Diamant

Eine Raute ist ein Viereck, dessen Seiten alle die gleiche Länge haben, oder ein Parallelogramm mit mindestens zwei aufeinanderfolgenden Seiten gleicher Länge . Es wurde früher Rhombus aus dem Griechischen ρόμβ called genannt (und trägt noch heute in vielen Sprachen einen Namen aus dieser Etymologie, wie beispielsweise Rhombus im Englischen oder Rombo im Spanischen und Italienischen). Das zugehörige Adjektiv ist rhombisch.

Eigenschaften

Eigenschaft 1

Für jedes ungekreuzte (und daher nicht abgeflachte) Viereck einer euklidischen Ebene sind die folgenden Sätze äquivalent:

  1. dieses Viereck ist eine Raute;
  2. dieses Viereck hat seine vier gleichlangen Seiten und seine vier verschiedenen Ecken;
  3. die Diagonalen dieses Vierecks schneiden sich in ihrer Mitte (mit anderen Worten: es handelt sich um ein Parallelogramm) und sie stehen senkrecht .

Dieses Viereck hat zwei spitze Winkel und zwei stumpfe Winkel (außer in dem Sonderfall, in dem die Raute auch ein Quadrat ist, in dem alle Winkel richtig sind). Einer seiner spitzen Winkel + einer seiner stumpfen Winkel = 180 °; Beispiel: 110 ° (stumpf) + 70 ° (akut) = 180 °.

Demonstration

Sei ABCD ein nicht abgeflachtes Viereck. Sei I der Mittelpunkt von [AC] und J der Mittelpunkt von [BD].

Wir nehmen an, dass ABCD eine Raute ist.

Da es sich um ein Parallelogramm handelt, gilt AB = CD, BC = AD und da es eine Raute ist, gilt AB = CB. Durch Transitivität ist AB = BC = CD = DA. Schließlich sind die vier Eckpunkte eines nicht abgeflachten Parallelogramms verschieden.

Wir nehmen an, dass AB = BC = CD = DA und die vier Ecken verschieden sind.

Aus AB = BC und CD = DA schließen wir, dass (BD) die senkrechte Winkelhalbierende von [AC] ist. (BD) steht also senkrecht zu (AC) und geht durch I.

Wir zeigen auch, dass (AC) durch J geht.

Da (AC) und (BD) senkrecht stehen, haben sie einen gemeinsamen Punkt und daher I = J.

Es wird angenommen, dass sich die Diagonalen in ihrer Mitte schneiden (es handelt sich also um ein Parallelogramm) und dass sie senkrecht stehen.

Da (BD) senkrecht zu (AC) steht und durch I geht, schließen wir, dass (BD) die senkrechte Winkelhalbierende von [AC] ist und daher AB = BC.

Illustration für den Fall einer flachen Raute:

Eigenschaft 2

Die Diagonalen einer Raute sind die Winkelhalbierenden .

Demonstration

Sei eine Raute ABCD mit Mittelpunkt O. Eigenschaft 1 impliziert, dass die Dreiecke ABO, CBO, ADO und CDO überlagerbar sind. Wovon :

= = = und

= = = .

Das heißt: Die Diagonalen der Raute sind die Winkelhalbierenden.

Eigentum 3

Entgegengesetzte Winkel einer Raute haben zu zweit das gleiche Maß.

Demonstration

Sei eine Raute ABCD mit Mittelpunkt O. Aus dem Beweis der Eigenschaft 2:

= = = und

= = = .

Also = und = .

Eigenschaft 4

Eine Raute hat mindestens zwei Symmetrieachsen  : ihre Diagonalen.

Demonstration

Sei eine Raute ABCD vom Mittelpunkt O. Nach 3. von Eigenschaft 1 schneiden sich die Diagonalen in ihrer Mitte (Eigenschaft des Parallelogramms) und stehen senkrecht. C ist also das Bild von A nach Achsensymmetrie (BD) und D ist das Bild von B nach Achsensymmetrie (AC).

Bemerkungen

Die Definition der Raute als Parallelogramm erfordert, dass eine Raute eine ebene Figur ist. Es gibt Vierecke (mit vier verschiedenen Scheitelpunkten) mit vier gleich langen Seiten, die keine Rauten sind. Es genügt, sich in einen euklidischen affinen Raum der Dimension 3 zu begeben und eine Seite einer "realen Raute" einer ihrer Diagonalen folgend eine Drehung zu unterziehen.

Ein Quadrat ist eine bestimmte Raute. Es ist das einzige, das auch ein Rechteck ist, also vier rechte Winkel hat.

Bereich

wobei d die Länge der kleinen Diagonale und D die Länge der großen Diagonale der Raute darstellt.

Rhomboeder

Ein Rhomboeder ist ein Polyeder, dessen sechs Flächen Rauten sind.

Im übertragenen Sinne

"Le Losange" oder "das Rautenzeichen" sind Ausdrücke, die regelmäßig verwendet werden, um die Automobilmarke Renault in Analogie zur Form ihres Logos zu bezeichnen.

Hinweise und Referenzen

  1. Editions Larousse , "  Definitionen: Diamant - Wörterbuch des französischen Larousse  " , auf www.larousse.fr .
  2. http://www.cnrtl.fr/definition/rhombe

Zum Thema passende Artikel