Freie Gruppe

In der Gruppe der Theorie , die freie Gruppe auf einer Menge S ist , die Gruppe F , enthaltend S und durch die gekennzeichnete folgende universelle Eigenschaft : Für jede Gruppe G und jede Karte f : S → G existiert eine einzigartige morphism von Gruppen von F bis G verlauf f .

Oder wiederum wird eine Gruppe G als frei über eine Teilmenge S von G bezeichnet, wenn jedes Element von G auf einzigartige Weise als reduziertes Produkt von Elementen von S und Inversen von Elementen von S geschrieben wird ( reduzierte Bedeutung: ohne Auftreten von a Nebenprodukt der Form xx −1 ). Eine solche Gruppe ist einzigartig mit Ausnahme Isomorphismus , die die Qualifikation rechtfertigt le in der Definition. Im Allgemeinen wird es mit F S oder L ( S ) bezeichnet. Intuitiv ist F S die von S erzeugte Gruppe ohne andere Beziehungen zwischen den Elementen von S als denen, die durch die Gruppenstruktur auferlegt werden.

Geschichte

Walther von Dyck studierte 1882 in seinem in Mathematische Annalen veröffentlichten Artikel Gruppentheoretische Studien das Konzept der freien Gruppe, ohne ihm einen Namen zu geben . Der Begriff freie Gruppe wurde 1924 von Jakob Nielsen eingeführt , der Transformationen (en) definierte , die die Gruppe der Automorphismen dieser Gruppe (en) erzeugen .

Konstruktion

Sei S ' eine Menge , die S äquipotent ist und von S getrennt ist , ausgestattet mit einer Bijektion von S nach S'. Für jedes Element s von S bezeichnen wir mit s ' das entsprechende Element in S'.

Bezeichne mit M die Menge der Wörter über die Vereinigung von S und S ' , dh die endlichen Zeichenketten, die aus Elementen von S und S' bestehen. Zwei solcher Ketten werden als äquivalent bezeichnet, wenn wir von einer zur anderen übergehen können, indem wir an jeder Stelle Ketten der Form ss oder s entfernen oder hinzufügen . Dies definiert eine Äquivalenzrelation R auf M . Wir definieren F S als die Menge von Modulo R- Äquivalenzklassen . Identifizieren jedes Element s von S mit seiner Klasse F S für die Aufnahme S ⊂ F S .

Die Verkettung von zwei Wörtern definiert ein Gesetz über M, das durch Äquivalenz erhalten bleibt. Durch die Übergabe an den Quotienten wir eine Gruppe Gesetz erhalten E S . Das neutrale Element ist die Klasse des leeren Wortes, und die Umkehrung der Klasse von s 1 s 2 … s n ist die Klasse von s ' n … s' 2 s ' 1 , und jede Klasse enthält einen kanonischen Vertreter von Minimum Länge: ein "reduziertes" Wort, das kein Unterwort der Form ss oder s enthält.

Überprüfung der universellen Eigenschaft : Wenn G eine Gruppe ist, erstreckt sich jede festgelegte Abbildung f : S → G in einen Morphismus von Monoiden φ: M → G, definiert durch φ ( s 1 s 2 … s n ) = f ( s 1 ) f ( s 2 )… f ( s n ). Dieser Morphismus ist in den Äquivalenzklassen konstant und induziert daher einen Morphismus der Gruppen φ: F S → G, der f erweitert . Darüber hinaus ist φ der eindeutige Morphismus der Gruppen F S → G, der f erweitert , da jedes Element von F S als Klasse eines Wortes geschrieben werden kann.

Erste Eigenschaften

Wenn S und T die gleiche haben Mächtigkeit , dann F S und F T isomorph (durch Funktorialität von S ↦ F S ). Wenn umgekehrt F S und F T isomorph sind, können wir zeigen, dass S und T die gleiche Kardinalität haben (die Kardinalität von S ist tatsächlich der Rang der Gruppe F S ). Außerdem, wenn S unendlich ist, F S hat die gleiche Größe wie S und S ist fertig oder nicht, alle Morphismen F S in z / 2ℤ auch Kardinal , dass alle Teile von S .
Jede Gruppe , die durch einen Abschnitt S ist ein Quotient aus der freien Gruppe F S auf S . Insbesondere ist jede Gruppe der Quotient einer freien Gruppe, daher der Begriff der Darstellung einer Gruppe (durch Generatoren und Beziehungen).
Das funktorfreie Objekt zu einer beliebigen Menge S kombiniert die freie Gruppe F S ist der Stellvertreter, der den vergesslichen Funktor aus den Kategoriegruppen in den Mengen verlassen hat.
Wenn S eine Kardinalität größer oder gleich zwei hat, ist F S nicht kommutativ. In der Tat ist für alle x , y ∈ S verschieden, xy ≠ yx durch die Eindeutigkeit der Schrift.

Beispiele

Die freie Gruppe auf der leeren Menge ist die triviale Gruppe , und die freie Gruppe auf einem Singleton ist isomorph zu ℤ.
Sei n eine natürliche Zahl. Die Grundgruppe der privaten Ebene von n Punkten ist eine freie Gruppe auf einer Menge von Kardinal n .

Untergruppen einer freien Gruppe

Nach dem Satz von Nielsen-Schreier , jede Untergruppe einer freien Gruppe F S ist eine freie Gruppe F T , aber der Kardinal von T ist nicht notwendigerweise kleine oder gleich die von S . Zum Beispiel lässt in der freien Gruppe F { a , b } mit zwei Generatoren die vom a n ba –n erzeugte Untergruppe (für alle ganzen Zahlen n ) kein endliches System von Generatoren zu: Es ist eine Gruppe, die auf einem Zählwert frei ist Unendlichkeit der Generatoren.
Die von F { a , b } abgeleitete Gruppe ist auch eine freie Gruppe über eine zählbare Unendlichkeit von Generatoren: die Kommutatoren [ a m , b n ] für alle Ganzzahlen ungleich Null m , n .

Somit haben wir selbst für die unterschiedenen Untergruppen kein nicht-abelsches Analogon des folgenden Ergebnisses: Jede Untergruppe einer freien abelschen Gruppe ist eine freie abelsche Gruppe, deren Rang ein Kardinal ist, der kleiner oder gleich dem Rang der Gruppe ist.

Referenz

(en) Marshall Hall, Jr. , The Theory of Groups [ Detail der Ausgaben ], Kapitel 7