Winkelverteilung

Eine Winkelverteilung ist ein nicht negatives Skalarfeld, das auf der Einheitskugel definiert ist und zum Raum gehört ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {p}}$ . Es definiert die Winkeleigenschaften einer physikalischen Größe, die in einer beliebigen Richtung oder einfach in einer Reihe von Richtungen definiert ist.

Kugeleinheit

Die Einheitskugel ist eine 3-Kugel mit Einheitsradius oder in der Topologie die topologische Vielfalt der Dimension 2

{\ displaystyle S ^ {2} = \ {\ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^ {3} \;: \; || x || = 1 \}}

Es wird am häufigsten durch einen Einheitsvektor Ω dargestellt, dessen Richtung durch die Kugelkoordinaten (θ, Φ) gegeben ist.

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Omega}} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ phi \ sin \ theta \\\ sin \ phi \ sin \ theta \\\ cos \ theta \ end {pmatrix}} \, , \, \, 0 \ leq \ phi <2 \ pi \;, \; \; 0 \ leq \ theta <\ pi}

In diesem Raum können wir eine geodätische Entfernung definieren . ${\ displaystyle d (\ mathbf {\ Omega}, \ mathbf {\ Omega} ') = \ arccos \, ({\ boldsymbol {\ Omega}} \ cdot {\ boldsymbol {\ Omega}}')}$

Das Lebesgue-Maß ist unter Rotation unveränderlich. Seine Masse ist es wert . ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ Omega = \ sin \ theta \, \ mathrm {d} \ theta \, \ mathrm {d} \ phi}$ ${\ displaystyle \ int _ {S ^ {2}} \ mathrm {d} \ Omega = 4 \ pi}$

Eine häufig verwendete alternative Definition wird durch Posieren erhalten . Wir haben dann ${\ displaystyle \ mu = \ cos {\ theta}}$

{\ displaystyle \ Omega = {\ begin {pmatrix} {\ sqrt {1- \ mu ^ {2}}} \ cos {\ phi} \\ {\ sqrt {1- \ mu ^ {2}}} \ sin {\ phi} \\\ mu \ end {pmatrix}} \ ,, \ quad \ mathrm {d} \ Omega = \ mathrm {d} \ mu \, \ mathrm {d} \ phi}

Bei der Untersuchung einer mathematischen oder physikalischen Randbedingung (z. B. der Eigenschaften einer Oberfläche) kann es erforderlich sein, den Raum auf eine Halbkugel zu beschränken . Einige Modelle verwenden körperliche Annäherung Oktanten (1/8 th der Kugel). Schließlich verwenden die numerische Approximation Fabrikaten der Unterteilung in N Segmente (δθ, δΦ) (zum Beispiel der S - N - Methode in Strahlungstransport oder die Segmentierung der statistischen Daten).

Wir können die Theorie auf eine Hypersphäre verallgemeinern .

Manipulationen von Winkelverteilungen

Sonderfälle

Die Extremfälle sind

- Isotropie	${\ displaystyle L ({\ boldsymbol {\ Omega}}) = L_ {0}}$
- der Strahl	${\ displaystyle L ({\ boldsymbol {\ Omega}}) = L_ {0} \, \ delta ({\ boldsymbol {\ Omega - \ Omega}} _ {0})}$

wobei L 0 und Ω 0 Konstanten sind und δ die Dirac-Verteilung .

Darstellung

Das Problem der Darstellung einer Winkelverteilung ist das der stereografischen Projektion . Dies ist beispielsweise bei der Darstellung der Himmelskugel der Fall .

Annäherung

Jede Winkelverteilung kann in sphärische Harmonische oder bei einer Verteilung mit Rotationssymmetrie in Legendre-Polynome zerlegt werden . Die sphärischen Harmonischen sind bei diesem Problem natürlich, da sie die Eigenvektoren des Laplace-Beltrami-Operators auf der Einheitskugel sind und daher das Gegenstück zu den trigonometrischen Funktionen für den gewöhnlichen Laplace-Operator sind .

Wir können auch Zernike-Polynome oder sphärische Wavelets verwenden , die auf die Einheitskugel projiziert werden. In beiden Fällen wird eine stereografische Dilatation durchgeführt (die Umkehrung einer stereografischen Projektion ), eine Operation, die auf verschiedene Arten ausgeführt werden kann.

Momente einer zufälligen Funktion

Sei die Zufallsfunktion g ( Ω ) so, dass . Die mittlere Richtung m ist gegeben durch ${\ displaystyle \ int _ {S ^ {2}} g ({\ boldsymbol {\ Omega}}) \, \ mathrm {d} \ Omega = 1}$

{\ displaystyle \ mathbf {m} = {\ frac {\ mathbf {M}} {M}}}

mit

{\ displaystyle \ mathbf {M} = \ int _ {S ^ {2}} g ({\ boldsymbol {\ Omega}}) \, {\ boldsymbol {\ Omega}} \, \ mathrm {d} \ Omega}

Wir verallgemeinern die Momente einer statistischen Verteilung, die im üblichen euklidischen Raum definiert sind, wie folgt

Standardabweichung	${\ displaystyle m_ {1} = \ int _ {S ^ {2}} g ({\ boldsymbol {\ Omega}}) \, d ({\ boldsymbol {\ Omega}}, \ mathbf {m}) \, \ mathrm {d} \ Omega}$
Moment der Bestellung	${\ displaystyle m_ {n} = \ int _ {S ^ {2}} g ({\ boldsymbol {\ Omega}}) \, d ({\ boldsymbol {\ Omega}}, \ mathbf {m}) ^ { n} \, \ mathrm {d} \ Omega}$

Die Untersuchung statistischer Winkelverteilungen erfordert auch Standardfunktionen, die an ein bestimmtes Problem angepasst sind. In diesem Fall konzentrieren wir uns eher auf die Trägheitsmomente der Verteilung.

Bei einer Verteilung mit Rotationssymmetrie wird üblicherweise der Asymmetriefaktor verwendet

{\ displaystyle a = 2 \ pi \ int _ {- 1} ^ {1} \ mu g (\ mu) \ mathrm {d} \ mu \ ,, \ qquad \ mu = \ cos (\ theta)}

Tensormomente in der Physik

Anstelle des obigen Moments der Ordnung 1 führen wir den folgenden Tensor ein , der aus der Winkelverteilung f ( Ω ) berechnet wird.

{\ displaystyle {\ mathsf {P}} = \ int _ {S ^ {2}} f ({\ boldsymbol {\ Omega}}) \, {\ boldsymbol {\ Omega}} \ otimes {\ boldsymbol {\ Omega }} \, \ mathrm {d} \ Omega}

$\ otimes$ ist der Tensorproduktbetreiber . Die Spur dieses Tensors ist die Standardabweichung m 1 oben mit einer Drehung der Referenz.

Beispiele sind unten angegeben.

Einige Beispiele in der Physik

Ein wichtiger Bereich ist die Partikelausbreitung. Die Winkelverteilung betrifft in diesen Fällen die Anzahl der Teilchen, die während der Zeit dt im Raumwinkel dΩ um die Richtung Ω eine Elementarfläche dS kreuzen

{\ displaystyle \ mathrm {d} N = f (\ mathbf {x}, t, {\ boldsymbol {\ Omega}}) \, v \, \ mathrm {d} t \, \ mathrm {d} S \, \ mathrm {d} \ Omega}

Dabei ist f die Anzahl der Partikel pro Volumeneinheit und v die Geschwindigkeit. Der der Teilchenflussdichte entsprechende Vektor ist gegeben durch

{\ displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {x}, t) = \ int _ {S ^ {2}} f (\ mathbf {x}, t, {\ boldsymbol {\ Omega}}) \, { \ boldsymbol {\ Omega}} \, \ mathrm {d} \ Omega}

Anstelle der Anzahl der Partikel können wir uns die Menge ansehen, die sie tragen. Im Fall von Energie erhalten wir beispielsweise den Begriff der Luminanz, indem wir f durch ef ersetzen, wobei e die von jedem Teilchen transportierte Energie ist. Die Luminanz ist L = vef und F ist der Ausgang . Diese Größe wird häufig für Photonen verwendet (v = c), gilt aber auch für den Transport vieler anderer Teilchen: Neutrinos in der Kernphysik , Neutronen in der Neutronik , Elektronen , Alpha-Teilchen oder Ionen in der medizinischen Physik .

Ein Beispiel für eine zufällige Verteilung mit Partikeln ist die elastische Streuung eines Moleküls durch ein anderes Molekül. Das Problem reduziert sich auf die alleinige Kenntnis der Abweichung während der Interaktion. Dieses komplexe Problem wird vereinfacht, wenn die Moleküle sphärisch symmetrisch sind: Das Problem ist dann ein ebenes Problem, genau wie die elastische Streuung eines Photons durch ein Teilchen ( Thomson- oder Rayleigh-Streuung ).
Wenn die mit dem Photon verbundene Wellenlänge in der gleichen Größenordnung liegt wie das Hindernis, mit dem die Welle interagiert, wird ein Beugungsphänomen beobachtet, das wiederum durch die Winkelverteilung der gebeugten Welle gekennzeichnet ist. Diese Art von Phänomen führt zu Strahlungsmustern für elektromagnetische Wellen. Wir beobachten das gleiche Phänomen, wenn die Welle eine Schallwelle ist.
Der oben definierte Tensor tritt bei bestimmten Verfahren zum Auflösen des Strahlungstransfers in Bezug auf die Luminanz auf. Dies ist der Strahlungsdrucktensor, analog zum Spannungstensor der Navier-Stokes-Gleichung, der nach der Chapman-Enskog-Methode aus der mikroskopischen Verteilungsfunktion der Geschwindigkeiten v = v Ω erhalten werden kann .
Das Obige stellt das breiteste Anwendungsfeld dar, es gibt jedoch auch andere Anwendungen der Winkelverteilung, beispielsweise die Kontaktpunkte eines Elements eines körnigen Mediums .

Anmerkungen

Manchmal wird der Name sphärische Verteilung verwendet. Dieser Ausdruck wird jedoch auch im Sinne einer Winkelverteilung mit sphärischer Symmetrie verwendet.

Verweise

Dominique Bakry, „ Integration. " ,2009
(en) Kendall Atkinson und Weimin Han , Sphärische Harmonische und Approximationen auf der Einheitssphäre: eine Einführung , Springer ,2012( ISBN 978-3-642-25982-1 )
Frédéric Guilloux, Harmonische Analyse und Spektralschätzung der Kugel. Anwendungen zur Untersuchung des kosmischen diffusen Hintergrunds. ( online lesen )
(en) NI Fisher , T. Lewis und BJJ Embleton , Statistische Analyse sphärischer Daten , Cambridge University Press ,1987( ISBN 0-521-24273-8 , online lesen )

Nachschlagewerke

(en) Willi Freeden und Michael Schreiner , " Nicht-orthogonale Erweiterungen der Sphäre " , Mathematical Methods in the Applied Sciences , vol. 18,1995, p. 83-120