Wythoff-Konstruktion

In der Geometrie ist eine Wythoff-Konstruktion , benannt nach dem Mathematiker Willem Abraham Wythoff , eine Methode zur Konstruktion eines einheitlichen Polyeders oder einer planaren Tessellation . Es wird oft als Wythoffs kaleidoskopische Konstruktion bezeichnet .

Es basiert auf der Idee , eine Kugel mit sphärischen Dreiecken zu befestigen . Wenn drei Spiegel so platziert sind, dass sich ihre Ebenen an einem einzelnen Punkt schneiden, umgeben die Spiegel ein sphärisches Dreieck auf der Oberfläche einer an diesem Punkt zentrierten Kugel, und durch wiederholte Reflexionen erhält man eine Vielzahl von Kopien des Dreiecks. Wenn die Winkel des sphärischen Dreiecks entsprechend gewählt werden, tessellieren die Dreiecke die Kugel ein- oder mehrmals.

Durch Platzieren eines Scheitelpunkts an einem geeigneten Punkt in dem von den Spiegeln umgebenen sphärischen Dreieck können die Bilder dieses Punktes durch wiederholte Reflexionen erzeugt werden, um ein einheitliches Polyeder zu bilden. Für ein sphärisches Dreieck ABC gibt es vier Möglichkeiten, ein einheitliches Polyeder zu erhalten:

  1. Die Oberseite wird am Punkt A platziert . Dies erzeugt ein Polyeder , dessen Wythoff Symbol ist ein | b  c , wobei a gleich π geteilt durch den Winkel des Dreiecks bei A ist und dasselbe für b und c ist  ;
  2. Die Oberseite wird auf den Punkt des Segments AB gelegt, der den Winkel C halbiert . Dies erzeugt ein Polyeder, dessen Wythoff-Symbol ein b | ist c  ; 
  3. Der Scheitelpunkt halbiert die drei Winkel. Dies erzeugt ein Polyeder, dessen Wythoff-Symbol a  b  c | ist ;;
  4. Der Scheitelpunkt befindet sich an einem Punkt, so dass bei einer Drehung um den doppelten Winkel am Scheitelpunkt um einen der drei Scheitelpunkte des Dreiecks sein Abstand von seinem Bild nicht davon abhängt, welchen der drei Scheitelpunkte er wählt. Wir betrachten die Bilder des anfänglichen Scheitelpunkts nur durch eine gerade Anzahl von Reflexionen. Das Polyeder hat das Wythoff-Symbol | a  b  c .

Das allgemeine Verfahren ist auch für reguläre Polytope mit größeren Abmessungen anwendbar , einschließlich vierdimensionaler gleichförmiger Polychoren .

Verweise

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