Anti-Sitter-Raum

In Mathematik und Physik ist der bezeichnete n- dimensionale Anti-Sitter- Raum das Lorentzsche Analogon des n- dimensionalen hyperbolischen Raums . Es ist mit maximaler Symmetrie versehen und ist eine Lorentzsche Mannigfaltigkeit mit konstanter negativer Skalarkrümmung . ${\ mathrm {AdS}} _ {n}$

In der Sprache der allgemeinen Relativitätstheorie ist der Anti-Sitter-Raum eine leere Lösung (in) im Bereich der Einstein-Gleichung mit einer kosmologischen Konstante negativ. $\ Lambda$

Der Anti-de-Sitter-Raum ist das negativ gekrümmte Analogon des Sitter-Raums , benannt nach Willem de Sitter . Es wird in der AdS / CFT-Korrespondenz verwendet .

Definitionen und Eigenschaften

Die Anti Sitter - Raum kann als definiert werden Untervarietät von der Kodimension 1. uns den Raum Lassen Sie nehmen mit der Metrik : $\ mathbb {R} ^ {{2, n-1}}$ $\ mathbb {R} ^ {{2, n-1}}$

{\ mathrm d} s ^ {2} = - {\ mathrm d} x_ {0} ^ {2} - {\ mathrm d} x_ {1} ^ {2} + \ sum _ {{i = 2}} ^ {n} {\ mathrm d} x_ {i} ^ {2}

Der Anti-Sitter-Raum ist die vom Hyperboloid beschriebene Subvarietät

-x_ {0} ^ {2} -x_ {1} ^ {2} + \ sum _ {{i = 2}} ^ {n} x_ {i} ^ {2} = - \ alpha ^ {2}

wo ist eine Nicht-Null-Konstante mit Längenabmessungen. Die Metrik im Anti-Sitter-Raum ist die Metrik, die durch die Umgebungsmetrik induziert wird. Wir können überprüfen, ob die induzierte Metrik nicht entartet ist und die Lorentzsche Signatur hat. $\Alpha$

Der n- dimensionale Sitterraum besteht aus einer Gruppe von Isometrien. Es ist nicht nur verwandt ; es ist homöomorph zum Produkt , daher ist seine grundlegende Gruppe die Gruppe von ganzen Zahlen , und es hat eine universelle kontraktile Abdeckung . Sitters Anti-Raum-Zeit hat Zeiten wie Schleifen geschlossen, im Gegensatz zu seiner universellen Abdeckung, die dies nicht tut. Einige Autoren verwenden den Anti-Sitter-Bereich, um auf die einfach verwandte universelle Abdeckung zu verweisen. $O (n-1,2)$ $S ^ {1} \ times \ mathbb {R} ^ {{n-1}}$

Der Anti-Sitter-Raum als homogener und symmetrischer Raum

Wie die Kugel kann der Anti-Sitter-Raum als Quotient zweier undefinierter orthogonaler Gruppen (en) angesehen werden . Diese Formulierung als Quotient ergibt eine homogene Raumstruktur . Die Lie-Algebra von ist durch die Matrizen gegeben $S ^ {2} = {\ tfrac {O (3)} {O (2)}}$ ${\ mathrm {AdS}} _ {n}$ $O (2, n-1) / O (1, n-1)$ ${\ mathrm {AdS}} _ {n}$ $O (1, n)$

{\ mathcal {H}} = {\ begin {pmatrix} {\ begin {matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end {matrix}} & {\ begin {pmatrix} \ cdots 0 \ cdots \\\ leftarrow {} ^ {t} \! v \ rightarrow \ end {pmatrix}} \\ {\ begin {pmatrix} \ vdots & \ uparrow \\ 0 & v \\\ vdots & \ downarrow \ end {pmatrix}} & B. \ end {pmatrix}}

wo ist eine symmetrische diagonale Matrix . Eine zusätzliche in der Lie-Algebra von ist $B.$ ${\ mathcal {G}}$ $O (2, n)$

{\ mathcal {Q}} = {\ begin {pmatrix} {\ begin {matrix} 0 & a \\ - a & 0 \ end {matrix}} & {\ begin {pmatrix} \ leftarrow {} ^ {t} \! w \ rightarrow \\\ cdots 0 \ cdots \\\ end {pmatrix}} \\ {\ begin {pmatrix} \ uparrow & \ vdots \\ w & 0 \\\ downarrow & \ vdots \ end {pmatrix} } & 0 \ end {pmatrix}}.

Diese beiden Leerzeichen werden überprüft . Eine explizite Matrixberechnung zeigt dies dann . Daher ist der Anti-Sitter-Raum ein homogener Raum und ein nicht-Riemannscher symmetrischer Raum . ${\ mathcal {G}} = {\ mathcal {H}} \ oplus {\ mathcal {Q}}$ $[{\ mathcal {H}}, {\ mathcal {Q}}] \ subseteq {\ mathcal {Q}} {\ text {et}} [{\ mathcal {Q}}, {\ mathcal {Q}}] \ subseteq {\ mathcal {H}}$

Siehe auch

Anti-Sitter-Universum

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