Autokovarianz

Die Autokovarianzfunktion eines stochastischen Prozesses ermöglicht es, die in diesem Prozess vorhandenen linearen Abhängigkeiten zu charakterisieren. $X = \ {X_t, t \ in \ mathbb {N} \}$

Definition - Wenn der Prozess Werte in hat und eine Varianz für einen zulässt , definieren wir die Autokovarianzfunktion durch die notierte Funktion, die jedem Paar natürlicher Ganzzahlen die durch , notierte und definierte Zahl zuordnet , wobei $X.$ $\ mathbb {R}$ $\ operatorname {V} (X_t)$ $t \ in \ mathbb {N}$ $X.$ $R.$ $(t, s)$ $R (t, s)$ $R (t, s) \ äquiv \ operatorname {Cov} (X_t, X_s) = \ operatorname {E} \ left [(X_ {t} - \ mu_t) (X_s - \ mu_s) \ right]$ $\ mu_t = \ operatorname {E} (X_t)$

Wenn ist ein stationärer Prozess im schwachen Sinne dann und für alle natürlichen ganzen Zahlen . In diesem Fall reicht es dann aus, die Autokovarianzen durch die Funktion zu definieren, die alles verknüpft . Die Autokovarianzfunktion erscheint dann als Kovarianz dieses Prozesses mit einer verzögerten Version von sich. Wir nennen die Bestellung Autokovarianz . $X.$ $\ mu_t = \ mu_s$ $\ operatorname {Cov} (X_t, X_s) = \ operatorname {Cov} (X_ {t + k}, X_ {s + k})$ $t, s, k$ $R (t, s) = R (| ts |, 0)$ $k \ in \ mathbb {Z}$ $\ gamma (k) \ äquiv. R (k, 0) = \ operatorname {Cov} (X_k, X_0)$ $\ gamma (k)$ $k$

Eigentum - Wenn im schwachen Sinne stationär ist, $X.$ $\ gamma (-k) = \ gamma (k)$

Diese Eigenschaft ergibt sich direkt aus der Tatsache, dass . Siehe für diese Eigenschaft Hamilton (1994, S. 46 ).

\ gamma (k) = R (| k |, 0) = R (| -k |, 0) = \ gamma (-k)

Anmerkungen

wir auch die Autokorrelationsfunktion
Siehe zum Beispiel Hamilton (1994) und Maddala und Kim (1998)

Verweise

(en) William H. Greene , Ökonometrie , Paris, Pearson Education,2005, 5 th ed. 943 p. ( ISBN 978-2-7440-7097-6 ) , p. 2

(en) James Douglas Hamilton , Zeitreihenanalyse , Princeton NJ, Princeton University Press ,1994799 p. ( ISBN 978-0-691-04289-3 , LCCN 93004958 ) , p. 799

(en) Gangadharrao Soundaryarao Maddala , Einheit Wurzeln, Cointegration und Strukturwandel , Cambridge, Cambridge University Press ,2003, 5 th ed. , gebundene Ausgabe ( ISBN 978-0-521-58257-5 , LCCN 98017325 ) , p. 505

Siehe auch