Die Automatik ist eine Wissenschaft, die sich mit der Modellierung , Analyse, Identifizierung und Steuerung dynamischer Systeme befasst . Es umfasst Kybernetik im etymologischen Sinne des Wortes und basiert theoretisch auf Mathematik , Signaltheorie und theoretischer Informatik . Durch die automatische Steuerung kann ein System unter Einhaltung der Spezifikationen (Geschwindigkeit, Präzision, Stabilität usw.) gesteuert werden .
Automatisierungsprofis werden als Automatisierungsspezialisten bezeichnet . Die Objekte, die das automatische System für die Automatisierung eines Systems (SPS, Regler usw. ) entwerfen kann, werden als Automatismen oder Steuer- und Befehlseinheiten eines pilotierten Systems bezeichnet.
Ein einfaches Beispiel für ein automatisches System ist das der Geschwindigkeitsregelung eines Automobils: Es ermöglicht es, das Fahrzeug unabhängig von Störungen (Neigung der Straße, Windwiderstand usw. ) auf einer vom Fahrer vorgegebenen konstanten Geschwindigkeit zu halten . James Clerk Maxwell definierte in seinem Artikel „Über Gouverneure“ (1868) das von ihm erfundene Regulierungssystem wie folgt: „ Ein Gouverneur ist ein Teil einer Maschine, mit dessen Hilfe die Geschwindigkeit der Maschine trotz nahezu gleichbleibend gehalten wird Schwankungen der Antriebsleistung oder des Widerstands “ . Diese Definition ist eine hervorragende Einführung in die Automatik.
Wir können die Anfänge der Automatik bis in die Antike zurückverfolgen. Zum Beispiel regulierten die Römer den Wasserstand in Aquädukten mithilfe eines Ventilsystems. Das XVI th Jahrhundert Cornelis Drebbel entworfen Temperatur des Ofens durch einen Servo thermische Wirkungen und mechanische kombiniert; Der Alchemist Drebbel hoffte, dank dieses Ofens ("der Athanor") Blei in Gold verwandeln zu können. Dann wird in dem XVII ten Jahrhundert, Robert Hooke und Christian Huygens konzipierten Drehzahlregler (für Windmühlen in Bezug auf Huygens). 1769 entwarf James Watt seinen berühmten Kugelregler zur Regelung der Geschwindigkeit von Dampfmaschinen. Unter anderen Pionieren der Automatisierung sollten wir den Astronomen Airy (um 1840), James Clerk Maxwell (sein bereits erwähnter Artikel über Gouverneure ist der erste mathematische Artikel über die Theorie der Kontrolle), Ivan Alexeïevich Vishnegradsky (1876) erwähnen ; und, natürlich, Mathematiker Adolf Hurwitz und Edward Routh (Autoren des Stabilitätskriteriums , das ihren Namen trägt , stammte aus dem Ende des XIX - ten Jahrhundert) und das Französisch Lienard und Chipart, die im Jahr 1914 das Kriterium der Routh -Hurwitz verbessert. Wir können auch Alexander Liapunov zitieren , der 1892 seine grundlegende These zur Stabilität von Differentialgleichungen vorstellte, sowie alle Mathematiker, die zur Stabilitätstheorie beigetragen haben (siehe die Geschichte der Stabilitätstheorie ). Diese neuesten Arbeiten, die in die jüngste Zeit führen, sind jedoch im Wesentlichen mathematischer Natur.
Die Geschichte der automatischen Steuerung selbst beginnt mit den berühmten Forschern der Bell Laboratories (gegründet 1925): Harold Stephen Black und Nathaniel Nichols (in) , die ihr berühmtes Diagramm entworfen haben , Harry Nyquist, der zweifellos als erster das Stabilitätsproblem verstanden hat gestellt von geloopten Systemen, nicht zuletzt Hendrik Wade Bode . Letzterer ist bekannt für sein Diagramm , aber sein Meisterwerk ist sein Buch Network Analysis and Feedback Amplifier Designer , das kurz nach dem Zweiten Weltkrieg veröffentlicht (und seitdem neu veröffentlicht) wurde und die Reife der Frequenzautomatisierung kennzeichnet.
Wir müssen auch die Pioniere der zeitdiskreten automatischen Steuerung erwähnen: den Amerikaner Claude Shannon , ebenfalls Forscher in den Bell-Labors , den Russen Yakov Zalmanovitch Tsypkin, die amerikanische Eliahu-Jury (in) schließlich Autor des Kriteriums, das dem von Routh entspricht -Hurwitz aber für diskrete Zeitsysteme. Eine grundlegende Entdeckung ist das Sampling-Theorem , das von vielen Autoren Nyquist und Shannon zugeschrieben wird, mit dem wir aber auch Edmund Taylor Whittaker und Vladimir Kotelnikov in Verbindung bringen müssen .
In den 1950er Jahren wurden andere automatische Ansätze vorbereitet: in Russland mit Lev Pontriagin und seinen Mitarbeitern, in den USA mit Richard Bellman . Pontriaguine entwickelt das Prinzip des Maximums für eine optimale Kontrolle . Es geht um eine Erweiterung der Berechnung der Variationen mit „starken Variationen“, die es ermöglichen, eine Bedingung des Maximums anstelle der Gleichheit von Euler zu erhalten. Bellman erfindet die dynamische Programmierung , aus der er die Hamilton-Jacobi-Bellman-Gleichung (en) ableitet , die Verallgemeinerung der Hamilton-Jacobi-Gleichung der Variationsrechnung.
Die obigen Entdeckungen spielen natürlich eine wesentliche Rolle in der Theorie der optimalen Kontrolle, führten aber auch zum Begriff der staatlichen Repräsentation . Es war Rudolf Kalman, der 1960 die (fast) vollständige Theorie dieser Systeme im linearen Fall aufstellte. Insbesondere hob er die Grundbegriffe der Kontrollierbarkeit und Beobachtbarkeit hervor . Im selben Jahr (sein annus mirabilis ) stellte er die Theorie der optimalen linearen quadratischen Steuerung (unter Anwendung der Ergebnisse von Pontriaguine und Bellman) und seine „duale Version“ auf, den Kalman-Filter, der den Wiener-Filter verallgemeinert . Dann entwickeln einige Mathematiker, darunter Harold J. Kushner (en) , das optimale stochastische Kommando.
Dann beginnt eine neue Ära der automatischen Steuerung mit algebraischer Arbeit (für lineare Systeme) oder mit Bezug auf die Differentialgeometrie (bei nichtlinearen Systemen). In Bezug auf lineare Systeme markiert ein berühmtes Buch von WM Wonham (de) , dessen erste Ausgabe aus dem Jahr 1974 stammt (das jedoch mehrfach neu veröffentlicht wurde), den Höhepunkt dieser Periode. Für nichtlineare Systeme hatte ein Buch von Alberto Isidori (in) , dessen erstes 1985 veröffentlicht und mehrmals nachgedruckt und angehoben wurde, einen erheblichen Einfluss.
Obwohl der Begriff der Robustheit in traditionellen Frequenzansätzen wie der von Isaac Horowitz bereits 1963 entwickelten „ quantitativen Rückkopplungstheorie “ berücksichtigt wurde , war das Problem der robusten Steuerung gegen Ende der 1970er Jahre vollständig in einem rein algebraischen Ansatz versteckt, schien wesentlich zu sein. Die optimale " lineare quadratische " Steuerung hat zumindest bei monovariablen Systemen intrinsische Robustheitseigenschaften (Phasenabstand von mindestens 60 ° usw.), wie aus einem Artikel hervorgeht, der bereits 1964 von Kalman veröffentlicht wurde. Die Frage hat Daher stellte sich heraus, ob diese Eigenschaft in Anwesenheit eines Beobachters erhalten bleibt. 1978 zeigte John Doyle (en) , einer der Pioniere der Robustheitstheorie, dass eine Gaußsche lineare quadratische Kontrolle (LQG) (deren Beobachter ein Kalman-Filter ist ) keine Robustheitseigenschaft haben kann. Der Formalismus H-infinity , gegründet von dem Mathematiker Godfrey Harold Hardy Anfang des XX - ten Jahrhundert, aber im Jahr 1981 von eingeführt George Zames (in) im Bereich der automatischen, erwies sich als hilfreich Kontrollprobleme robust zu formalisieren. Es wurde schnell mit konvexen Optimierungstechniken in Verbindung gebracht, die auf „linearen Matrixungleichungen“ (LMI) basierten und zu (manchmal übermäßig) komplexen Synthesemethoden führen konnten.
Schließlich hat sich seit Anfang der neunziger Jahre ein neuer Ansatz zur linearen Automatisierung entwickelt, der auf der Modultheorie (genauer gesagt D-Module ) und der algebraischen Analyse (Zweig der Mathematik basierend auf den Ideen von Alexandre Grothendieck , der damals von Mikio Satō entwickelt wurde) basiert , Masaki Kashiwara und in Bezug auf Differentialgleichungssysteme Bernard Malgrange ). Wir können hier den "Verhaltens" -Ansatz von Jan C. Willems (en) sowie die Arbeit von Michel Fliess (der auch nichtlineare Systemmethoden aus der Differentialalgebra anwendete und mit drei anderen Automatisierungsingenieuren den Ursprung hat) hervorheben das Konzept des „flachen Systems“), Ulrich Oberst, sowie ihre verschiedenen Mitarbeiter und Emulatoren.
Wir wollen die Temperatur eines Ofens regeln. Die erste Aufgabe besteht darin, das System "Ofen" zu definieren . Dies hat einen Eingang (den Strom, der dem Heizwiderstand zugeführt wird) und einen Ausgang (die Temperatur im Inneren des Ofens). Das System wird in Form von Gleichungen modelliert , die es ermöglichen, die Beziehungen zwischen den Eingaben und den Ausgaben des Systems in Form einer Differentialgleichung oder einer Übertragungsfunktion auszudrücken . Wir bestimmen auch die Stabilitätsbedingungen des Systems (wir möchten nicht, dass der Ofen die Temperatur erhöht, ohne anzuhalten).
Die für die Regulierung dieses Systems zuständigen Personen müssen eine Reihe von Spezifikationen beachten:
Nachdem wir die Lösung ermittelt haben, die den Anforderungen am besten entspricht, werden wir ein neues System synthetisieren, den „Regler“. Dies hat als Eingang den Sollwert (dh die gewünschte Temperatur im Ofen) sowie die tatsächliche Temperatur des von einem Sensor gelieferten Ofens und als Ausgang die Ofensteuerung; Dieser Ausgang ist somit mit dem Eingang des Ofensystems verbunden.
Das Ganze bildet ein sogenanntes "kontrolliertes System".
Der Regler kann dann in analoger ( elektronische Schaltung ) oder digitaler ( Mikrocontroller ) Form hergestellt werden. Es gibt auch im Handel erhältliche Regler, die diese Funktionen ermöglichen, wobei der Automatisierungstechniker die Regelungsmethode auswählen oder beispielsweise die Koeffizienten im Rahmen eines Proportional-Integral-Derivative-Reglers eingeben kann.
Ein System ist ein Modell eines laufenden Prozesses. Es hat einen oder mehrere Eingänge und einen oder mehrere Ausgänge. Die Eingaben in das System werden als exogene Variablen bezeichnet. Sie bringen die Störungen und die Stellgrößen, Befehle oder Steuervariablen zusammen. Sie werden häufig allgemein durch den Buchstaben u oder e dargestellt . Sie sind durch einen Aktuator mit dem Prozess als solchem verbunden.
Die Ausgänge des Systems werden als Regelgrößen, Messungen oder Regelgrößen bezeichnet. Sie werden häufig allgemein durch den Buchstaben y dargestellt . Der Prozess ist über einen Sensor mit dem Ausgang des Systems verbunden.
Im Fall eines abgetasteten Systems sind die Ein- und Ausgänge zeitdiskret, aber das System selbst bleibt zeitkontinuierlich. Das System umfasst daher einen Digital-Analog-Eingangswandler, einen Analog-Digital-Ausgangswandler und einen Takt zum Einstellen der Abtastfrequenz.
Es gibt endlose Beispiele für Systeme: mechanische Systeme, elektrische Systeme oder chemische Prozesse. Die Darstellung des Systems kann dann nur mit guten Kenntnissen auf dem entsprechenden physikalischen Gebiet erfolgen.
Systeme können in mehrere Kategorien eingeteilt werden.
Zeitkontinuierliche, zeitdiskrete SystemeEs gibt vier Möglichkeiten:
Diese beiden letzten Begriffe werden jedoch selten verwendet.
Invariantes (oder stationäres) SystemDies sind Systeme, deren Parameter des mathematischen Modells sich nicht über die Zeit ändern.
Lineare oder nichtlineare SystemeWir sagen, dass ein System linear ist, wenn es von einem System linearer Differentialgleichungen bestimmt wird.
In der Praxis ist kein System linear, wenn auch nur durch die Sättigungen (z. B. physikalische Stopps), die es umfasst, oder durch die Phänomene der Hysterese . Ein nichtlineares System kann jedoch innerhalb eines bestimmten Verwendungsbereichs als linear betrachtet werden. Denken Sie immer daran, dass das System, an dem Sie arbeiten können, nur ein mathematisches Modell der Realität ist und daher beim Wechsel zum Modell ein Informationsverlust auftritt. Natürlich ist es Sache des Ingenieurs, die Relevanz seines Modells im Hinblick auf die gesetzten Ziele zu beurteilen.
Ein System kann eine lineare Darstellung und eine andere nichtlineare Darstellung zulassen. Beispielsweise könnte ein System unter Verwendung kartesischer Koordinaten linear sein und wird in Polarkoordinaten nichtlinear.
Automatisierungsingenieure werden verwendet, um ein gesteuertes System mithilfe von Funktionsdiagrammen grafisch darzustellen .
Differentialgleichung und ÜbertragungsfunktionEin physikalisches System wird im Allgemeinen mit Differentialgleichungen beschrieben (zum Beispiel das Grundprinzip der Dynamik , charakteristisch für einen Kondensator oder eine Spule …). Die Laplace-Transformation ermöglicht es dann, von der zeitlichen Differentialgleichung zu einer Übertragungsfunktion überzugehen, wobei die Umkehrung nur unter bestimmten Annahmen genau ist, da das Erhalten einer Übertragungsfunktion voraussetzt, dass wir unter Anfangsbedingungen Null arbeiten.
Für ein diskretes Zeitsystem unter Verwendung der Transformation z .
Diese Transformationen ermöglichen es, das Eingabe-Ausgabe-Verhalten des Systems zu untersuchen, können jedoch aufgrund des Deadlocks bei den Anfangsbedingungen verborgene Modi aufdecken.
Zeitliche DarstellungWir können uns für das Verhalten des Systems interessieren, wenn es bestimmten Signalen wie einem Dirac-Impuls oder einem Schritt ausgesetzt ist . Daraus kann eine bestimmte Anzahl von Merkmalen des Systems abgeleitet werden.
FrequenzdarstellungDas Bode-Diagramm zeigt in separaten Diagrammen die Verstärkung und die Phase als Funktion der Frequenz.
Das Nyquist-Diagramm repräsentiert den Imaginärteil der Übertragungsfunktion gegenüber dem Realteil.
Das schwarze Diagramm zeigt die Verstärkung als Funktion der Phase.
StaatsvertretungDie Zustandsdarstellung ist eine Darstellung des Systems unter Verwendung des Matrixformalismus. Wir interessieren uns für interne Variablen in den Systemen, sogenannte Zustandsvariablen. Wir repräsentieren dann die Ableitung der Zustandsvariablen als Funktion von sich selbst und der Eingabe und die Ausgabe als Funktion der Zustandsvariablen und der Eingabe (sowie möglicherweise bestimmte Ableitungen der Eingabe). Die Zustandsdarstellung kann aus der Übertragungsfunktion abgeleitet werden.
Aus dieser Darstellung können wir das Eingabe-Ausgabe-Verhalten des Systems ableiten, aber auch eine bestimmte Anzahl anderer Informationen wie Steuerbarkeit oder Beobachtbarkeit . Diese Begriffe sind jedoch nicht spezifisch für die Zustandsrepräsentation, da sie intrinsische Merkmale eines Systems sind.
Die Zustandsdarstellung kann auch ein nichtlineares oder instationäres System darstellen.
Bei linearen Systemen, die durch eine rationale Übertragungsfunktion dargestellt werden , kann durch die Analyse der Pole auf die Eingangs-Ausgangs- Stabilität ( EBSB-Stabilität ) des Systems geschlossen werden. Denken Sie daran, dass die Pole eines rationalen Bruchs die komplexen Zahlen sind , ... die den Nenner aufheben. Angenommen, diese Übertragungsfunktion ist korrekt .
Die oben diskutierten Pole der Übertragungsfunktion werden "Übertragungspole" genannt. Wenn wir für das System eine vollständigere Darstellung als seine Übertragungsfunktion nehmen, können wir die Pole des Systems definieren. Beispielsweise sind die Pole eines invarianten linearen Zustandssystems die Eigenwerte der Zustandsmatrix. Das System ist genau dann asymptotisch (oder exponentiell) stabil, wenn seine Pole bei kontinuierlicher Zeit zur linken Halbebene und bei diskreter Zeit innerhalb des Einheitskreises liegen. Dies bleibt gültig , wenn wir eine intrinsische Darstellung des Systems (berücksichtigen finite Präsentationsmodule Module auf einem nicht -Kommutativer Ring) bei linearen Systemen mit zeitlich variierenden Koeffizienten.
Im automatischen Modus muss der Begriff „Stabilität“ genau definiert werden, sobald wir uns dem Fall nichtlinearer Systeme nähern, da es etwa zehn verschiedene Arten von Stabilitäten gibt. Wir beziehen uns am häufigsten auf asymptotische Stabilität oder exponentielle Stabilität (en) , wobei diese beiden Begriffe im Fall von invarianten linearen Systemen synonym sind. Die Stabilität Lyapunov ist auch ein sehr wichtiges Konzept.
Bei nichtlinearen Systemen wird die Stabilität normalerweise mit der Lyapunov-Theorie untersucht .
Der Befehl kann im offenen Regelkreis von einem Computer oder einer industriellen speicherprogrammierbaren Steuerung berechnet werden , ohne die in Echtzeit gesammelten Informationen zu berücksichtigen. Es ist zum Beispiel so, als würde man ein Auto mit geschlossenen Augen fahren. Dennoch ist es diese Art von Befehl, die wir uns bei der Flugbahnplanung vorstellen. Wir sprechen in einem solchen Fall nicht von einem "kontrollierten System".
Die am weitesten verbreitete Automatisierungstechnik ist die Regelung. Ein System wird als geschlossener Regelkreis bezeichnet, wenn die Ausgabe des Prozesses zur Berechnung der Eingabe berücksichtigt wird. Im Allgemeinen führt die Steuerung eine Aktion entsprechend dem Fehler zwischen der Messung und dem gewünschten Sollwert aus. Das klassische Diagramm eines linearen Systems mit einem Linearregler mit geschlossenem Regelkreis lautet wie folgt:
Die offene Schleife des Systems besteht aus zwei Teilsystemen: dem Prozess und dem Regler (oder „Korrektor“). Die Übertragungsfunktion dieses Open-Loop-Systems ist daher:
.Mit dieser Architektur können wir eine neue Übertragungsfunktion des Systems, nämlich die Übertragungsfunktion mit geschlossenem Regelkreis, unter Verwendung der Beziehungen zwischen den verschiedenen Variablen neu berechnen:
.
Wir erhalten dann : .
Die Funktion repräsentiert die Übertragungsfunktion mit geschlossenem Regelkreis. Man kann feststellen, dass für Systeme mit Einheitenrückgabe : Es ist die Formel von Schwarz, die es ermöglicht, von einer Übertragungsfunktion im offenen Regelkreis (mit Einheitenrückgabe) zu einer Übertragungsfunktion im geschlossenen Regelkreis überzugehen.
Anmerkungen:
Die Untersuchung dieser Übertragungsfunktion mit geschlossenem Regelkreis ist eines der Elemente, die die Frequenz- und Zeitanalyse des Schleifensystems ermöglichen. Es ist auch notwendig, die Empfindlichkeitsfunktion und (insbesondere bei Stabilitätsfragen) die beiden anderen Übertragungsfunktionen und zu untersuchen .
Das Schleifensystem ist stabil, wenn keine der obigen vier Übertragungsfunktionen Pole in der geschlossenen rechten Halbebene aufweist (d. H. Eine imaginäre Achse eingeschlossen). Die Stabilität des Schleifensystems kann dank des Nyquist-Kriteriums anhand der Übertragungsfunktion der offenen Schleife sowie der Pole von und von untersucht werden .
Nehmen wir das Beispiel des Automotors.
Die Steuerung erfolgt durch Auswahl der Öffnung der im Motoreinspritzsystem integrierten Drosselklappe. Die Öffnung ist direkt mit der auf den Kolben ausgeübten Kraft und damit mit der Beschleunigung des Fahrzeugs verbunden. Nehmen wir an, sie sind proportional (wir vernachlässigen die Verluste und den Luftwiderstand des Fahrzeugs).
Wir wollen eine bestimmte Geschwindigkeit beibehalten, zum Beispiel 90 km / h . In diesem Fall ist 90 km / h der Sollwert, er muss mit der tatsächlichen Geschwindigkeit eines Drehzahlmessers verglichen werden. Die Differenz gibt die zu erreichende Geschwindigkeitsänderung an. Daraus wird die vom Fahrzeug anzufordernde Beschleunigung abgeleitet. Wenn wir das Verhältnis zwischen der Beschleunigung und der Öffnung der Drosselklappe kennen, berechnen wir die Öffnung, die der Drosselklappe gegeben wird, um sich der eingestellten Geschwindigkeit zu nähern. Der Tacho nimmt dann den neuen Geschwindigkeitswert, um den Vorgang zu wiederholen. Auf diese Weise nimmt die Beschleunigung ab, wenn sie sich der gewünschten Geschwindigkeit nähert, bis sie ohne Unterbrechung aufgehoben wird.
So erhalten wir dieses Diagramm.
In der Realität ist es aufgrund der Verluste notwendig, eine bestimmte Beschleunigung aufrechtzuerhalten, unter anderem um gegen den Luftwiderstand zu kämpfen.
Es gibt verschiedene Techniken zur Synthese von Regulatoren. Die am weitesten verbreitete industrielle Technik ist der PID-Regler, der eine proportionale, integrale und derivative Wirkung als Funktion des Sollwerts / Messfehlers berechnet. Diese Technik ermöglicht es, die Regulierung von mehr als 90% der industriellen Prozesse zu erfüllen. Die interne Modellsteuerung (in) , Verallgemeinerung des PI- oder PID-Reglers mit Smith Predictor (In) bietet viel mehr Möglichkeiten und ist ebenfalls weit verbreitet.
Fortgeschrittene Techniken basieren auf einer Zustandsrückkopplungssteuerung (oder einer von einem Beobachter rekonstruierten Zustandsrückkopplungssteuerung ). Wir können auch den Formalismus der RST-Regulierungsbehörde verwenden . Diese Arten der Steuerung können durch Platzieren von Polen oder (für staatliche Systeme) durch Minimieren eines quadratischen Kriteriums entworfen werden: LQ- oder LQG-Steuerung .
Andere Befehle: