M-Matrix

In der Mathematik ist ein M-Matrix ist eine echte quadratische Matrix , die sowohl eine ist P- Matrix und eine Z- Matrix, was bedeutet , dass alle seine Haupt Minderjährigen sind streng positive und seine extra diagonale Elemente sind negativ. Andere Charakterisierungen können verwendet werden, von denen einige unten angegeben sind.

Diese Matrizen greifen in die Untersuchung der Probleme der linearen Komplementarität und in bestimmte Diskretisierungen von Differentialoperatoren ein, insbesondere solche, die einem Prinzip des Maximums folgen, wie der Laplace-Operator.

Diese Klasse von Matrizen scheint von Alexander Ostrowski unter Bezugnahme auf Hermann Minkowski eingeführt worden zu sein .

Definitionen

Der Begriff der M- Matrix kann auf verschiedene Arten definiert werden, natürlich äquivalent. Die Konzepte der Z- Matrix , P- Matrix und S- Matrix werden nachstehend verwendet .

M -Matrix - Wir sagendass eine echte quadratische Matrix eine ist M -Matrix , wenn eseine Z -Matrix und wenn eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften besitzt,entspricht unter der Annahmedass : $M \ in \ mathbb {R} ^ {{n \ times n}}$ $M \ in \ mathbf {Z}$

${\ displaystyle M \ in \ mathbf {P}}$ ,
${\ displaystyle M \ in \ mathbf {S}}$ ,
$M.$ ist invertierbar und (alle Elemente seiner Umkehrung sind positiv), ${\ displaystyle M ^ {- 1} \ geqslant 0}$
Alle Eigenwerte von haben einen streng positiven Realteil. $M.$

Wir bezeichnen mit M die Menge der M- Matrizen beliebiger Ordnung. Nannte M- Matrix die Eigenschaft einer Matrix, zu M zu gehören .

Eigenschaften

Lineare Algebra

Die LU-Faktoren einer M- Matrix existieren und können ohne Schwenken stabil berechnet werden. Diese Eigenschaft gilt auch für unvollständige LU-Faktorisierung.

Lineare Komplementarität

Ein lineares Komplementaritätsproblem besteht darin, einen Vektor so zu finden, dass und in dieser Definition die Transponierte von und die Ungleichungen Komponente für Komponente verstanden werden müssen. Dieses Problem wird manchmal kompakt wie folgt festgestellt ${\ displaystyle x \ geqslant 0,}$ $Mx + q \ geqslant 0$ ${\ displaystyle x ^ {\! \ top \!} (Mx + q) = 0.}$ ${\ displaystyle M \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n},}$ ${\ displaystyle q \ in \ mathbb {R} ^ {n},}$ ${\ displaystyle x ^ {\! \ top \!}}$ $x$

${\ displaystyle {\ mbox {CL}} (M, q) \ qquad 0 \ leqslant x \ perp (Mx + q) \ geqslant 0.}$

Der zulässige Satz dieses Problems wird notiert

$\ mbox {Adm} (M, q): = \ {x \ in \ R ^ n: x \ geqslant 0, ~ Mx + q \ geqslant 0 \}.$

Die Bedeutung von M- Matrizen bei linearen Komplementaritätsproblemen ergibt sich aus dem folgenden Ergebnis.

M- Matrix- und lineares Komplementaritätsproblem - Für eine Matrixsind die folgenden Eigenschaften äquivalent: $M \ in \ mathbb {R} ^ {{n \ times n}}$

${\ displaystyle M \ in \ mathbf {M}}$ ,
für alle , ein Minimum enthält (für den Auftrag von ) , die die eindeutige Lösung der ist , $q$ $\ operatorname {Adm} (M, q)$ $\ leqslant$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ operatorname {CL} (M, q)$
für alle Vektoren die zu überprüfenden Lösungen . ${\ displaystyle q ^ {1} \ leqslant q ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ bar {x}} ^ {i}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {CL} (M, q ^ {i})}$ ${\ displaystyle {\ bar {x}} ^ {1} \ geqslant {\ bar {x}} ^ {2}}$

Anhänge

Anmerkungen

(in) Seiten 134, 161 (Bewertungssatz 2.3 und 6.1 von Kapitel 6) in Bermon and Plemmons (1994).

Zum Thema passende Artikel

Literaturverzeichnis

(en) A. Bermon, RJ Plemmons (1994). Nichtnegative Matrizen in den mathematischen Wissenschaften . Gesellschaft für industrielle und angewandte Mathematik, Philadelphia, USA. ( ISBN 0898713218 ) .
(en) RW Cottle, J.-S. Pang, RE Stone (2009). Das lineare Komplementaritätsproblem . Klassiker der Angewandten Mathematik 60. SIAM, Philadelphia, PA, USA.
(en) RA Horn, Ch. R. Jonhson (1991). Themen in der Matrixanalyse . Cambridge University Press, New York, NY, USA.