Cantors Treppe

Die Cantor-Funktion oder die Teufelstreppe ist der Graph einer Funktion $f,$ die auf $[0, 1]$ weiter zunimmt , so dass $f$ $(0) = 0$ und $f$ $(1) = 1$ , was fast überall differenzierbar ist , wobei die Ableitung fast ist überall Null. Dies ist jedoch eine kontinuierliche Funktion , jedoch nicht absolut kontinuierlich .

Einige grundlegende Analyseerinnerungen

Sei $f$ eine stetige Funktion über ein Intervall $I$ ⊂ ℝ mit der Ableitung $f '$ . Wenn $f '$ Null ist vorbei $I$ , dann $f$ ist konstant . Dies ist eine unmittelbare Folge des Satzes des endlichen Inkrements .

Cantors Treppe zeigt, dass die Schlussfolgerung falsch ist, wenn wir nur annehmen, dass $f '$ fast überall verschwindet.

Wir haben jedoch die folgenden Ergebnisse:

wenn $f$ stetig ist und wenn seine Ableitung existiert und im Komplement einer zählbaren Menge verschwindet , dann ist $f$ konstant (gemäß Cousins Lemma oder der Ungleichung endlicher Inkremente );
wenn $f$ ist Lipschitz (oder allgemeiner: absolut stetig ) und wenn ihre Ableitung existiert und fast überall verschwindet, dann $f$ konstant ist (vgl § „Lipschitz - Funktion mit Null - Derivat fast überall“ des Artikels auf Cousin Lemma).

Konstruktion

Wir folgen Schritt für Schritt dem Aufbau des Cantor K 3 Sets .

Wir nehmen $f 0 ( x ) = x$ . Die Funktion $f 1$ ist die stückweise affine stetige Funktion, die gleich 0 in 0, 1 in 1 und ist $1 /. 2$ am $[1 /. 3, 2 /. 3]$ .

Wir gehen auf die gleiche Weise von $f n$ nach $f n + 1,$ indem wir $f n$ in jedem Intervall $[ u , v ],$ in dem es nicht konstant ist, durch die durch Teile affine stetige Funktion ersetzen , die im mittleren Drittel des Intervalls gültig ist $[$ $u$ $,$ $v$ $]$ . ${\ displaystyle {\ frac {f_ {n} (u) + f_ {n} (v)} {2}}}$

Dann überprüfen wir das für alles , was zeigt, dass die Reihe von Funktionen gleichmäßig konvergiert und daher die Folge $f$ $n$ gleichmäßig konvergiert. Die Grenzfunktion $f$ ist stetig, monoton und wir haben $f$ $(0) = 0$ und $f$ $(1) = 1$ wie angegeben. Darüber hinaus hat $f$ eine Nullableitung für das Komplement der Cantor-Menge K 3 , da dieses Komplement eine Vereinigung von Intervallen ist, in denen $f$ konstruktionsbedingt konstant ist (daher der Name der Treppe!). ${\ displaystyle x, \ vert f_ {n + 1} (x) -f_ {n} (x) \ vert \ leq 2 ^ {- n}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 0} (f_ {n + 1} -f_ {n})}$

Was lehrt uns dieses Beispiel?

Es ist wahr (vgl. „Verallgemeinerung des ersten fundamentalen Theorems der Analyse “), dass wenn $f$ eine messbare Funktion ist, die an ℝ gebunden ist, die Funktion fast überall differenzierbar und von $f abgeleitet ist$ . Es ist jedoch falsch, dass jede fast überall differenzierbare Funktion gleich dem Integral ihrer Ableitung ist, selbst wenn dieses integrierbar ist . Das lehrt uns Cantors Treppe. Um zufriedenstellende Ergebnisse zu dieser Frage zu erzielen, muss der Begriff der absoluten Kontinuität eingeführt werden (vgl. „ Zweiter grundlegender Theorem der Analyse “). ${\ displaystyle x \ mapsto \ int _ {a} ^ {x} f (t) \, {\ rm {d}} t}$
Cantors Treppe ist ein Beispiel für eine stetige Funktion, deren Ableitung fast überall existiert, aber nicht mit der Ableitung im Sinne von Verteilungen übereinstimmt . Dieses bekannte Phänomen bei diskontinuierlichen Funktionen (z. B. Indikatorfunktionen) ist im kontinuierlichen Fall weniger intuitiv.
Cantors Treppe ist die Verteilungsfunktion einer realen Zufallsvariablen des diffusen Gesetzes , des Cantorschen Gesetzes , das keine Dichte ist und sogar Lebesgues Maß fremd ist . Auch hier ist dies ein interessantes (Gegen-) Beispiel . Wir können einfach eine echte Zufallsvariable X zeigen, die zufällig zwischen 0 und 1 genommen wird und deren Verteilungsfunktion die Cantor-Treppe ist: Es reicht aus, die aufeinanderfolgenden Ziffern (0, 1 oder 2) der Basis-Drei- Erweiterung von X etwas zufällig zu zeichnen besondere Art und Weise, nämlich durch gleichwahrscheinliche unabhängige Ziehungen, die auf 0 oder 2 beschränkt sind, wobei die Zahl 1 ausgeschlossen ist.

Anmerkungen und Referenzen

Im Gegensatz zu dem, was geglaubt wurde , zeigt Harnack sehen (in) Thomas Hawkins , Lebesgueschen Theorie der Integration: Die Entstehung und Entwicklung , AMS ,2001, 2 nd ed. ( 1 st ed. 1970) ( online lesen ) , „Cantors Entwicklung der Theorie der Sätze und ihre Anwendung auf die Theorie der Integration “ , p. 71-79und p. 60 und Axel Harnack, " Fourier Series Theory ", Bulletin of Mathematical and Astronomical Sciences , vol. 6, n o 1,1882, p. 242-260 ( online lesen )Satz III p. 247 .

Siehe auch

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Externer Link

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Literaturverzeichnis

G. Cantor, „ Über die Kraft perfekter Punktmengen “, Acta Math. , Vol. 4,1884, p. 381-392 ( DOI 10.1007 / BF02418423 )
(de) Ludwig Scheeffer (de) , „ Allgemeine Untersuchungen zur Berichtigung der Kurve “ , Acta Math. , Vol. 5,1884, p. 49-82 ( DOI 10.1007 / BF02421552 )