Die Koch-Flake ist eine der ersten beschriebenen fraktalen Kurven , lange bevor Benoît Mandelbrot den Begriff „fractal (e)“ erfunden hat .
Es wurde 1904 vom schwedischen Mathematiker Helge von Koch erfunden .
Wir können es aus einem Liniensegment erstellen, indem wir jedes Liniensegment wie folgt rekursiv ändern:
Nach diesen drei Schritten hat das resultierende Objekt eine Form ähnlich einem Querschnitt eines Hexenhutes.
Die Koch-Kurve ist die Grenze der erhaltenen Kurven, wenn die oben erwähnten Schritte auf unbestimmte Zeit wiederholt werden.
Eine Erweiterung des Dimensionsbegriffs macht es möglich, der Koch-Kurve eine fraktale Dimension (nicht ganzzahlig) zuzuschreiben, deren Wert
Die Koch-Kurve hat unendliche Länge, weil jedes Mal, wenn wir die obigen Modifikationen auf jedes Liniensegment anwenden, die Gesamtlänge mit vier Dritteln multipliziert wird.
Die durch die Kurve begrenzte Fläche ist jedoch endlich, da sie in der Halbscheibe enthalten ist, deren Durchmesser das Anfangssegment ist. Wenn wir die Flächeneinheit so gewählt haben, dass das in der ersten Iteration konstruierte Dreieck die Fläche 1 hat, dann beträgt die Fläche jedes der vier in der zweiten Iteration konstruierten Dreiecke 1/9: Wir haben daher die Gesamtfläche um vergrößert 4/9. Für Iteration n fügen wir hinzu . Die Gesamtfläche erhält man schließlich durch Summation einer konvergenten geometrischen Reihe :
.
Die Koch-Kurve stellt ein Beispiel für eine kontinuierliche Kurve dar, die jedoch nicht an jedem ihrer Punkte differenzierbar ist.
Wir können die Koch-Flake als den Attraktor einer Familie von Kontraktionen betrachten , was es beispielsweise ermöglicht, zu beweisen, dass sie ein Kompakter von R² ist.
Die Koch-Schneeflocke wird auf die gleiche Weise wie das vorherige Fraktal erhalten, ausgehend von einem gleichseitigen Dreieck anstelle eines Liniensegments und der Modifikation durch die Ausrichtung der Dreiecke nach außen. Für ein Anfangsdreieck (Schritt 0) des Umfangs p ist der Umfang der Flocke in Schritt n (4/3) n p .
Wir können auch von einem Sechseck ausgehen und die Dreiecke nach innen ausrichten.
In beiden Fällen bekommen wir nach einigen Iterationen eine Form, die einer Schneeflocke ähnelt, sogar Schnee .
Wie die Kurve ist die Koch-Flocke von unendlicher Länge und begrenzt eine endliche Fläche. Dies entspricht 8/5 der Fläche des ursprünglichen Dreiecks aufgrund der Konstruktion von nur 3 Dreiecken im ersten Schritt.
Nach von Kochs Konzept wurden mehrere Varianten entworfen, die rechte Winkel (Quadratisch), andere Winkel (Cesàro-Fraktal) oder Ausdehnungen in höhere Dimensionen (Kugelflocke, Koch-Oberfläche) berücksichtigen.