In der Ebenengeometrie ist ein Descartes-Oval die Menge von Punkten M, die eine Gleichung der Form b F 1 M + a F 2 M = c F 1 F 2 erfüllen , wobei a , b und c drei nicht reale Realitäten null und F 1 sind , F 2 zwei gegebene Punkte, die als Brennpunkte bezeichnet werden.
Für jedes nicht entartete Oval der Brennpunkte F 1 und F 2 gibt es einen dritten Fokus F 3 und neue Parameter, die die Kurve zu einem Oval der Brennpunkte F 1 , F 3 machen . Dies ist der Grund, warum wir von den drei Schwerpunkten eines Ovals sprechen.
Die Menge der Punkte M, so dass | b F 1 M ± a F 2 M | = | c F 1 F 2 | wird als volles Oval bezeichnet und kombiniert zwei Kurven des vorherigen Typs. Ein volles Oval ist ein Sonderfall einer Quarzkurve .
Der Name "Descartes oval" bezieht sich auf den Mathematiker René Descartes, der sie als erster bei Brechungsproblemen untersuchte .
René Descartes spielt in seiner Dioptrie auf diese Kurven an , studiert sie jedoch in seiner Geometrie genauer . Er präsentiert sie nicht direkt durch ihre bifokale Gleichung, sondern mit Hilfe einer Konstruktion. Seine Motivation ist praktisch: Es geht darum, Kurven perfekten Stigmatismus zu suchen. Das heißt, Kurven, die zwei Medien mit unterschiedlichen Indizes trennen, so dass alle Strahlen, die von einem bestimmten Punkt des ersten Mediums kommen, durch Brechung an einem bestimmten Punkt des zweiten Mediums konvergieren.
Innere Ovale weisen diese Besonderheit auf: Wenn das Oval mit der Gleichung b F 1 M + a F 2 M = c F 1 F 2, wobei 0 < a < c < b ein inneres Medium des Index b von einem äußeren Medium d trennt. Der Index a dann Die Strahlen, die von F 2 kommen und auf das Oval treffen, werden in F 1 gebrochen .
Descartes mobilisiert in dieser Studie seine neuen Kenntnisse des Brechungsgesetzes sowie seine Techniken zum Zeichnen von Tangenten an Kurven. Er schließt mit der Präsentation einer Brille, die die Kombination von zwei Ovalen ermöglicht, um einen absoluten Stigmatismus zu gewährleisten.
Er schlägt auch eine mechanische Einrichtung zum Konstruieren solcher Ovalen für Koeffizienten b und eine natürliche ganze Zahlen , wenn c = ( a + b ) / 2, mit einem Verfahren , ähnlich dem Gardener - Methode.
Die Kurve wird auch von Isaac Newton , Adolphe Quételet , untersucht, der die beiden Zweige der Kurve untersucht und die polare Gleichung von Michel Chasles angibt . Arthur Cayley , Hieronymus Georg Zeuthen und Hammond entwickeln mechanische Konstruktionsmethoden.
Wir betrachten die bipolare Gleichungskurve b F 1 M + a F 2 M = c F 1 F 2 . Wir können ohne Verlust der Allgemeinheit a + b > 0 annehmen . Wenn c <min ( a , b ) ist, ist die Kurve leer.
Wenn 0 < a = b < c die Menge der Punkte M eine Ellipse ist, wird der dritte Fokus ins Unendliche gesendet. Es wird allgemein als entartetes Oval angesehen.
Wenn a + b = 0 ist, ist die Menge der Punkte M eine halbe Hyperbel. Der dritte Fokus wird ins Unendliche geschickt. Es ist auch ein entarteter Fall.
Wenn a = ± c ist , wird der dritte Fokus mit F 1 verwechselt und das vollständige Oval ist eine Pascal-Schnecke .
Die Gleichung | b MF 1 ± a MF 2 | = | c F 1 F 2 | kann immer noch in der folgenden Quartalsform geschrieben werden:
Im Fall eines nicht-degenerierten oval, wobei zum Ursprung O des barycenter von F 1 und F 2 die Koeffizienten zugewiesen b ² und - ein ² und für den Vektor derart , dass F 1 hat für Abszisse α = a ². Dann F 2 hat die Abszisse β = b ². Durch Setzen von γ = c² wird die Gleichung des Ovals zu: wobei σ 1 , σ 2 und σ 3 die symmetrischen Funktionen der Realzahlen α , β und γ sind :
Die symmetrische Natur der Rollen, die die Realzahlen α , β und γ spielen, lässt sagen, dass für das Oval mit den Brennpunkten F 1 und F 3 ( γ , 0) und mit der Gleichung | dieselbe kartesische Gleichung erhalten wird c MF 1 ± a MF 3 | = | b F 1 F 3 | sowie für das Oval der Brennpunkte F 2 und F 3 und Gleichung | c MF 2 ± b MF 3 | = | a F 1 F 3 |.
Wir können auch entscheiden, den Mittelpunkt des Segments [F 1 F 2 ] oder einen der Brennpunkte als Ursprung zu nehmen , um alternative Gleichungen zu erhalten.
Wenn wir im Koordinatensystem mit dem Zentrum F 1 und dessen Hauptachse in Richtung F 2 ausgerichtet sind , bezeichnen wir mit d = F 1 F 2 das vollständige Oval der Gleichung | b MF 1 ± a MF 2 | = | c F 1 F 2 | hat die polare Gleichung:
Da das Produkt der beiden Wurzeln dieser Gleichung unabhängig von θ ist , ist das vollständige Oval durch Inversion des Zentrums F 1 und des Verhältnisses unveränderlich .
Wir betrachten das Oval der Gleichung | b F 1 M ± a F 2 M | = | c F 1 F 2 |.
Wenn der ovale nicht degeneriert ist, ist der dritte Brennpunkt die barycenter der Punkte F 1 und F 2 beeinflußt durch die Koeffizienten b ² - c ² und c ² - a ²
Die 4 Eckpunkte des vollständigen Ovals sind die Schwerpunktpunkte der Punkte F 1 und F 2 , denen die Koeffizienten ( b - c , a + c ), ( b - c , - a + c ), ( b + c , a - c zugewiesen sind ), ( b + c , - a - c ).
Die Normale zum Oval der Gleichung b F 1 M + a F 2 M = c F 1 F 2 am Punkt M hat für den Richtungsvektor:
Wenn wir also θ 1 den Winkel nennen, den F 1 M mit der Normalen bildet, und θ 2 den Winkel, den F 2 M mit der Normalen bildet, haben wir Gleichheit: .
Für 0 < b < a finden wir hier das Snell-Descartes-Gesetz . Wenn das Oval zwei Mittelpunkte trennt, einer des Index b , der F 1 enthält, und der andere des Index a , der F 2 enthält, und wenn M der erste Treffpunkt der Halblinie [F 1 M) mit dem l'-Oval ist, dann der Radius F 1 M) wird in MF 2 gebrochen
Michel Chasles schlägt die Konstruktion eines vollständigen Ovals vor, bei dem zwei Kreise mit den Zentren F 1 und F 2 und einem Punkt C auf der rechten Seite (F 1 F 2 ) verwendet werden. Eine Linie wird um C gedreht, so dass sie an zwei Punkten M 1 und N 1 auf den ersten Kreis und an M 2 und N 2 auf den zweiten Kreis trifft . Die Treffpunkte der Linien (F 1 M 1 ) und (F 1 N 1 ) mit den Linien (F 2 M 2 ) und (F 2 N 2 ) zeichnen dann ein vollständiges Oval, wenn sich die Linie um C dreht.
Ein Descartes-Oval ist die vertikale Projektion in einer horizontalen Ebene des Schnittpunkts zweier Rotationskegel mit unterschiedlichen vertikalen Achsen. Die Brennpunkte sind dann die Projektionen der Spitzen der beiden Zapfen. Diese Interpretation ermöglicht es, bestimmte geometrische Eigenschaften von Ovalen auf relativ einfache Weise zu finden.
Wenn das vollständige Oval die Gleichung | hat b MF 1 ± a MF 2 | = | c F 1 F 2 | und wenn die Punkte O und P definiert sind , wie die Massenmittelpunkte von F 1 und F 2 zuzugeordnet , die Koeffizienten b ² und - ein ² für O, und ein und b für P, dann wird die oval ist die sekundäre ätzende durch Brechung des Verhältnisses n = | a / c | des Kreises (Γ) mit dem Zentrum O, der durch P in Bezug auf den Fokus F 1 verläuft . Es ist daher die Hüllkurve von Kreisen (Γ M ) mit Zentren M auf (Γ) und Radien F 1 M / n .
Jeder Kreis (Γ M ) tangiert das Oval an zwei Punkten T M und T ' M, die immer mit dem dritten Fokus des Ovals ausgerichtet sind.