Studentengesetz | |
Wahrscheinlichkeitsdichte | |
Verteilungsfunktion | |
die Einstellungen | k > 0 (Freiheitsgrade) |
---|---|
Unterstützung | |
Wahrscheinlichkeitsdichte | |
Verteilungsfunktion | wobei 2 F 1 die hypergeometrische Funktion ist |
Hoffen |
|
Median | 0 |
Mode | 0 |
Abweichung |
|
Asymmetrie |
|
Normalisierte Kurtosis |
|
In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik ist das Studentsche Gesetz ein Wahrscheinlichkeitsgesetz , das den Quotienten zwischen einer Variablen, die einem reduzierten zentrierten Normalgesetz folgt, und der Quadratwurzel einer nach dem Gesetz von χ 2 verteilten Variablen beinhaltet .
Es wird insbesondere für Student-Tests , Konfidenzintervallkonstruktionen und Bayes'sche Inferenz verwendet .
Lassen Z sein eine Zufallsvariable mit einem zentrierten und reduzierten Normalverteilung und lassen U sein , eine Variable unabhängig von Z und verteilt nach dem Gesetz von χ 2 mit k Freiheitsgraden. Per Definition ist die Variable
folgt einem Studentengesetz mit k Freiheitsgraden.
, Dann , wo die X i sind k reelle Zufallsvariablen IID zentrierte reduzierte Normalverteilung .Die Dichte von T , bezeichnet als f T , ist gegeben durch:
.wo Γ ist die Eulersche Gamma - Funktion .
Die der Variable T zugeordnete Dichte f T ist symmetrisch, bei 0 zentriert und glockenförmig.
Sein Erwartungswert kann für k = 1 nicht definiert werden und ist null für k > 1 .
Seine Varianz ist für k = 2 unendlich und ist gleichkk - 2für k > 2 .
Wenn k groß ist, kann das Studentsche Gesetz durch das reduzierte zentrierte Normalgesetz angenähert werden . Eine einfache Möglichkeit, dies zu demonstrieren, ist das Lemma von Scheffé .
Die Berechnung des Studentengesetzes wurde 1908 von William Gosset beschrieben, als er bei der Guinness- Brauerei in Dublin angestellt war. Sein Chef, vermutlich aus Wettbewerbsgründen, verbot seinen Mitarbeitern, unter eigenem Namen zu posten. Aus diesem Grund wählt Gosset ein Pseudonym, Student , was auf Englisch Student bedeutet. Der t- Test und die Theorie wurden durch die Arbeit von Ronald Fisher berühmt , der dem Gesetz den Namen „Studentengesetz“ gab.
Seien X 1 , ..., X n , n voneinander unabhängige Variablen, die nach dem gleichen Normalgesetz des Erwartungswerts μ und der Varianz σ 2 verteilt sind, die einer Stichprobe der Größe n entsprechen . Betrachten Sie den empirischen Mittelwert
und der unverzerrte Schätzer der Varianz
.Durch Normalisierung ist die Zufallsvariable
folgt einer Standardnormalverteilung (Erwartung 0 und Varianz 1). Die durch Ersetzen von σ durch S in erhaltene Zufallsvariable ist
,folgt dem Studentschen Gesetz bei n - 1 Freiheitsgraden. Dieses Ergebnis ist nützlich, um Konfidenzintervalle zu ermitteln, wenn σ 2 unbekannt ist, wie unten gezeigt.
Um dies zu begründen, führen wir die Zufallsvariable
das erlaubt zu schreiben und
Zum Abschluss muss man zeigen, dass Z und U unabhängig sind und dass U einem Gesetz von χ 2 mit n - 1 Freiheitsgraden folgt .
Beachten Sie den Verlust eines Freiheitsgrades, denn selbst wenn es n unabhängige Zufallsvariablen X i gibt , sind dies nicht der Fall , da ihre Summe 0 ist.
In diesem Kapitel wird eine Methode zur Bestimmung des Konfidenzintervalls des Erwartungswerts μ einer Normalverteilung vorgestellt . Beachten Sie, dass es bei bekannter Varianz besser ist, die Normalverteilung direkt mit dem Mittelwert zu verwenden .
Satz - Bei einem Risiko zwischen 0 und 1 gilt
Das zweiseitige Konfidenzintervall von μ auf dem Konfidenzniveau ist gegeben durch:
,mit , dem Punktschätzer des Erwartungswerts und , dem unverzerrten Schätzer der oben definierten Varianz.
das ist um Quantil der Studenten Gesetz mit k Freiheitsgraden ist es die eindeutige Nummer , die erfüllt
wenn T dem Studentschen Gesetz mit k Freiheitsgraden folgt .
DemonstrationLass uns nochmal posieren
Wir haben gesehen, dass T einem Studentschen Gesetz mit n -1 Freiheitsgraden folgt . Mit der Symmetrie und Kontinuität des Gesetzes haben wir
Bestimmtes
dies ergibt die gesuchte Wahrscheinlichkeit. Das Intervall ist gegeben durch
Hier sind zum Beispiel die in cm gemessenen Größen bei einer Stichprobe von 8 Personen
ich | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
155 | 160 | 161 | 167 | 171 | 177 | 180 | 181 |
Wir berechnen den statistischen Mittelwert und die Varianz ohne Verzerrung :
Gehen wir ein Risiko ein , also ein Maß an Vertrauen . Auf die nächste Rundung ergibt die folgende Tabelle der Quantile , und das Konfidenzintervall ist
Die Wahrscheinlichkeit, dass die durchschnittliche Bevölkerungsgröße in diesem Bereich liegt, beträgt 90 %. Die durchschnittliche Körpergröße der Franzosen beträgt jedoch 177 cm, aber 177 gehört nicht zu diesem Konfidenzintervall, wir können dann sagen, dass diese Stichprobe mit 10% Fehler nicht der französischen Bevölkerung entspricht. Dies ist ein Beispiel für die Anwendung des Schülertests .
Die folgende Grafik veranschaulicht den Begriff des Konfidenzniveaus als Integral der Funktion für , dargestellt durch die Fläche der Zone in blau.
Zusammenfassend ist für eine Stichprobe einer Normalverteilung des Erwartungswerts μ das Konfidenzintervall von μ auf dem Niveau :
,mit
, ,und das Ordnungsquantil des Studentschen Gesetzes mit k Freiheitsgraden.
Die folgende Tabelle gibt die Werte einiger Quantile des Studentschen Gesetzes für verschiedene Freiheitsgrade k an . Für jeden Wert von ist das angegebene Quantil so, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Variable, die einem Student-Gesetz mit k Freiheitsgraden folgt, kleiner ist als sie . Für und k = 7, wenn T einem Student-Gesetz mit 7 Freiheitsgraden folgt, lesen wir in der Tabelle, dass . Für ein bilaterales Wettintervall von 95 % werden 97,5% Quantil benötigt: .
Beachten Sie, dass auch wenn wir bezeichnen die Reihenfolge Quantil von Studenten Gesetz mit k Freiheitsgraden dann haben wir . Mit dem vorherigen Beispiel haben wir und
Eine Standardkalkulation ermöglicht eine genauere Berechnung dieser Quantile, zum Beispiel LOI.STUDENT.INVERSE(0,95;7)gibt . Der gleiche Wert wird mit dem Befehl der R- Software erhalten . Im Allgemeinen gibt . qt(0.95,7)qt(,)
1 – α | 75% | 80% | 85% | 90% | 95% | 97,5% | 99% | 99,5% | 99,75% | 99,9% | 99,95% |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
k | |||||||||||
1 | 1.000 | 1.376 | 1.963 | 3.078 | 6.314 | 12.71 | 31.82 | 63,66 | 127.3 | 318.3 | 636.6 |
2 | 0,816 | 1.061 | 1.386 | 1.886 | 2.920 | 4.303 | 6.965 | 9,925 | 14.09 | 22.33 | 31.60 |
3 | 0,765 | 0,978 | 1.250 | 1.638 | 2.353 | 3.182 | 4.541 | 5.841 | 7.453 | 10.21 | 12.92 |
4 | 0,741 | 0,941 | 1.190 | 1.533 | 2.132 | 2.776 | 3.747 | 4.604 | 5.598 | 7.173 | 8.610 |
5 | 0,727 | 0,920 | 1.156 | 1.476 | 2015 | 2.571 | 3.365 | 4.032 | 4.773 | 5.893 | 6.869 |
6 | 0,718 | 0,906 | 1.134 | 1.440 | 1.943 | 2.447 | 3.143 | 3.707 | 4.317 | 5.208 | 5.959 |
7 | 0,711 | 0,896 | 1.119 | 1.415 | 1.895 | 2.365 | 2.998 | 3.499 | 4.029 | 4.785 | 5.408 |
8 | 0,706 | 0,889 | 1.108 | 1.397 | 1.860 | 2.306 | 2.896 | 3.355 | 3.833 | 4.501 | 5.041 |
9 | 0,703 | 0,883 | 1.100 | 1.383 | 1.833 | 2.262 | 2.821 | 3.250 | 3.690 | 4.297 | 4.781 |
10 | 0.700 | 0,879 | 1.093 | 1.372 | 1.812 | 2.228 | 2.764 | 3.169 | 3.581 | 4.144 | 4.587 |
11 | 0,697 | 0,876 | 1.088 | 1.363 | 1.796 | 2.201 | 2.718 | 3.106 | 3.497 | 4.025 | 4.437 |
12 | 0,695 | 0,873 | 1.083 | 1.356 | 1.782 | 2.179 | 2.681 | 3.055 | 3.428 | 3.930 | 4.318 |
13 | 0,694 | 0.870 | 1.079 | 1.350 | 1.771 | 2.160 | 2.650 | 3.012 | 3.372 | 3.852 | 4.221 |
14 | 0,692 | 0,868 | 1.076 | 1.345 | 1.761 | 2.145 | 2.624 | 2.977 | 3.326 | 3.787 | 4.140 |
fünfzehn | 0,691 | 0,866 | 1.074 | 1.341 | 1.753 | 2.131 | 2.602 | 2.947 | 3.286 | 3.733 | 4.073 |
16 | 0,690 | 0,865 | 1.071 | 1.337 | 1.746 | 2.120 | 2.583 | 2.921 | 3.252 | 3,686 | 4.015 |
17 | 0,689 | 0,863 | 1.069 | 1.333 | 1.740 | 2.110 | 2.567 | 2.898 | 3.222 | 3,646 | 3,965 |
18 | 0,688 | 0,862 | 1.067 | 1.330 | 1.734 | 2.101 | 2.552 | 2.878 | 3.197 | 3.610 | 3,922 |
19 | 0,688 | 0,861 | 1.066 | 1.328 | 1.729 | 2.093 | 2.539 | 2.861 | 3.174 | 3.579 | 3.883 |
20 | 0,687 | 0,860 | 1.064 | 1.325 | 1.725 | 2.086 | 2.528 | 2.845 | 3.153 | 3.552 | 3.850 |
21 | 0,686 | 0,859 | 1.063 | 1.323 | 1.721 | 2.080 | 2.518 | 2.831 | 3.135 | 3.527 | 3.819 |
22 | 0,686 | 0.858 | 1.061 | 1.321 | 1.717 | 2.074 | 2.508 | 2.819 | 3.119 | 3.505 | 3.792 |
23 | 0,685 | 0.858 | 1.060 | 1.319 | 1.714 | 2.069 | 2.500 | 2.807 | 3.104 | 3.485 | 3.767 |
24 | 0,685 | 0,857 | 1.059 | 1.318 | 1.711 | 2.064 | 2.492 | 2.797 | 3.091 | 3.467 | 3.745 |
25 | 0,684 | 0,856 | 1.058 | 1.316 | 1.708 | 2.060 | 2.485 | 2.787 | 3.078 | 3.450 | 3.725 |
26 | 0,684 | 0,856 | 1.058 | 1.315 | 1.706 | 2.056 | 2.479 | 2.779 | 3.067 | 3.435 | 3.707 |
27 | 0,684 | 0,855 | 1.057 | 1.314 | 1.703 | 2.052 | 2.473 | 2.771 | 3.057 | 3.421 | 3.690 |
28 | 0,683 | 0,855 | 1.056 | 1.313 | 1.701 | 2.048 | 2.467 | 2.763 | 3.047 | 3.408 | 3.674 |
29 | 0,683 | 0,854 | 1.055 | 1.311 | 1.699 | 2.045 | 2.462 | 2.756 | 3.038 | 3.396 | 3,659 |
30 | 0,683 | 0,854 | 1.055 | 1.310 | 1.697 | 2.042 | 2.457 | 2.750 | 3.030 | 3.385 | 3,646 |
40 | 0,681 | 0,851 | 1.050 | 1.303 | 1.684 | 2.021 | 2.423 | 2.704 | 2.971 | 3.307 | 3.551 |
50 | 0,679 | 0,849 | 1.047 | 1.299 | 1.676 | 2.009 | 2.403 | 2.678 | 2.937 | 3.261 | 3.496 |
60 | 0,679 | 0,848 | 1.045 | 1.296 | 1.671 | 2.000 | 2.390 | 2.660 | 2.915 | 3.232 | 3.460 |
80 | 0,678 | 0,846 | 1.043 | 1.292 | 1.664 | 1.990 | 2.374 | 2.639 | 2.887 | 3.195 | 3.416 |
100 | 0,677 | 0,845 | 1.042 | 1.290 | 1.660 | 1.984 | 2.364 | 2.626 | 2.871 | 3.174 | 3.390 |
120 | 0,677 | 0,845 | 1.041 | 1.289 | 1.658 | 1980 | 2.358 | 2.617 | 2.860 | 3.160 | 3.373 |
∞ | 0,674 | 0,842 | 1.036 | 1.282 | 1,645 | 1.960 | 2.326 | 2.576 | 2.807 | 3.090 | 3.291 |
Hinweis: Die letzte Zeile der obigen Tabelle entspricht den großen Werten von k . Es handelt sich um einen Grenzfall, für den das Studentenrecht dem normalen zentrierten und reduzierten Recht gleichwertig ist.