Pascals Pyramide

In der Mathematik ist Pascals Pyramide oder Pascals Tetraeder eine dreidimensionale Verallgemeinerung des Pascalschen Dreiecks . Genauso wie das Pascalsche Dreieck Binomialkoeffizienten liefert , liefert die Pascalsche Pyramide Trinomialkoeffizienten.

Trinomialkoeffizienten

Präsentation und Nützlichkeit

Trinomialkoeffizienten sind ein Sonderfall von Multinomialkoeffizienten. Sie werden in der Form mit drei natürlichen Zahlen (positiv oder null) und geschrieben . Sie werden durch die Formel definiert . Wie bei allen Multinomialkoeffizienten ist ihr Interesse vielfältig. Wir können sie in den folgenden Fällen finden: ${\ displaystyle {n \ wähle i, j, k}}$ $(i, j, k)$ ${\ displaystyle n = i + j + k}$ ${\ displaystyle {n \ wähle i, j, k} = {\ frac {n!} {i! j! k!}}}$

In der Algebra mit der Entwicklung des Newtonschen Trinoms.
In der Aufzählung ist die Anzahl der möglichen Anordnungen einer Population von n Objekten, die aus i Objekten einer Art A, j Objekt einer Art B und k Objekten einer Art C bestehen, wobei die Objekte derselben Art nicht unterscheidbar sind und ihre relativen Positionen daher nicht wichtig. ${\ displaystyle {n \ wähle i, j, k}}$
In der Statistik wegen der vorherigen Eigenschaft.

Verbindung zwischen Trinomialkoeffizienten und Pascals Pyramide

Die Pascal-Pyramide basiert auf der Tatsache, dass die Trinomialkoeffizienten einem Gesetz der Wiederholung des Pascal-Beziehungstyps der Form folgen: wahr für alle natürlichen ganzzahligen Tripletts mit . ${\ displaystyle {n \ wähle i, j, k} = {n-1 \ wähle i-1, j, k} + {n-1 \ wähle i, j-1, k} + {n-1 \ wähle i, j, k-1}}$ $(i, j, k)$ ${\ displaystyle n = i + j + k}$

Diese Regel bleibt in den Fällen i, j oder k gleich 0 wahr, vorausgesetzt, die folgende Konvention wird angewendet: if . ${\ displaystyle {n '\ wähle i', j ', k'} = 0}$ ${\ displaystyle i '\ leq -1 {\ text {oder}} j' \ leq -1 {\ text {oder}} k '\ leq -1 {\ text {und}} n' = i '+ j' + k '\ geq 0}$

Demonstration

Der Beweis besteht darin, nach einer Faktorisierung des Ausdrucks zu suchen

${\ displaystyle {n-1 \ wähle i-1, j, k} + {n-1 \ wähle i, j-1, k} + {n-1 \ wähle i, j, k-1} = {\ frac {(n-1)!} {(i-1)! j! k!}} + {\ frac {(n-1)!} {i! (j-1)! k!}} + {\ frac {(n-1)!} {i! j! (k-1)!}}}$

Wir können beginnen, indem wir den Begriff (n-1) setzen! Wenn wir also versuchen, die drei Terme auf denselben Nenner zu reduzieren, werden wir feststellen, dass es sich daher um einen gemeinsamen Nenner handelt ${\ displaystyle {\ frac {1} {(i-1)!}} = {\ frac {i} {i!}}}$ ${\ displaystyle i! j! k!}$

Wir werden daher haben: ${\ displaystyle {n-1 \ wähle i-1, j, k} + {n-1 \ wähle i, j-1, k} + {n-1 \ wähle i, j, k-1} = {\ frac {(n-1)!} {i! j! k!}} \ left (i + j + k \ right)}$

Ab und zu : ${\ displaystyle n = i + j + k}$ ${\ displaystyle (n-1)! n = n!}$

${\ displaystyle {n-1 \ wähle i-1, j, k} + {n-1 \ wähle i, j-1, k} + {n-1 \ wähle i, j, k-1} = {\ frac {n!} {i! j! k!}} = {n \ wähle i, j, k}}$

Pascals Dreieck lesen

Die Pyramide wird Stockwerk für Stockwerk gebaut, beginnend oben (n = 0) und abwärts (inkrementierend n). Die ersten Stockwerke von oben bestehen also aus:

1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 1 3 6 3 6 12 6 1 3 3 1 4 12 12 4 1 4 6 4 1

Da in Stufe n die natürlichen Zahlen die Beziehung berücksichtigen müssen , lokalisieren wir die Position des Trinomialkoeffizienten auf Stufe n unter Verwendung solcher Konventionen (in diesem Fall angewendet auf n = 3): $(i, j, k)$ ${\ displaystyle n = i + j + k}$ ${\ displaystyle {n \ wähle i, j, k}}$

k=0 \ k=1 1 - j=3 \ / \ k=2 3 - 3 - j=2 \ / \ / \ k=3 3 - 6 - 3 - j=1 \ / \ / \ / \ 1 - 3 - 3 - 3 - j=0 / / / / i=0 i=1 i=2 i=3

Mit den angenommenen Konventionen können wir also sehen, dass die zweiten Koeffizienten (i = 1) in der zweiten Zeile (j = 1) von unten beginnend vorhanden sind und daher gleich 6 sind. Ebenso ist der zweite (i + 1) Element der dritten (j + 1) Zeile beginnend von unten, es ist daher gleich 3, wir werden feststellen, dass sich das betreffende Element auf der Zeile des Index k = 0 befindet. ${\ displaystyle {3 \ wähle 1,1,1}}$ ${\ displaystyle {3 \ wähle 1,2,0}}$

Die Verbindung zu Pascals Beziehung besteht darin, dass der Wert eines Elements die Summe der drei Elemente ist (zwei, wenn wir uns auf einer Fläche befinden, 1 für eine Kante), die sich direkt über dem ersten Element im vorherigen Stock befinden. Zum Beispiel ist für die Etage n = 3 die zentrale 6 zufällig die Summe der drei 2s, die sich direkt darüber in der Etage n = 2 befinden.

Eigenschaften

Jede Seite von Pascals Pyramide ist mit Pascals Dreieck identifizierbar. Dies kann entweder durch Induktion erklärt werden, aber es ist einfacher zu bemerken, dass eine Fläche der Pyramide einer Ebene entspricht, die entweder i = 0, j = 0 oder k = 0 erfüllt, und da wir haben , können wir auch notieren, wo ${\ displaystyle 0! = 1}$ ${\ displaystyle {n \ wähle 0, j, k} = {\ frac {n!} {j! k!}} = {n \ wähle j, k}}$ ${n \ wähle k}$ ${\ displaystyle {n \ wähle j}}$

Die Pascalsche Pyramide kann aufgrund der folgenden Formel bei der Entwicklung des Newton-Trinoms verwendet werden:

${\ displaystyle (x + y + z) ^ {n} = \ sum _ {i, j, k \ geq 0, i + j + k = n} {{n \ wähle i, j, k} x ^ { i} y ^ {j} z ^ {k}}}$

Wir können aus dieser Formel oder durch Induktion ableiten, dass die Summe der Elemente der Stufe n gleich ist . ${\ displaystyle 3 ^ {n}}$

Eine Pascal-Pyramide mit Seite n besteht aus Zahlen, deren Summe gleich ist . ${\ frac {(n + 2)!} {6 (n-1)!}}$ ${\ displaystyle {\ frac {3 ^ {n} -1} {2}}}$

Ein Pascal- Simplex der Dimension d und der Seite n besteht aus Zahlen, die Summe dieser Zahlen ist gleich . ${\ frac {(n + d-1)!} {d! (n-1)!}}$ ${\ displaystyle {\ frac {d ^ {n} -1} {d-1}}}$

Anmerkungen und Referenzen

(fr) Dieser Artikel teilweise oder vollständig aus dem Wikipedia - Artikel in genommen englischen Titeln „ Pascals Pyramide “ ( siehe die Liste der Autoren ) .

Siehe auch

Zum Thema passende Artikel

Externe Links

(en) Jenseits des Flachlandes: Geometrie für das 21. Jahrhundert. TEIL I: Pascals Tetraeder
( fr ) Pascals Simplices über Pascals Dreieck, Pascals Pyramide und mehr