M-Schätzer
In Statistiken , M-Schätzer bilden eine große Klasse von Statistiken durch die Minimierung einer Funktion erhalten wird, abhängig von den Daten und Parameter des Modells. Der Prozess der Berechnung eines M-Schätzers wird als M-Schätzung bezeichnet . Viele statistische Schätzmethoden können als M-Schätzer betrachtet werden. Abhängig von der Funktion, die während der M-Schätzung minimiert werden soll, können M-Schätzer robustere Schätzer bereitstellen als herkömmliche Methoden, wie die Methode der kleinsten Quadrate .
Definition
M-Schätzer wurden 1964 von Peter Huber als Verallgemeinerung der Maximum-Likelihood-Schätzung zur Minimierung einer Funktion ρ über den Datensatz eingeführt. Somit werden die M-Schätzer, die den Daten und der Funktion ρ zugeordnet sind, durch geschätzt
θ^=argminθ((∑ich=1nichtρ((xich,θ)){\ displaystyle {\ hat {\ theta}} = \ operatorname {argmin} _ {\ theta} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ rho (x_ {i}, \ theta) \ right )}Das M des M-Schätzers ergibt sich daher aus der Maximum-Likelihood ( Maximum-Likelihood-Typ ), und Maximum-Likelihood-Schätzer sind ein Sonderfall von M-Schätzern.
Typen
Das Lösen des Minimierungsproblems beinhaltet üblicherweise das Differenzieren der Zielfunktion. In der Tat besteht eine einfache Methode zur Suche darin , nach Werten wie z
θ^{\ displaystyle {\ hat {\ theta}}}
∂∂θ((∑ich=1nichtρ((xich,θ))=0.{\ displaystyle {\ frac {\ partiell} {\ partiell \ theta}} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ rho (x_ {i}, \ theta) \ right) = 0.}Wenn diese Unterscheidung möglich ist, wird der M-Schätzer vom Typ ψ genannt ; ansonsten soll es vom Typ ρ sein .
Beispiele für M-Schätzer
Unter den bekannten Beispielen für M-Schätzer können wir zitieren:
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ρ((x)=x2{\ displaystyle \ rho (x) = x ^ {2}}Dies entspricht der Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate
- ρ((x)=|x|{\ displaystyle \ rho (x) = | x |}
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ρk((x)={x22 wenn |x|<kk((|x|- -k2) wenn |x|⩾k{\ displaystyle \ rho _ {k} (x) = {\ begin {case} {\ frac {x ^ {2}} {2}} & {\ text {si}} | x | <k \\ k ( | x | - {\ frac {k} {2}}) & {\ text {si}} | x | \ geqslant k \ end {case}}}( Huber-Funktion (in) )
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ρvs.((x)=vs.22ln((1+((xvs.)2){\ displaystyle \ rho _ {c} (x) = {\ frac {c ^ {2}} {2}} \ ln \ left (1+ \ left ({\ frac {x} {c}} \ right) ^ {2} \ right)} (Lorentz-Funktion)
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ρvs.((x)=x22((1- -x22vs.2+x46vs.4){\ displaystyle \ rho _ {c} (x) = {\ frac {x ^ {2}} {2}} \ left (1 - {\ frac {x ^ {2}} {2c ^ {2}}} + {\ frac {x ^ {4}} {6c ^ {4}}} \ right)}( Tukey's Bipoide )
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Verweise
- Peter J. Huber , Robust Statistics , Wiley, 1981, 2004
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