ABCD ist genau dann beschreibbar, wenn IA × IB = IC × ID.
IA × IB ist die Potenz von Punkt I in Bezug auf den dem Viereck umschriebenen Kreis.
Die Winkel und sind gleich. Die Dreiecke IAD und ICB sind (umgekehrt) ähnlich (die Winkel sind beschriftet und zusätzlich - in der obigen Abbildung - oder gleich).
Orthozentrisches Viereck
Ein Viereck wird als orthozentrisch bezeichnet, wenn einer der vier Punkte das Orthozentrum des Dreiecks ist, das von den anderen drei Punkten gebildet wird.
Die drei Eckpunkte des Dreiecks und ihr Orthozentrum bilden ein orthozentrisches Viereck: Jeder dieser Punkte ist das Orthozentrum des Dreiecks, das von den anderen drei Punkten gebildet wird.
In einem Dreieck bilden der Mittelpunkt des in das Dreieck eingeschriebenen Kreises und die Zentren der ausgeschiedenen Kreise ebenfalls ein orthozentrisches Viereck.
Anmerkungen und Referenzen
- W Gellert , H. Küstner , M. Hellwich und H. Kästner , Kleine Enzyklopädie der Mathematik , Didier ,1980, p. 603
- " Viereck orthozentrisch " im Glossar von Publimath