Logische Äquivalenz
In der klassischen Logik heißen zwei Sätze P und Q logisch äquivalent oder einfach äquivalent, wenn es möglich ist, Q aus P abzuleiten und P aus Q abzuleiten . Bei der Berechnung von Propositionen bedeutet dies, dass P und Q denselben Wahrheitswert haben : P und Q sind entweder beide wahr oder beide falsch. Logische Äquivalenz wird oft in der Form genau dann ausgedrückt, wenn in Rahmen wie Lehre oder Metamathematik von den Eigenschaften der Logik selbst gesprochen wird, und nicht von dem logischen Konnektor, der zwei Sätze verbindet.
Das Verhältnis der logischen Äquivalenz zwischen Sätzen ist eng mit dem Äquivalenzkonnektor verbunden, oft als ⇔ oder ↔ bezeichnet, der (sehr allgemein sowohl in der klassischen Logik als auch beispielsweise in der intuitionistischen Logik ) als Konjunktion von l' Implikation P ⇒ Q . definiert werden kann ( „ Q , wenn P “) und ihr reziprok Q ⇒ P ( Q nur dann , wenn P ), dh (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P).
Die Behauptung , dass P ⇔ Q läuft darauf hinaus , dass P und Q äquivalent sind. Anders ausgedrückt (in der klassischen Logik) nimmt der Satz P ⇔ Q den Wert „wahr“ an, wenn P und Q logisch äquivalent sind, und nur in diesem Fall. In der Logik wird die Äquivalenzrelation manchmal als bezeichnet (die Notation ⇔ oder ↔ ist für den Konnektor reserviert).
In der Elektronik heißt eine ähnliche Funktion inklusive UND ; letzteres wird durch das Zeichen "⊙" symbolisiert.
Äquivalenz in der Sprache der Mathematik
In mathematischen Texten drücken wir aus, dass zwei Aussagen P und Q äquivalent sind durch:
- P genau dann, wenn Q (manchmal abgekürzt als P iff Q );
- Für P ist es notwendig und ausreichend, dass Q ;
- Eine notwendige und hinreichende Bedingung (CNS) für P ist Q ;
- P ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für Q ;
- P gleich Q .
Aussagenrechnung
In der klassischen Logik, die nur zwei Wahrheitswerte hat, lautet die Wahrheitstabelle des Äquivalenzkonnektors:
| P | Q | P ⇔ Q |
|---|---|---|
| Wahr | Wahr | Wahr |
| Wahr | Falsch | Falsch |
| Falsch | Wahr | Falsch |
| Falsch | Falsch | Wahr |
Der Satz P ⇔ Q ist äquivalent zu:
- ( P ⇒ Q ) ∧ ( Q ⇒ P ) (( P bedeutet , Q ) und ( Q bedeutet , P ));
- ( P ⇒ Q ) (¬ P ⇒ ¬ Q ) (( P impliziert Q ) und das Gegenteil von ( Q impliziert P ));
- ¬ P ⇔ ¬ Q (gegenübergestellte Äquivalenz);
- ( P ∧ Q ) (¬ Q ∧ ¬ P ) (( P und Q ) oder (nicht P und nicht Q )).
Eigenschaften
Die logische Äquivalenzrelation, unten mit noted bezeichnet, ist eine Äquivalenzrelation , nämlich:
- P ≡ P (die Äquivalenzrelation ist reflexiv );
- Wenn P ≡ Q , dann Q ≡ P (die Äquivalenzbeziehung ist symmetrisch );
- Wenn P ≡ Q und Q ≡ R , dann P ≡ R (die Äquivalenzrelation ist transitiv ).
Diese Äquivalenzrelation ist mit logischen Konnektoren kompatibel. Außerdem in der klassischen Logik:
- ¬¬P ≡ P.
- Für alle reellen x ungleich Null und y gilt
- Die Äquivalenz ( x = y ⇔ x 2 = y 2 ) (durch Erhöhung des Quadrats) gilt nicht für alle reellen x und y : zum Beispiel 2 2 = (–2) 2 impliziert nicht 2 = –2 .
- Für alle reellen x positiv und y gilt die folgende Äquivalenz (erhöht im Quadrat)Durch das Quadrieren verlieren wir die Information, die größer als eine Quadratwurzel ist und positiv sein muss, und um Äquivalenz zu haben, müssen wir die Eigenschaft hinzufügen .
Um die Gleichwertigkeit P ⇔ Q , können wir die Implikation beweisen P ⇒ Q und seine inverse Q ⇒ P .
Äquivalenz zwischen mehreren Aussagen
Sind drei Vorschläge P , Q und R .
Um die 3 Äquivalenzen P ⇔ Q , Q ⇔ R und P ⇔ R zu beweisen, genügt es, 2 davon zu beweisen, oder es genügt, die 3 Implikationen zu beweisen:
P ⇒ Q , Q ⇒ R und R ⇒ P .Demonstration:
Es seien die Implikationen P ⇒ Q , Q ⇒ R und R ⇒ P aufgestellt .
Aus Q ⇒ R und R ⇒ P leiten wir Q ⇒ P ab .
Aus R ⇒ P und P ⇒ Q leiten wir R ⇒ Q ab .
Aus P ⇒ Q und Q ⇒ R leiten wir P ⇒ R ab.
Wir können auf n Aussagen P 1 , P 2 ,…, P n verallgemeinern : um zu beweisen, dass diese Aussagen äquivalent sind, genügt es, die Implikationen zu beweisen
P 1 ⇒ P 2 , P 2 ⇒ P 3 ... P n-1 ⇒ P n und P n ⇒ P 1 .Beispiele für gängige Formulierungen
Betrachten Sie zwei Sätze und .
- Wir sagen, dass dies eine notwendige Bedingung dafür ist, wenn wir haben und übersetzt werden können als "damit, dass es notwendig ist ".
- Wir sagen, dass dies eine hinreichende Bedingung dafür ist, wenn wir haben und übersetzt werden können als „damit es genügt “.
- Wir sagen, dass dies eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür ist, wenn wir haben und wenn wir haben und übersetzt werden können als "damit, dass es notwendig und ausreichend ist ". Dies läuft darauf hinaus, zu sagen, dass das gleichbedeutend ist mit und wird bemerkt . Durch Kommutativität der Äquivalenz können wir also auch sagen, dass dies eine notwendige und hinreichende Bedingung für ist .
