Bestellte Gruppe

Eine geordnete Gruppe ist eine Gruppe, die mit einer Ordnungsbeziehung versehen ist, die von den Übersetzungen respektiert wird.

Definitionen

Es sei ( G ,.) A - Gruppe (das Gesetz der Gruppe bezeichnet wird multiplikativ ) und ≤ eine Ordnungsrelation auf G . Wir sagen, dass dies mit dem Gesetz der Gruppe vereinbar ist, wenn für alle Elemente x , y und z der Gruppe die Beziehung x ≤ y die beiden Beziehungen zx ≤ zy und xz ≤ yz beinhaltet . Eine geordnete Gruppe ist eine Menge, die gleichzeitig mit einem Gruppengesetz und einer kompatiblen Ordnungsbeziehung bereitgestellt wird. Wir nennen eine vollständig geordnete Gruppe eine geordnete Gruppe, deren Ordnungsbeziehung insgesamt ist .

In einer geordneten Gruppe G wird ein Element als positiv bezeichnet, wenn es größer als das neutrale Element e G ist , und als negativ, wenn es kleiner als es ist.

Ein Teil P einer Gruppe G bildet genau dann die Menge positiver Elemente von G für eine bestimmte kompatible Ordnung, wenn P ein positiver Kegel ist, dh: PP ⊂ P , P ∩ P −1 = { e G } und P ist durch Konjugation stabil .

Beispiele

Die additive Gruppe reeller Zahlen (ℝ, +) ist eine abelsche Gruppe, die vollständig in der üblichen Reihenfolge geordnet ist.

Dank der ersten drei Eigenschaften unten leiten wir sofort viele andere vollständig oder teilweise geordnete abelsche Gruppen ab.

Eigenschaften

• Jede Untergruppe einer geordneten (bzw. vollständig geordneten) Gruppe ist eine geordnete (bzw. vollständig geordnete) Gruppe gemäß der Beschränkung der Reihenfolge der Gruppe.
• Jedes Produkt (auch unendlich) geordneter Gruppen ist eine Gruppe, die nach der erzeugten Teilbestellung geordnet ist . Wenn die Menge der Indizes ist gut bestellt , wird das Produkt auch mit einer bereitgestellten Lexikographische Ordnung , die auch kompatibel ist.
• Jede Gruppe, die zu einer geordneten (bzw. vollständig geordneten) Gruppe isomorph ist , ist eine geordnete (bzw. vollständig geordnete) Gruppe in der induzierten Reihenfolge .
• In einer geordneten Gruppe führen für alle Elemente x , y , x ' und y' die Ungleichungen x ≤ y und x ' ≤ y' zur Ungleichung xx '≤ yy' .Mit anderen Worten, wir können Mitglied für Mitglied Ungleichungen derselben Bedeutung zusammensetzen. In der Tat, nach der Definition, die Ungleichung x ≤ y bedeutet xx ' ≤ yx' . Ebenso führt die Ungleichung x ' ≤ y' zu yx ' ≤ yy' . Wir schließen mit der Transitivität der Ordnungsbeziehung.
• In einer geordneten Gruppe, für alle Elemente x und y , die Ungleichung x ≤ y bedeutet die Ungleichung y -1 ≤ x -1 .Mit anderen Worten, wir können zu einer Ungleichung zurückkehren, indem wir ihre Richtung ändern. Um dieses Ergebnis zu erhalten, genügt es, die Ungleichung x ≤ y links mit y −1 und rechts mit x −1 zu multiplizieren .
• In einer vollständig geordneten Gruppe behält die Konjugation das "  Vorzeichen  " ( y > e G ⇔ xyx −1 > e G ) bei, und jedes Element hat eindeutige Wurzeln (für jede Ganzzahl ungleich Null n gilt x n = y n ⇒ x = y ).
• Jede vollständig bestellbare Gruppe ist torsionsfrei .Das Umgekehrte ist wahr, wenn die Gruppe abelisch ist , aber im allgemeinen Fall falsch: Zum Beispiel ist die Grundgruppe der Klein-Flasche , d. H. Die Gruppe mit zwei Generatoren a und b, die nur durch aba −1 = b −1 verbunden sind , Torsion- kostenlos, aber (gemäß dem vorherigen Punkt) nicht vollständig bestellbar.
• Hölder ‚s Satz (1902): beliebig vollständig geordnete archimedische Gruppe abelian ist und eingetaucht in (r, +, ≤).

Siehe auch

• Axiom von Archimedes
• Ordentlicher Körper
• Geordneter Vektorraum  (in)

Verweise

1. T. S. Blyth, Gitter und geordnete algebraische Strukturen , Springer,2005( ISBN  1-85233-905-5 ) , p.  143.
2. (in) Dale Rolfsen, "  Geordnete Gruppen und Topologie  " , auf UBC ,2001.