Rogers-Ramanujan Fortsetzung der Fraktion
Die fortgesetzte Fraktion von Rogers-Ramanujan ist eine verallgemeinerte fortgesetzte Fraktion , die 1894 von Leonard James Rogers (in) und 1910 unabhängig von Srinivasa Ramanujan entdeckt wurde und eng mit den Identitäten von Rogers-Ramanujan verbunden ist . Es ist möglich, ihm eine explizite Form für viele Werte seines Arguments zu geben.
Definition
Angesichts der Funktionen G ( q ) und H ( q ), die in den Rogers-Ramanujan-Identitäten auftreten ,
G((q)=∑nicht=0∞qnicht2((1- -q)((1- -q2)⋯((1- -qnicht)=∑nicht=0∞qnicht2((q;;q)nicht=1((q;;q5)∞((q4;;q5)∞=∏nicht=1∞1((1- -q5nicht- -1)((1- -q5nicht- -4)=qj602F.1((- -160,1960;;45;;1728j)=q((j- -1728)602F.1((- -160,2960;;45;;- -1728j- -1728)=1+q+q2+q3+2q4+2q5+3q6+⋯{\ displaystyle {\ begin {align} G (q) & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {n ^ {2}}} {(1-q) (1 -q ^ {2}) \ cdots (1-q ^ {n})}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {n ^ {2}}} {(q; q) _ {n}}} = {\ frac {1} {(q; q ^ {5}) _ {\ infty} (q ^ {4}; q ^ {5}) _ {\ infty}}} \\ & = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(1-q ^ {5n-1}) (1-q ^ {5n-4}) }} \\ & = {\ sqrt [{60}] {qj}} \, _ {2} F_ {1} \ left (- {\ tfrac {1} {60}}, {\ tfrac {19} { 60}}; {\ tfrac {4} {5}}; {\ tfrac {1728} {j}} \ right) \\ & = {\ sqrt [{60}] {q \ left (j-1728 \ right) )}} \, _ {2} F_ {1} \ left (- {\ tfrac {1} {60}}, {\ tfrac {29} {60}}; {\ tfrac {4} {5}}; - {\ tfrac {1728} {j-1728}} \ right) \\ & = 1 + q + q ^ {2} + q ^ {3} + 2q ^ {4} + 2q ^ {5} + 3q ^ {6} + \ cdots \ end {align}}}und
H.((q)=∑nicht=0∞qnicht2+nicht((1- -q)((1- -q2)⋯((1- -qnicht)=∑nicht=0∞qnicht2+nicht((q;;q)nicht=1((q2;;q5)∞((q3;;q5)∞=∏nicht=1∞1((1- -q5nicht- -2)((1- -q5nicht- -3)=1q11j11602F.1((1160,3160;;65;;1728j)=1q11((j- -1728)11602F.1((1160,4160;;65;;- -1728j- -1728)=1+q2+q3+q4+q5+2q6+2q7+⋯{\ displaystyle {\ begin {align} H (q) & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {n ^ {2} + n}} {(1-q) (1-q ^ {2}) \ cdots (1-q ^ {n})}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {n ^ {2} + n }} {(q; q) _ {n}}} = {\ frac {1} {(q ^ {2}; q ^ {5}) _ {\ infty} (q ^ {3}; q ^ { 5}) _ {\ infty}}} \\ & = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(1-q ^ {5n-2}) (1-q ^ {5n-3})}} \\ & = {\ frac {1} {\ sqrt [{60}] {q ^ {11} j ^ {11}}} \, _ {2} F_ {1} \ left ({\ tfrac {11} {60}}, {\ tfrac {31} {60}}; {\ tfrac {6} {5}}; {\ tfrac {1728} {j}} \ right) \ \ & = {\ frac {1} {\ sqrt [{60}] {q ^ {11} \ left (j-1728 \ right) ^ {11}}} \, _ {2} F_ {1} \ links ({\ tfrac {11} {60}}, {\ tfrac {41} {60}}; {\ tfrac {6} {5}}; - {\ tfrac {1728} {j-1728}} \ rechts ) \\ & = 1 + q ^ {2} + q ^ {3} + q ^ {4} + q ^ {5} + 2q ^ {6} + 2q ^ {7} + \ cdots \ end {align} }}wobei das unendliche Pochhammer-q-Symbol darstellt , j die j-Invariante ist und 2 F 1 die hypergeometrische Funktion ist (die Koeffizienten der Erweiterungen in ganzzahligen Reihen bilden die Sequenzen des OEIS A003114 bzw. A003106 ), der fortgesetzte Bruch von Rogers-Ramanujan ist
((beim;;q)∞{\ displaystyle (a; q) _ {\ infty}}
R.((q)=q1160H.((q)q- -160G((q)=q15∏nicht=1∞((1- -q5nicht- -1)((1- -q5nicht- -4)((1- -q5nicht- -2)((1- -q5nicht- -3)=q1/.51+q1+q21+q31+⋱{\ displaystyle {\ begin {align} R (q) & = {\ frac {q ^ {\ frac {11} {60}} H (q)} {q ^ {- {\ frac {1} {60} }} G (q)}} = q ^ {\ frac {1} {5}} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(1-q ^ {5n-1}) ( 1-q ^ {5n-4})} {(1-q ^ {5n-2}) (1-q ^ {5n-3})}} \\ & = {\ cfrac {q ^ {1/5 }} {1 + {\ cfrac {q} {1 + {\ cfrac {q ^ {2}} {1 + {\ cfrac {q ^ {3}} {1+ \ ddots}}}}}} } \ end {align}}}Modulare Funktionen
Wenn , dann und , sowie deren Quotient , sind modulare Funktionen von . Da sie ganzzahlige Koeffizienten haben, impliziert die Theorie der komplexen Multiplikation , dass ihre Werte, wenn sie von der Form sind, algebraische Zahlen sind, die explizit berechnet werden können.
q=e2πichτ{\ displaystyle q = e ^ {2 \ pi {\ rm {i}} \ tau}}q- -160G((q){\ displaystyle q ^ {- {\ frac {1} {60}}} G (q)}q1160H.((q){\ displaystyle q ^ {\ frac {11} {60}} H (q)}R.((q){\ displaystyle R (q)}τ{\ displaystyle \ tau}τ{\ displaystyle \ tau}ichp/.q{\ displaystyle i {\ sqrt {p / q}}}
Beispiele
R.((e- -2π)=e- -2π51+e- -2π1+e- -4π1+⋱=5+52- -ϕ=ϕ+2- -ϕ{\ displaystyle R {\ big (} e ^ {- 2 \ pi} {\ big)} = {\ cfrac {e ^ {- {\ frac {2 \ pi} {5}}} {1 + {\ cfrac {e ^ {- 2 \ pi}} {1 + {\ cfrac {e ^ {- 4 \ pi}} {1+ \ ddots}}}}} = {{\ sqrt {5 + {\ sqrt {5}} \ over 2}} - \ phi} = {\ sqrt {\ phi +2}} - \ phi}R.((e- -25π)=e- -2π51+e- -2π51+e- -4π51+⋱=51+((53/.4((ϕ- -1)5/.2- -1)1/.5- -ϕ{\ displaystyle R {\ big (} e ^ {- 2 {\ sqrt {5}} \ pi} {\ big)} = {\ cfrac {e ^ {- {\ frac {2 \ pi} {\ sqrt { 5}}}}} {1 + {\ cfrac {e ^ {- 2 \ pi {\ sqrt {5}}} {1 + {\ cfrac {e ^ {- 4 \ pi {\ sqrt {5}} }} {1+ \ ddots}}}}}} = {\ frac {\ sqrt {5}} {1 + {\ big (} 5 ^ {3/4} (\ phi -1) ^ {5/2 } -1 {\ big)} ^ {1/5}}} - {\ phi}}Wo ist der goldene Schnitt (diese Formeln waren im ersten Brief, den Ramanujan an Hardy sandte , und gehörten zu denen, die ihn verblüfften).
ϕ=1+52{\ displaystyle \ phi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}
Verknüpfungen mit modularen Formularen
R.((q){\ displaystyle R (q)}kann mit Dedekinds eta-Funktion ausgedrückt werden , einer modularen Form des Gewichts 1/2, weil wir (durch Posieren ) haben:
q=e2ichπτ{\ displaystyle q = {\ rm {e}} ^ {2 {\ rm {i}} \ pi \ tau}}
1R.((q)- -R.((q)=η((τ5)η((5τ)+1{\ displaystyle {\ frac {1} {R (q)}} - R (q) = {\ frac {\ eta ({\ frac {\ tau} {5}})} {\ eta (5 \ tau) }} + 1}
1R.5((q)- -R.5((q)=[η((τ)η((5τ)]]6+11{\ displaystyle {\ frac {1} {R ^ {5} (q)}} - R ^ {5} (q) = \ left [{\ frac {\ eta (\ tau)} {\ eta (5 \ tau)}} \ right] ^ {6} +11}{{|}}
Links mit der j-Invariante
Unter den vielen Beziehungen, die durch die j-Invariante verifiziert wurden , haben wir
j((τ)=((x2+10x+5)3x{\ displaystyle j (\ tau) = {\ frac {(x ^ {2} + 10x + 5) ^ {3}} {x}}}oder
x=[5η((5τ)η((τ)]]6{\ displaystyle x = \ left [{\ frac {{\ sqrt {5}} \, \ eta (5 \ tau)} {\ eta (\ tau)}} \ right] ^ {6}}Durch Eliminieren des Quotienten können wir j ( τ ) wie folgt ausdrücken :
r=R.((q){\ displaystyle r = R (q)}
j((τ)=- -((r20- -228rfünfzehn+494r10+228r5+1)3r5((r10+11r5- -1)5j((τ)- -1728=- -((r30+522r25- -10005r20- -10005r10- -522r5+1)2r5((r10+11r5- -1)5{\ displaystyle {\ begin {align} & j (\ tau) = - {\ frac {(r ^ {20} -228r ^ {15} + 494r ^ {10} + 228r ^ {5} +1) ^ { 3}} {r ^ {5} (r ^ {10} + 11r ^ {5} -1) ^ {5}}} \\ [6pt] & j (\ tau) -1728 = - {\ frac {( r ^ {30} + 522r ^ {25} -10005r ^ {20} -10005r ^ {10} -522r ^ {5} +1) ^ {2}} {r ^ {5} (r ^ {10} + 11r ^ {5} -1) ^ {5}}} \ end {align}}}wobei der Zähler und der Nenner Polynominvarianten des Ikosaeders sind . Die modulare Beziehung zwischen und ergibt
R.((q){\ displaystyle R (q)}R.((q5){\ displaystyle R (q ^ {5})}
j((5τ)=- -((r20+12rfünfzehn+14r10- -12r5+1)3r25((r10+11r5- -1){\ displaystyle j (5 \ tau) = - {\ frac {(r ^ {20} + 12r ^ {15} + 14r ^ {10} -12r ^ {5} +1) ^ {3}} {r ^ {25} (r ^ {10} + 11r ^ {5} -1)}}}Entweder ; so
z=r5- -1r5{\ displaystyle z = r ^ {5} - {\ frac {1} {r ^ {5}}}}
j((5τ)=- -((z2+12z+16)3z+11{\ displaystyle j (5 \ tau) = - {\ frac {\ left (z ^ {2} + 12z + 16 \ right) ^ {3}} {z + 11}}}oder
z∞=- -[5η((25τ)η((5τ)]]6- -11, z0=- -[η((τ)η((5τ)]]6- -11, z1=[η((5τ+25)η((5τ)]]6- -11,z2=- -[η((5τ+45)η((5τ)]]6- -11, z3=[η((5τ+65)η((5τ)]]6- -11, z4=- -[η((5τ+85)η((5τ)]]6- -11{\ displaystyle {\ begin {align} & z _ {\ infty} = - \ left [{\ frac {{\ sqrt {5}} \, \ eta (25 \ tau)} {\ eta (5 \ tau) }} \ right] ^ {6} -11, \ z_ {0} = - \ left [{\ frac {\ eta (\ tau)} {\ eta (5 \ tau)}} \ right] ^ {6} -11, \ z_ {1} = \ left [{\ frac {\ eta ({\ frac {5 \ tau +2} {5}})} {\ eta (5 \ tau)}} \ right] ^ { 6} -11, \\ [6pt] & z_ {2} = - \ left [{\ frac {\ eta ({\ frac {5 \ tau +4} {5}})} {\ eta (5 \ tau) )}} \ right] ^ {6} -11, \ z_ {3} = \ left [{\ frac {\ eta ({\ frac {5 \ tau +6} {5}})} {\ eta (5 \ tau)}} \ right] ^ {6} -11, \ z_ {4} = - \ left [{\ frac {\ eta ({\ frac {5 \ tau +8} {5}})} {\ eta (5 \ tau)}} \ right] ^ {6} -11 \ end {align}}}Dies ist die j-Invariante der elliptischen Kurve , die durch die regulären Punkte der modularen Kurve parametrisiert wird .
y2+((1+r5)xy+r5y=x3+r5x2{\ displaystyle y ^ {2} + (1 + r ^ {5}) xy + r ^ {5} y = x ^ {3} + r ^ {5} x ^ {2}} X.1((5){\ displaystyle X_ {1} (5)}
Funktionsgleichung
Wir setzen nun systematisch mit q = e 2πiτ . Wenn andere modulare Funktionen, z. B. die j-Invariante, Folgendes überprüfen:
r((τ)=R.((q){\ displaystyle r (\ tau) = R (q)}
j((- -1τ)=j((τ){\ displaystyle j (- {\ tfrac {1} {\ tau}}) = j (\ tau)}und wir haben für die eta-Funktion von Dedekind:
η((- -1τ)=- -ichτη((τ){\ displaystyle \ eta (- {\ tfrac {1} {\ tau}}) = {\ sqrt {-i \ tau}} \, \ eta (\ tau)}Die Funktionsgleichung der Rogers-Ramanujan-Fortsetzung beinhaltet den Goldenen Schnitt :
ϕ=1+52{\ displaystyle \ phi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}
r((- -1τ)=1- -ϕr((τ)ϕ+r((τ){\ displaystyle r (- {\ tfrac {1} {\ tau}}) = {\ frac {1- \ phi \, r (\ tau)} {\ phi + r (\ tau)}}}.
Wir haben auf der anderen Seite .
r((7+ich10)=ich{\ displaystyle r ({\ tfrac {7 + i} {10}}) = i}
Modulare Gleichungen
Es gibt modulare Beziehungen zwischen und , besonders elegant für einige kleine Primwerte von n :
R.((q){\ displaystyle R (q)}R.((qnicht){\ displaystyle R (q ^ {n})}
Entweder und ; so :
u=R.((q){\ displaystyle u = R (q)}v=R.((qnicht){\ displaystyle v = R (q ^ {n})}
Für ,nicht=2{\ displaystyle n = 2}v- -u2=((v+u2)uv2.{\ displaystyle vu ^ {2} = (v + u ^ {2}) uv ^ {2}.}
Für , nicht=3{\ displaystyle n = 3}((v- -u3)((1+uv3)=3u2v2.{\ displaystyle (vu ^ {3}) (1 + uv ^ {3}) = 3u ^ {2} v ^ {2}.}
Für , nicht=5{\ displaystyle n = 5}((v4- -3v3+4v2- -2v+1)v=((v4+2v3+4v2+3v+1)u5.{\ displaystyle (v ^ {4} -3v ^ {3} + 4v ^ {2} -2v + 1) v = (v ^ {4} + 2v ^ {3} + 4v ^ {2} + 3v + 1 ) u ^ {5}.}
Für ,nicht=11{\ displaystyle n = 11}uv((u10+11u5- -1)((v10+11v5- -1)=((u- -v)12.{\ displaystyle uv (u ^ {10} + 11u ^ {5} -1) (v ^ {10} + 11v ^ {5} -1) = (uv) ^ {12}.}
Darüber hinaus können wir feststellen, dass die auftretenden Faktoren im Fall gefunden werden , da:
nicht=5{\ displaystyle n = 5}nicht=11{\ displaystyle n = 11}
v10+11v5- -1=((v2+v- -1)((v4- -3v3+4v2- -2v+1)((v4+2v3+4v2+3v+1).{\ displaystyle v ^ {10} + 11v ^ {5} -1 = (v ^ {2} + v-1) (v ^ {4} -3v ^ {3} + 4v ^ {2} -2v + 1 ) (v ^ {4} + 2v ^ {3} + 4v ^ {2} + 3v + 1).}
Andere Ergebnisse
Ramanujan entdeckte viele andere interessante Eigenschaften von R ( q ). Posing , und die goldene Zahl ,
u=R.((qbeim){\ displaystyle u = R (q ^ {a})}v=R.((qb){\ displaystyle v = R (q ^ {b})}ϕ{\ displaystyle \ phi}
wenn dann
beimb=4π2{\ displaystyle ab = 4 \ pi ^ {2}}((u+ϕ)((v+ϕ)=5ϕ.{\ displaystyle (u + \ phi) (v + \ phi) = {\ sqrt {5}} \, \ phi.}
wenn dann
5beimb=4π2{\ displaystyle 5ab = 4 \ pi ^ {2}}((u5+ϕ5)((v5+ϕ5)=55ϕ5.{\ displaystyle (u ^ {5} + \ phi ^ {5}) (v ^ {5} + \ phi ^ {5}) = 5 {\ sqrt {5}} \, \ phi ^ {5}.}
Die Potenzen von R ( q ) erfüllen auch unerwartete Beziehungen. So,
R.3((q)=αβ{\ displaystyle R ^ {3} (q) = {\ frac {\ alpha} {\ beta}}}oder
α=∑nicht=0∞q2nicht1- -q5nicht+2- -∑nicht=0∞q3nicht+11- -q5nicht+3{\ displaystyle \ alpha = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {2n}} {1-q ^ {5n + 2}}} - \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {3n + 1}} {1-q ^ {5n + 3}}}
β=∑nicht=0∞qnicht1- -q5nicht+1- -∑nicht=0∞q4nicht+31- -q5nicht+4{\ displaystyle \ beta = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {n}} {1-q ^ {5n + 1}}} - \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {4n + 3}} {1-q ^ {5n + 4}}}}
Posieren haben wir
w=R.((q)R.2((q2){\ displaystyle w = R (q) R ^ {2} (q ^ {2})}
R.5((q)=w((1- -w1+w)2,R.5((q2)=w2((1+w1- -w){\ displaystyle R ^ {5} (q) = w \ left ({\ frac {1-w} {1 + w}} \ right) ^ {2}, \; \; R ^ {5} (q ^ {2}) = w ^ {2} \ left ({\ frac {1 + w} {1-w}} \ right)}
Verweise
-
(in) G. H. Hardy , " Der indische Mathematiker Ramanujan " , American Mathematical Monthly , vol. 44, n o 3,März 1937, p. 137-155 ( online lesen )
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(in) Duke, W. "Fortgesetzte Brüche und modulare Funktionen", http://www.math.ucla.edu/~wdduke/preprints/bams4.pdf
-
(in) Duke, W. "Fortgesetzte Brüche und modulare Funktionen" (S.9)
-
(en) Berndt, B. et al. "The Rogers - Ramanujan Continued Fraction" [ online lesen ] .
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- (en) LJ Rogers , „ Zweite Abhandlung über die Erweiterung bestimmter unendlicher Produkte “ , Proc. London Math. Soc. , Vol. s1-25, n o 1,1894, p. 318–343 ( DOI 10.1112 / plms / s1-25.1.318 )
- (en) BC Berndt , SH Chan , SS Huang , SY Kang , J. Sohn und SH Son , " The Rogers - Ramanujan Continued Fraction " , Journal of Computational and Applied Mathematics , vol. 105,1999, p. 9 ( DOI 10.1016 / S0377-0427 (99) 00033-3 , online lesen )
Externe Links
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