Quantenphysikform
Ausdruck einiger Observablen
Die Kommutierungsbeziehungen zwischen den Observablen werden aus dem Korrespondenzprinzip zwischen Hamilton-Mechanik und Quantenmechanik abgeleitet . Ihre Ausdrücke können dann aus einer mathematischen Analyse ermittelt werden.
Beobachtbar
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Symbol
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Ausdruck (e)
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Kommentar
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Position
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r→^=((x^,y^,z^){\ displaystyle {\ hat {\ vec {r}}} = ({\ hat {x}}, {\ hat {y}}, {\ hat {z}})}
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x^::ψ↦ψ~mit {\ displaystyle {\ hat {x}}: \ psi \ mapsto {\ tilde {\ psi}} {\ text {, with}}}
ψ~((x,y,z)=xψ((x,y,z){\ displaystyle {\ tilde {\ psi}} (x, y, z) = x \, \ psi (x, y, z)}
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Impuls
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p→^=((p^x,p^y,p^z){\ displaystyle {\ hat {\ vec {p}}} = ({\ hat {p}} _ {x}, {\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {p}} _ {z })}
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p→^=ℏich∇=- -ichℏ((∂∂x,∂∂y,∂∂z){\ displaystyle {\ hat {\ vec {p}}} = {\ frac {\ hbar} {i}} \ nabla = -i \ hbar \ left ({\ frac {\ partielle} {\ partielle x}}, {\ frac {\ partiell} {\ partiell y}}, {\ frac {\ partiell} {\ partiell z}} \ rechts)}
p→^=ℏich∇- -qBEIM→^{\ displaystyle {\ hat {\ vec {p}}} = {\ frac {\ hbar} {i}} \ nabla -q {\ hat {\ vec {A}}}}
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Die zweite Formel gilt für ein geladenes Teilchen im Coulomb-Messgerät
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Kinetische Energie
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T.,K.{\ displaystyle T, K \, \!}
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p22m=- -ℏ22mΔ{\ displaystyle {\ frac {p ^ {2}} {2m}} = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ Delta}
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Orbitaler Drehimpuls
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L.→^=((L.^x,L.^y,L.^z){\ displaystyle {\ hat {\ vec {L}}} = ({\ hat {L}} _ {x}, {\ hat {L}} _ {y}, {\ hat {L}} _ {z })}
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L.→^=r→^×p→^{\ displaystyle {\ hat {\ vec {L}}} = {\ hat {\ vec {r}}} \ times {\ hat {\ vec {p}}}}
L.^x=- -ichℏ((y∂∂z- -z∂∂y){\ displaystyle {\ hat {L}} _ {x} = - i \ hbar \ left (y {\ frac {\ partiell} {\ partiell z}} - z {\ frac {\ partiell} {\ partiell y} } \ Recht)} L.^y=- -ichℏ((z∂∂x- -x∂∂z){\ displaystyle {\ hat {L}} _ {y} = - i \ hbar \ left (z {\ frac {\ partiell} {\ partiell x}} - x {\ frac {\ partiell} {\ partiell z} } \ Recht)} L.^z=- -ichℏ((x∂∂y- -y∂∂x){\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z} = - i \ hbar \ left (x {\ frac {\ partiell} {\ partiell y}} - y {\ frac {\ partiell} {\ partiell x} } \ Recht)}
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Die Eigenvektoren , die den sphärischen Harmonischen gemeinsam sind und diese bildenL.2{\ displaystyle L ^ {2}}L.z{\ displaystyle L_ {z}}
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Rotieren
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S.→^=((S.^x,S.^y,S.^z){\ displaystyle {\ hat {\ vec {S}}} = ({\ hat {S}} _ {x}, {\ hat {S}} _ {y}, {\ hat {S}} _ {z })}
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S.^x=ℏ2((0110){\ displaystyle {\ hat {S}} _ {x} = {\ frac {\ hbar} {2}} {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}}
S.^y=ℏ2((0- - ichich0){\ displaystyle {\ hat {S}} _ {y} = {\ frac {\ hbar} {2}} {\ begin {pmatrix} 0 & - \ i \\ i & 0 \ end {pmatrix}}} S.^z=ℏ2((100- - 1){\ displaystyle \ quad {\ hat {S}} _ {z} = {\ frac {\ hbar} {2}} {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - \ 1 \ end {pmatrix}} }}
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Formeln gültig bei einem Spin 1/2
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Gesamtdrehimpuls
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J.→^{\ displaystyle {\ hat {\ vec {J}}}}
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L.→^+S.→^{\ displaystyle {\ hat {\ vec {L}}} + {\ hat {\ vec {S}}}}
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Drehimpulsquadrat
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J.^2{\ displaystyle {\ hat {J}} ^ {2}}
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J.^x2+J.^y2+J.^z2{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {x} ^ {2} + {\ hat {J}} _ {y} ^ {2} + {\ hat {J}} _ {z} ^ {2} }}
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Elektrisches Feld
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E.→^((x){\ displaystyle {\ hat {\ vec {E}}} (x)}
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ichE.k((0)((x)2((beimk- -beimk+)e→k((x){\ displaystyle i {\ frac {{\ mathcal {E}} _ {k} ^ {(0)} (x)} {2}} (a_ {k} -a_ {k} ^ {+}) {\ vec {e}} _ {k} (x)}
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Gültig nur für einen Modus (k) der Steuerung. ist der Einheitsvektor, der die Polarisation anzeigt.
e→k{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {k}} |
Evolution in der Zeit
Schrödingers Gleichung
ichℏ∂∂t|ψ((t)⟩=H.^|ψ((t)⟩{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partiell} {\ partiell t}} \ left | \ psi (t) \ right \ rangle = {\ hat {H}} \ left | \ psi (t) \ right \ klingeln}- Für einen Eigenzustand der Energie, d. H. Auf die Eigenwertgleichung reagieren
H.^|ψ0⟩=E.|ψ0⟩{\ displaystyle {\ hat {H}} \ left | \ psi _ {0} \ right \ rangle = E \ left | \ psi _ {0} \ right \ rangle} zum Anfangszeitpunkt t = 0 ist die Entwicklung zu den späteren Zeitpunkten (t> 0): |ψ((t)⟩=e- -ichE.tℏ|ψ0⟩{\ displaystyle \ left | \ psi (t) \ right \ rangle = e ^ {- {\ frac {i \, E \, t} {\ hbar}}} \ left | \ psi _ {0} \ right \ klingeln}
Ausdruck einiger Hamiltonianer
Nachname
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Ausdruck
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Kommentar
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Teilchen in einem Potential
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H.=P.22m+V.((r→){\ displaystyle H = {\ frac {P ^ {2}} {2m}} + V ({\ vec {r}})}
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V.((r){\ displaystyle V (r)} wenn zentrales Potential (dh mit sphärischer Symmetrie)
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Coulomb-Potenzial
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V.((r)=q1q24πε0r{\ displaystyle V (r) = {\ frac {q_ {1} q_ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} r}}}
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Harmonisches Potential
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V.((r)=12mω02r2{\ displaystyle V (r) = {\ frac {1} {2}} m \ omega _ {0} ^ {2} r ^ {2}}
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Quadrat gut mit unendlichen Barrieren
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V.((r)=0 wenn L.∈[- -L./.2,L./.2]]{\ displaystyle V (r) = 0 {\ text {si}} L \ in [-L / 2, L / 2]}
V.((r)=∞ andere{\ displaystyle V (r) = \ infty {\ text {else}}}
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Die Bedingung ist äquivalent zu .
V.((r)=∞{\ displaystyle V (r) = \ infty}ψ((r)=0{\ displaystyle \ psi (r) = 0} |
Vereinfachte Interaktion zwischen zwei Winkelmomenten
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H.=J.J.→^1.J.→^2{\ displaystyle H = J \, {\ hat {\ vec {J}}} _ {1}. {\ hat {\ vec {J}}} _ {2}}
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Elektrische Dipolkopplung, semiklassischer Ansatz
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H.int((t)=er→^.E.→((t)=- -d→^.E.→((t){\ displaystyle H _ {\ text {int}} (t) = e \, {\ hat {\ vec {r}}}. {\ vec {E}} (t) = - {\ hat {\ vec { d}}}. {\ vec {E}} (t)}
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E.((t){\ displaystyle E (t)}ist das elektrische Feld, in dem sich der Dipol befindet. ist das elektrische Dipolmoment.
d{\ displaystyle d} |
Hamilton-Operator eines elektromagnetischen Feldmodus
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H.=ℏω((beim+beim+1/.2){\ displaystyle H = \ hbar \ omega (a ^ {+} a + 1/2)}
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Der Hamilton-Operator eines harmonischen 1D-Oszillators kann in dieselbe Form gebracht werden.
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Jaynes-Cummings Hamiltonian (zweistufiges Atom, das mit einem Einzelfeldmodus mit elektrischen Dipol- und Drehfeldnäherungen interagiert)
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H.int=ℏΩ((|e⟩⟨f|beim+|f⟩⟨e|beim+){\ displaystyle H _ {\ text {int}} = \ hbar \ Omega (| e \ rangle \ langle f | a + | f \ rangle \ langle e | a ^ {+})}
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- | f>: Grundzustand
- | e>: angeregter Zustand
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Ω{\ displaystyle \ Omega} : Rabi Pulsation
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Partikel in einem elektromagnetischen Feld
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H.^=((p→- -qBEIM→((r→,t))22m+V.((r→,t){\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ frac {({\ vec {p}} - q {\ vec {A}} ({\ vec {r}}, t)) ^ {2}} { 2m}} + V ({\ vec {r}}, t)}
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Allgemeiner Fall eines Feldes undE.((t){\ displaystyle E (t)}B.((t){\ displaystyle B (t)}
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Propagator der Schrödinger-Gleichung
Aus dem Begriff der Exponentialmatrix können wir die formale Lösung der Schrödinger-Gleichung finden. Diese Lösung ist geschrieben:
|ψ((t)⟩=U.((t,t0)|ψ((t0)⟩,{\ displaystyle \ left | \ psi (t) \ right \ rangle = U (t, t_ {0}) \ left | \ psi (t_ {0}) \ right \ rangle,} mit
U.((t,t0)=U.((t- -t0)=exp((- -ichH.ℏ((t- -t0)){\ displaystyle U (t, t_ {0}) = U (t-t_ {0}) = \ exp \ left (-i {\ frac {H} {\ hbar}} (t-t_ {0}) \ Recht)} in dem Fall, in dem H nicht explizit von der Zeit abhängt, und
U.((t,t0)=exp((- -ich∫t0tH.((t')dt'ℏ){\ displaystyle U (t, t_ {0}) = \ exp \ left (-i {\ frac {\ int _ {t_ {0}} ^ {t} H (t ') dt'} {\ hbar}} \ Recht)} im allgemeinen Fall.
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Vertretung:
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Heisenberg
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Interaktion
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Schrödinger
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Ket
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Konstante
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|Ψ((t)⟩ich=U.0- -1|Ψ((t)⟩S.{\ displaystyle | \ Psi (t) \ rangle _ {I} = U_ {0} ^ {- 1} | \ Psi (t) \ rangle _ {S}}
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|Ψ((t)⟩S.=U.|Ψ((t0)⟩S.{\ displaystyle | \ Psi (t) \ rangle _ {S} = U | \ Psi (t_ {0}) \ rangle _ {S}}
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Beobachtbar
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BEIMH.((t)=U.- -1BEIMS.U.{\ displaystyle A_ {H} (t) = U ^ {- 1} A_ {S} U}
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BEIMich((t)=U.0- -1BEIMS.U.0{\ displaystyle A_ {I} (t) = U_ {0} ^ {- 1} A_ {S} U_ {0}}
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Konstante
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Evolution-Operator
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H.^=H.^0+V.^((t){\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ hat {H}} _ {0} + {\ hat {V}} (t)}
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U.((t,t0)=e- -ichℏH.^((t- -t0){\ displaystyle U (t, t_ {0}) = e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} {\ hat {H}} (t-t_ {0})}} U.0((t,t0)=e- -ichℏH.^0((t- -t0){\ displaystyle U_ {0} (t, t_ {0}) = e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} {\ hat {H}} _ {0} (t-t_ {0}) }}
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Quantenmechanik :
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Vertretung von Heisenberg
Während der Hamilton-Operator nicht explizit von der Zeit abhängt, sind in der traditionellen Darstellung, die als Schrödingers Darstellung bezeichnet wird , die Observablen nicht zeitabhängig und der Zustand zeitabhängig. Durch eine Einheitentransformation können wir zur Heisenberg-Darstellung gehen , wo der Zustand zeitunabhängig ist und die Observablen gemäß der folgenden Gleichung von der Zeit abhängen:
ddtBEIM=1ichℏ[BEIM,H.]]+((∂BEIM∂t)explizit{\ displaystyle {d \ über {dt}} A = {1 \ über {i \ hbar}} [A, H] + \ left ({{\ partielles A} \ über {\ partielles t}} \ rechts) _ {\ text {explizit}}}Schwarzkörpergesetz
Nach dem Stefan-Boltzmannschen Gesetz variiert der vom Schwarzkörper emittierte Energiefluss Φ in Abhängigkeit von der absoluten Temperatur T (in Kelvin ) nach
Φ=σT.4{\ displaystyle \ Phi = \ sigma T ^ {4}}wobei σ die Stefan-Boltzmann-Konstante ist
Die Energieflussdichte d Φ für eine gegebene Wellenlänge λ ist durch das Plancksche Gesetz gegeben :
dΦdλ=2πvs.2hλ5⋅1ehvs./.λkT.- -1{\ displaystyle {\ frac {d \ Phi} {d \ lambda}} = {\ frac {2 \ pi c ^ {2} h} {\ lambda ^ {5}}} \ cdot {\ frac {1} { e ^ {hc / \ lambda kT} -1}}}Dabei ist c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, h die Plancksche Konstante und k die Boltzmannsche Konstante . Das Maximum dieses Spektrums ergibt sich aus dem Wiener Gesetz :
λmbeimx=hvs.4,965kT.=2,898×10- -3T.{\ displaystyle \ lambda _ {max} = {\ frac {hc} {4 {,} 965 \; kT}} = {\ frac {2 {,} 898 \ times 10 ^ {- 3}} {T}} }}.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">