Lokale Körperschaft

In der Mathematik ist ein lokales Feld ein lokal kompaktes topologisches Kommutativfeld für eine nicht diskrete Topologie . Seine Topologie wird dann durch einen absoluten Wert definiert .

Lokale Felder greifen grundlegend in die algebraische Zahlentheorie ein .

Beispiele

• Wenn k ein endliches Feld ist , ist das Feld k (( X )) der formalen Laurent-Reihe mit Koeffizienten in k ein lokales Feld.
• Alles, was mit einem Zahlenfeld (oder allgemeiner einem globalen Feld ) für eine nicht triviale Bewertung ausgefüllt wird, ist ein lokales Feld.

Archimedischer Fall

Wenn der Absolutwert archimedisch ist , ist K entweder zum Feld der reellen Zahlen oder zum Feld der komplexen Zahlen isomorph .

Nicht-archimedischer Fall

Wenn K ein lokales Feld ist, dessen absoluter Wert nicht archimedisch ist, ist der Ring O K von ganzen Zahlen in K die geschlossene ( kompakte ) Einheitskugel . Es ist ein diskreter Bewertungsring . Das Restfeld von K ist der Quotient seines Ringes von ganzen Zahlen durch das maximale Ideal dieses Rings (die offene Einheitskugel). Die Restcharakteristik von K ist die Charakteristik seines Restkörpers. Das Restfeld ist kompakt und diskret, daher endlich, so dass die Restcharakteristik eine Primzahl ist . Je nachdem, ob die Charakteristik von K gleich der Restcharakteristik ist oder nicht, treten zwei Fälle auf :

• Im Fall einer ungleichen Charakteristik ist das Feld K notwendigerweise eine Nullcharakteristik und es ist isomorph zu einer endlichen Erweiterung des Feldes von p- adischen Zahlen , wobei p die Restcharakteristik von K bezeichnet  ; Ein solches Feld wird als Feld von p-adischen Zahlen bezeichnet .
• Bei gleicher Charakteristik ist das Feld K isomorph zum Feld der formalen Laurent-Reihe mit Koeffizienten im Restfeld.

Die nicht-archimedischen lokalen Körper sind daher die vollständigen Körper für eine bestimmte diskrete Bewertung und deren Restfeld ist endlich. Einige Autoren betrachten eine allgemeinere Vorstellung und fordern, dass der Restkörper nur perfekt ist .

Diese Körper unterliegen der Theorie des lokalen Klassenkörpers .

Nicht kommutative lokale Felder

Es ist möglich, die obige äquivalente Definition eines nicht-archimedischen lokalen Feldes zu erweitern, indem nicht kommutative Felder zugelassen werden . Die Begriffe Ring der ganzen Zahlen, Restfeld und Restcharakteristik können leicht auf diesen Rahmen erweitert werden. Das Zentrum eines nicht kommutativen lokalen Feldes ist ein lokales Feld.

Ein nicht kommutatives lokales Feld ist genau dann lokal kompakt, wenn sein Zentrum liegt und genau dann, wenn es ein endliches Restfeld hat. In diesem Fall hat es in seiner Mitte eine endliche Dimension.

Umgekehrt werden nicht diskrete lokal kompakte nicht kommutative Felder wie folgt klassifiziert (siehe Artikel über die Brauer-Gruppe ):

• Wenn ihr absoluter Wert archimedisch ist, sind sie isomorph zum Feld der Hamilton- Quaternionen .
• Andernfalls handelt es sich um zyklische Algebren in ihrer Mitte, die durch ein Element von ℚ / ℤ parametrisiert werden.

Referenz

Jean-Pierre Serre , Lokales Korps [ Detail der Ausgaben ]

Siehe auch

• Höherer lokaler Körper  (en)
• Endliche Erweiterungen lokaler Felder  (in)
• Ostrowskis Satz