Zusammen nirgends dicht

In Topologie ein Satz ist nirgends dicht oder selten , wenn sie erfüllt die inversen Eigenschaften des Begriffs der Dichte . Intuitiv ist eine Teilmenge A eines topologischen Raums X in X nirgends dicht, wenn fast kein Punkt von X durch Punkte A "angefahren" werden kann .

Definition

Lassen Sie X ein topologischer Raum und seine A eine Teilmenge von X . Die folgenden vier Eigenschaften sind äquivalent und A soll in X nirgends dicht (oder selten) sein, wenn es sie erfüllt:

1. das Innere der Adhäsion von A ist leer  ;
2. Jede in dieser Bindung A enthaltene Öffnung von X ist leer.
3. A ist in keinem nicht leeren offenen von X "dicht"  ;
4. für jede offene U nicht leere X existiert ein offenes V nicht leere in eingeschlossen U und disjunkt von A .

Die Reihenfolge in 1. ist wichtig: Es ist möglich, Teilmengen zu finden, deren (das Innere von) die Adhäsion X ist und (die Adhäsion von) das Innere leer ist (dies ist der Fall von l Satz von Rationalen im Raum der Reals ). .

Eigenschaften

• Jede Teilmenge einer nirgends dichten Menge ist nirgends dicht, und die Vereinigung einer endlichen Anzahl nirgends dichter Mengen ist nirgends dicht. Andererseits ist die Vereinigung einer zählbaren Anzahl von nirgends dichten Mengen nicht notwendigerweise nirgends dicht. Eine solche Vereinigung wird als Lean- Set oder First-Class-Set bezeichnet.
• Wenn Y offen ist X jede Partei A auf Y ist nirgends dicht in Y (für die induzierte Topologie ) ist nirgends dicht in X .Lassen Sie U in A in der Tat öffnen . Dann (durch Hypothese A ) U ∩ Y = ∅, so dass U disjunkt ist A also auch (da es geöffnet ist ) zu A . Daher ist U leer.

Beispiele

• Die Menge der relativen ganzen Zahlen ist in der Menge der Realzahlen, die mit der üblichen Topologie versehen sind, nirgends dicht .
• Die Menge der Reals, deren Dezimalerweiterung nur die Ziffern 0 oder 1 enthält, ist in der Menge der Reals nirgends dicht.

Positives Lebesgue-Maß

Eine nirgends dichte Menge ist nicht unbedingt ein Nullmaß (für das Lebesgue-Maß ). Wenn beispielsweise X das Intervall [0,1] ist, ist es nicht nur möglich, eine vernachlässigbare dichte Teilmenge zu finden (die von rationalen Zahlen liefert ein Beispiel), sondern es gibt auch nirgends dichte Teilmengen von streng positiven Maßen, wie z Smith-Volterra-Cantor-Set . Man kann auch eine Teilmenge von findet X ersten Messkategorie 1. Nehmen Sie einfach ein Treffen zählbare von Cantor - Sets Mess 1 - 1 / n , n gerade alle positiven ganzen Zahlen.

Bewertung und Referenz

1. In den ersten Texten von René Baire wird der Begriff " nicht dicht" verwendet , was zu Verwechslungen mit der Tatsache führt, dass es sich nicht um ein dichtes Ganzes handelt.

(fr) Dieser Artikel stammt teilweise oder vollständig aus dem englischen Wikipedia- Artikel "  Nowhere dichtes Set  " ( siehe Autorenliste ) .

Siehe auch

In Verbindung stehender Artikel

• Baires Theorem
• Dünnes Set

Externer Link

(en) Henry Bottomley, "  Einige nirgends dichte Sets mit positivem Maß  "