Arabische Mathematik

In der Geschichte der Mathematik , der Begriff Mathematik arabische Beiträge des Mathematiker der muslimischen Welt bis in der Mitte des XV - ten  Jahrhunderts .

Die arabische Wissenschaft und in dem Vordergrund, die Mathematik , in der Entwicklung von Kalifat in etablierten Nahen Osten , in Zentralasien , in Nordafrika , Spanien und VIII - ten  Jahrhundert , im Süden von Frankreich. Die Texte sind in Arabisch verfasst , das damals eine der Wissenschafts- und Kultursprachen war, daher die Verwendung der Begriffe „arabische Wissenschaften“ und „arabische Mathematik“, ohne Rücksicht auf die Muttersprache der Gelehrten und unabhängig ihrer ethnischen Herkunft oder Religion.

Die arabische Mathematik wurde durch die Assimilation der griechischen Mathematik sowie der indischen Mathematik gebildet . Sie wurden auch von der chinesischen und babylonischen Mathematik beeinflusst, bevor sie ihre eigene Entwicklung erlebten. Vor allem durch ihre Übersetzungen ins Arabische und ihre Kommentare erfuhr Europa von den Werken indischer Mathematiker. Neuere Forschungen , dass viele Ideen gezeigt hat, dachten wir , in Europa geboren XVI th , XVII th oder XVIII - ten Jahrhundert, waren bereits in der griechischen Mathematik oder wurden von arabischen Mathematiker entwickelt, aber einige n 'hatte keine Follow-up.

Geschichte

Der Islam kennt von der Geburt bis zum VII th  Jahrhundert rasche Fortschritte. In einem Jahrhundert erstreckten sich muslimische Gebiete von Spanien bis Persien. Die Eroberung der Gebiete gegen das Byzantinische Reich führte zur Einnahme von Damaskus , der Invasion des mesopotamischen Tals und der Einnahme von Alexandria im Jahr 641. Durch diese Eroberungen wurde das muslimische Reich auf griechisches und indisches Wissen aufmerksam.

Ein Jahrhundert lang führten interne Kämpfe zur Bildung von drei verschiedenen politischen Einheiten gegen Ende des 8. Jahrhunderts nach dem Fall der Umayyaden : Abbasiden im Osten, Idrissiden in Marokko und Umayyaden in Cordoba . Dieses Schisma erklärt insbesondere die Existenz mehrerer Schreibweisen für die sogenannten arabischen Ziffern: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9: verwendet in Fez und Cordoba und ٠,١,٢, ,٤,٥,٦,٧,٨,٩: verwendet in Bagdad .

In Fez, der kulturellen und spirituellen Hauptstadt Marokkos, befindet sich Quaraouiyine , die heute als älteste noch in Betrieb befindliche Bildungseinrichtung der Welt.

Bagdad , eine Stadt von den Kalifen gegründet Abbasiden als Hauptstadt des Reiches zu dienen, wurde schnell zu einem kulturellem Zentrum mit der Schaffung eines Hauses der Weisheit in der Herrschaft des Kalifen al-Mamun (Anfang des IX - ten  Jahrhundert ). Dort wurde ein umfangreiches Übersetzungsprogramm durchgeführt, zuerst vom Persischen ins Arabische, dann aus dem Sanskrit oder vom Griechischen ins Arabische. Die Araber stellen Kontakte zu den byzantinischen Römern von Konstantinopel her , und die arabischen Kalifen kaufen die griechischen Manuskripte, insbesondere die Elemente des Euklid (die von Al-Hajjaj übersetzt werden ) und die große mathematische Komposition des Ptolemäus, bekannt als Almagest, die zu mehreren führt Übersetzungen, darunter die von Al-Hajjaj und die von Thabit ibn Qurra . Auch zugänglich und ins Arabische übersetzt werden Werke wie die Kegelschnitte des Apollonius , Über die Kugel und den Zylinder des Archimedes , die Arithmetica des Diophantus (übersetzt von Qusta ibn Luqa ), die Abhandlung über die Spiegel des Diokles , die Werke über die Mechanik des Pappus von Alexandria sowie die Abhandlungen des Heron von Alexandria . Arabische Mathematiker übersetzen auch Sanskrit- Texte der indischen Astronomie und Mathematik wie das Surya Siddhanta und das Brahma Sphuta Siddhanta (übersetzt von Muhammad al-Fazari ), das Khandakhayaka von Brahmagupta und das Aryabhatiya von Aryabhata .

Zu den Mitgliedern des Hauses der Weisheit gehört der persische Mathematiker Al-Khwarizmi . Zwei der Verträge haben einen erheblichen Einfluss auf die europäische Mathematik hatte XII th  Jahrhundert . Die erste, von der nur die lateinische Übersetzung erhalten ist, überträgt die dezimale Nummerierung. Die zweite Abhandlung, Kitab fi'l-jabr wa'l-muqabala (Buch über Wiederherstellung und Konfrontation) befasst sich mit Manipulationen an Gleichungen. Algebra, eine neue Disziplin der Mathematik, wird mit der islamischen Zivilisation weiter aufblühen. Wir können auch die Brüder Banu Musa und Thābit ibn Qurra zitieren (Algebra, Nikomachische Übersetzung und Revision der Euklidischen Elemente , Implementierung infinitesimaler Methoden zur Flächenberechnung, Astronomie, Trigonometrie, Zahlentheorie).

Arabische Mathematik florieren vor allem in der X - ten und XI - ten  Jahrhundert, in denen viele Mathematiker die verschiedenen Zweige der Mathematik vertiefen: Abu l-Wafa (Übersetzer, Algebra, Arithmetik, Trigonometrie, Geometrie), Abu Nasr Mansur (Trigonometrie), Abu Kamil (Algebra), al-Battani (Trigonometrie), al-Karaji (Algebra), Ibn al-Hayttam bekannt als Alhazen (Algebra, Geometrie, Optik), Omar Khayyam (Algebra, Geometrie), Sharaf al-Dīn al-Tūsī (Algebra .) )

Der erste Rückgang der arabische Wissenschaft beginnt in XII - ten  Jahrhundert , unter denen gehört als Folge von Konflikten , die muslimische Welt teilen, aber es ist jedoch renommierter Mathematiker über diesen Zeitraum hinaus Nasir al-Din al-Tusi bis XII th  Jahrhundert (Geometrie) und al-Kashi bis XV - ten  Jahrhundert (Arithmetik, Algebra, numerische Analyse). Nach diesem letzten Mathematiker wird die Zahl der Beiträge arabischer Mathematiker zur mittelalterlichen Mathematik vernachlässigbar. Algazels Einfluss auf diesen Niedergang wurde von Neil deGrasse Tyson in seinem Vortrag über das islamische Goldene Zeitalter als entscheidend dargestellt .

Zahl: Schreiben, Rechnen, Natur

Schreiben

In der mittelalterlichen arabischen Welt existierten mehrere Nummernsysteme nebeneinander.

Es gibt tatsächlich ein multipliko-additives dezimales Zahlensystem, bei dem die 9 Einheiten, die 9 Zehner, die 9 Hunderter und der Tausender durch 28 Buchstaben des arabischen Alphabets in einer bestimmten Reihenfolge, dem Jummal, identifiziert werden. Eine Zahl wie 3854 wird dann mit fünf Buchstaben geschrieben, etwa 3 mal 1000 plus 800 plus 50 plus 4. Dieses Zahlensystem scheint syrische Quellen zu haben, es erlaubt theoretisch alle Zahlen zu schreiben, scheint aber nicht für große Zahlen verwendet worden zu sein für die sexagesimale Schrift bevorzugt wird . Dieses Nummerierungssystem ist mit einem mentalen Berechnungssystem verbunden, das als digitale Berechnung bezeichnet wird. In diesem Nummerierungssystem gibt es nur 8 Arten von Brüchen: 1/2, 1/3, ..., 1/9, die anderen werden durch Produkt oder Summe von Brüchen dieser Art ausgedrückt. Die Brüche, deren Nenner einen anderen Primfaktor als 2, 3, 5, 7 hat, werden als taube Brüche bezeichnet, dh unausdrückbare Brüche, die wir versuchen, einen Näherungswert zu liefern.

Wir finden auch, hauptsächlich in astronomischen Schriften, das sexagesimale Zahlensystem der Babylonier, das auf dem syrischen oder persischen Weg in die arabische Welt zu gelangen scheint.

Ein endgültiges System wird nach und nach die beiden vorherigen ersetzen. Es ist das Positionsdezimalsystem indischen Ursprungs, das aus neun Ziffern und einer Null besteht. Eine der ersten arabischen Schriften, in denen sie beschrieben wird, ist das Buch über indisches Kalkül von al-Khwarizmi, von dem nur eine unvollständige lateinische Version übrig ist. Diese Arbeit stellt das Notationssystem, das von Brüchen (indische Brüche a b ⁄ c , Dezimalzahlen und Sexagesimal) sowie die Operationstechniken (Addition, Subtraktion, Duplikation, Division durch zwei, Multiplikation, Division, Quadratwurzel ) vor. Eine spätere Arbeit von al-Uqlidisi beschreibt diese Arithmetik ebenfalls und führt eine vergleichende Untersuchung der drei Arithmetiken (indisch, sexagesimal, digital) durch. Er war es auch, der die Verwendung des Dezimalbruchs perfektionierte, indem er ein Trennzeichen verwendete, um den ganzen Teil vom Dezimalteil zu unterscheiden. Indisches Kalkül verbreitete sich dann in der arabischen Welt mit unterschiedlichen Schreibweisen im Westen und Osten.

Berechnungen

Das digitale Rechnen ist ein mentales Berechnungssystem, wie es im Byzantinischen Reich und im Arabischen Reich gefunden wurde, wahrscheinlich aus der kommerziellen Welt. Es nutzt die Fingergelenke, um Zwischenwerte zu speichern und wird auch als Knotenarithmetik (oder hisāb al-'uqūd) bezeichnet. Die Verfahren sind für Addition und Subtraktion einfach, aber für andere Operationen kompliziert. Es war Gegenstand von Schriften, von denen die älteste in Arabisch die von Abu al Wafa al-Buzjani ist, die jedoch mit der Entwicklung der indischen Kalküle allmählich verschwindet.

Insbesondere bei der Multiplikation, der Addition und dem Ziehen der Quadratwurzel bringt die indische Kalküle eine deutliche Verbesserung. Nach indischer Tradition wurden die Berechnungen auf einer Sandtafel durchgeführt, auf der die Zwischenrechnungen gelöscht wurden. Unter dem Anstoß arabischer Mathematiker wird dieses System nach und nach durch Berechnungen mit Tinte und Papier ersetzt, die es ermöglichen, die Zwischenergebnisse zu erhalten und zu kontrollieren. So ist die Methode der Häuser (oder Vermehrung durch Eifersüchteleien ) bereits im Werk von al-Uqlidisi vorhanden . Die Methoden der numerischen aus dem entwickelten Analyse XI ten  Jahrhundert auch verwendet , um ungefähre Werte genauer für Berechnungen von Wurzeln (quadratisch, finden Würfel , etc.). Der persische Astronom und Mathematiker Al-Kashi markierte, indem er 16 Dezimalstellen von π berechnete , einen Schritt in der Folge von Aufzeichnungen, ausgehend von den 3 Dezimalstellen, die von Archimedes berechnet wurden .

Arithmetische Bücher stellen auch Berechnungstechniken dar, die Zahlen ( polygonale Zahl , pyramidale Zahlen ), die arithmetische Reihe und geometrische , von Summen von Quadraten , Würfeln oder vier Potenzen von Primzahlen darstellen. Es ist ein Teil der Arbeit auf indische oder griechischen Quellen, aber die Behandlung dieser Berechnungen durch Ibn Tahir , der andalusischen al-Umawi  (in) ( XV - ten  Jahrhundert ) und al-Kashi scheint original zu sein und ihrer Arbeit ‚machen lassen es ein kohärentes und verwertbares Ganzes.

Natur

Wenn wir Nummer das Objekt nennen, an dem die Berechnung durchgeführt wird, können wir in diesen Jahrhunderten eine Entwicklung bezüglich des Status der Nummer feststellen.

Wir finden bei al-Khwarizmi wie bei indischen Autoren Handlungsregeln bezüglich der Null, aber nur als Symbol in dezimaler Numerierung.

Die negative Zahl ist auch in den Koeffizienten von Polynomen vorhanden. Dies führt al-Samaw'al dazu, Zeichenregeln zu erläutern, die mit denen in der indischen Mathematik identisch sind, aber das Ergebnis der Berechnung oder die Lösung der Gleichung bleibt im Bereich der positiven Zahlen.

Die wichtigste Änderung ist bei der Behandlung von irrationalen Mengen aus dem X - ten  Jahrhundert Zahl genannt werden ( „  adad  ‚), die rationale Zahl ist‘  al-al-adad muntica  “ und irrational " al - adad al-summa  “. Wir erleben eine Arithmetisierung geometrischer Größen. Es werden Betriebsregeln für quadratische Irrationale ( a ± √ b wobei a und b rationale Zahlen sind und b nicht das Quadrat einer rationalen Zahl ist) und biquadratische (Quadratwurzel von quadratischen Irrationalen) angegeben. Daher gibt Abu Kamil die folgende Operationsregel für die Summe zweier quadratischer Irrationale: Diese Irrationalen greifen bei Abu Kamil ebenso wie die negativen Zahlen als Koeffizienten in Gleichungen ein, ebenso wie ganze Zahlen oder rationale Zahlen. Irrationale Werte von kubischen Wurzeln oder von n- ten Wurzeln werden näherungsweise berechnet und diese Näherungen werden in anderen Berechnungen verwendet, um trigonometrische Tabellen zu konstruieren oder um anzunähern. Die Frage nach der Natur der Zahlen und vor allem über den Status den Quotienten aus zwei inkommensurabel Größen gestellt wird von den Mathematikern der gewährt wird XI - ten  Jahrhundert , al-Khayyam und Ibn Mu'adh die Eingabe der Zahl des Status .

Algebra

Al-jabr al-muqabala

Zwischen 813 und 830 schrieb al-Khwarizmi seine Abhandlung Kitab al-jabr wa al-muqabala ( kurz für Calculus durch Wiederherstellung und Vergleich ), in der er Techniken zum Lösen von Gleichungen ersten und zweiten Grades vorstellte. Er beginnt damit, die Gegenstände seines Studiums zu definieren: Zahlen, das Unbekannte ( al-shay , das Ding), sein Quadrat ( al-māl , der Schatz oder das Gute), das Unbekannte wird auch als Wurzel des Guten ( jidhr .) bezeichnet ). Dann stellt er die sechs kanonischen Situationen vor, auf die wir zurückkommen können. Al-Khwarizmis Präsentation ist rein rhetorisch und erfordert keine symbolische Schrift, aber ihre sechs Situationen können in moderner Sprache in diesen 6 Gleichungen zusammengefasst werden: mit a, b, c positive ganze Zahlen oder rationale Zahlen.

Für jede von ihnen stellt er eine Auflösungsmethode vor, deren Gültigkeit er durch geometrisches Denken anhand von Flächen aus Rechtecken, Quadraten und Gnomen demonstriert . Lösungen werden nur in positiven Zahlen gesucht. Es untersucht die Existenzbedingung von Lösungen für die Gleichung vom Typ 5 (4ac kleiner als b²) und präsentiert die beiden Lösungen dieser Gleichung, wenn sie existieren.

Es zeigt auch, wie man auf diese sechs kanonischen Situationen zurückkommt, indem man die Technik der Wiederherstellung (Hinzufügen der gleichen Menge zu den beiden Gliedern der Gleichheit, um eine Lücke zu füllen ) und des Vergleichs (Entfernen der gleichen Menge, die in den beiden Gliedern der Gleichung vorhanden ist) verwendet. . Es definiert auch einige elementare Berechnungsregeln für Ausdrücke, die seinen unbekannten Faktor enthalten, zum Beispiel die Entwicklung von (a + bx) (c + dx). Dann folgen viele praktische Probleme des Handels, der Vermessung oder der Erbschaft.

Das Thema ist nicht neu. Es gibt Problemlösungsverfahren ersten und zweiten Grades in der babylonischen und indischen Mathematik . Die Begriffe al-jabr und al-muqabala wurden bereits verwendet, um Berechnungstechniken zu bezeichnen. Wir können sogar zwei Zeitgenossen von Al-Khwârizmî zitieren, die parallel zum gleichen Thema schrieben ( Ibn Turk und Abu Bakr). Die griechische Mathematik hatte bereits quadratische Probleme durch geometrische Manipulationen gelöst. Schließlich untersucht Diophantus , dessen Arithmetik Al-Khwârizmî nicht bekannt war , viele Probleme, die mehrere Unbekannte und ihr Quadrat oder ihren Würfel umfassen, und erstellt eine synkopierte Schrift, die Rhetorik und einen Embryo symbolischer Schrift vermischt. Das Verdienst von al-Khwarizmi besteht darin, das Ganze in einem kohärenten und erschöpfenden Ganzen darzustellen, das Technik und Demonstration kombiniert. Die Darstellung einer Gleichungstheorie mit Namen, Objekten, Werkzeugen, Beweisen und Anwendungen macht sie zu einer eigenen Disziplin. Der Geburtsort der Algebra ist ein umstrittenes Thema, aber die Arbeit von al-Khwarizmi trägt dazu bei, sie zu einer eigenen verwertbaren Disziplin zu machen, die ihrer Entwicklung förderlich ist.

Die Arbeit von al-Khwarizmi wird von seinen Nachfolgern entwickelt: Thābit ibn Qurra arbeitet an der geometrischen Übersetzung der Gleichungen, Abu Kamil erhöht den Grad und nimmt seine Koeffizienten in die irrationalen Zahlen. Wenn in 870 Qusta ibn Luqa übersetzt die Arithmetik von Diophantus war es das Vokabular aufgebaut al-Khwarizmi , dass er verwendet.

Gleichung des dritten Grades

Das neue Werkzeug dient der Lösung klassischer Probleme der Antike wie der Verdoppelung des Würfels , der Dreiteilung des Winkels , der Konstruktion des regelmäßigen Siebenecks und dem Schneiden der Kugel nach einem bestimmten Verhältnis. Diese Probleme laufen auf eine Gleichung dritten Grades hinaus. Arabische Mathematiker suchen nach allgemeinen Lösungsmethoden mit Radikalen, aber das ist ein Fehlschlag.

Es wird auch ein anderer Weg erforscht, der fruchtbarer ist: die Lösung der Gleichungen in einer ungefähren Weise, wie der Schnitt zweier Kegelschnitte. Die Methode wurde bereits von Apollonius in seinen Kegelschnitten für bestimmte Gleichungen verwendet . Dieser Weg wird von vielen arabischen Mathematikern studiert, darunter al-Khazin , al-Quhi , Abu al-Jud Ibn al-Laith, al-Shanni, al-Biruni usw. Der entscheidende Beitrag ist der von al-Khayyam , der sie systematisch studiert, die Gleichungen nach dem Vorzeichen ihrer Koeffizienten klassifiziert, eine positive Lösung, falls vorhanden, als Schnittpunkt zweier Kegelschnitte aufzeigt und nach einem Näherungswert sucht dazu - dies. Seine Arbeit wird von Sharaf al-Dīn al-Tūsī vertieft , der zeigt, dass die Lösungen als Schnittpunkt zweier Kegelschnitte aus Parabel, gleichseitige Hyperbel und Kreis erhalten werden können. Al-Tusi löst sich von den Beschränkungen der Homogenität, interessiert sich auch für die Anzahl positiver Lösungen, reduziert die Gleichung auf die Form f ( x ) = c und diskutiert die Anzahl der Lösungen entsprechend dem Wert des Maximums der Funktion . Zur Bestimmung des Maximums verwendet er die formale Ableitung des Polynoms f, ohne jedoch zu erklären, was ihn zur Erfindung dieser Ableitung bewogen hat. Es verwendet auch diese formale Ableitung und Änderungen affiner Variablen bei der Berechnung eines Näherungswerts der Lösung.

"Algebra" von Polynomen

Eineinhalb Jahrhunderte nach al-Khwarizmi verpflichtete sich al-Karaji , die Techniken der Berechnung des Dezimalsystems auf Polynome anzuwenden, genauer gesagt auf Ausdrücke, die heute in der Form geschrieben werden: analog zum Schreiben von Dezimalzahlen: Laut seinem Nachfolger al-Samaw'al hätte er die Binomialformel bis zur Potenz 12 demonstriert und darauf hingewiesen, dass die Formel mit der Konstitutionsregel der Koeffizienten, die heute den Namen Formel von trägt, unbegrenzt erweitert werden könnte das Dreieck von Pascal . Dies ist eines der ersten Demonstrationsbeispiele mit einer Art Induktion vom endlichen Typ.

Seine Arbeit wird fortgesetzt und vertieft von al-Samaw'al , der die Berechnungsregeln für Monome, die Regeln der Teilbarkeit eines Polynoms durch ein anderes angibt und Techniken zur Approximation eines Quotienten aus zwei Polynomen oder einer Quadratwurzel eines Polynoms unter Verwendung von negative Exponenten. Außerdem werden die Polynome in der synthetischen Form einer Tabelle dargestellt, die die Koeffizienten der Monome nach ihren abnehmenden Potenzen geordnet enthält. Es reflektiert auch gebrochene Exponenten und stellt Berechnungsregeln vor.

In Arabisch definierten den Westen, verlieren Manuskripte nicht gerade die Aufnahme von jedem , aber wir wissen , dass dieser Zweig der Algebra wurde im andalusischen Universitäten noch die gelehrt XIV - ten  Jahrhundert . Es ist auch in dem arabischen Westen, die Maghreb insbesondere Spuren des gefundenen XIV - ten  Jahrhundert (bei Ibn Qunfudh , al-Qalasadi und Ibn Ghazi al-Miknasi  (in) ) und sogar aus dem XII - ten  Jahrhundert , eine algebraischen Symbolik berührend ebenso die Berechnung wie die Polynome und die Gleichungen, Symbolik, die in dieser Form zum ersten Mal aufzutreten scheint und eine Originalität der Mathematik dieser Region wäre.

Unbestimmte Analyse

Algebra wird auch für die unbestimmte rationale Analyse verwendet, auch rationale diophantische Analyse genannt. Dies besteht darin, die rationalen Lösungen für ein Problem zu finden, das mehr Unbekannte als Gleichungen enthält, falls sie existieren. Das Studium dieser Art von Problemen findet in der arabischen Mathematik schon sehr früh statt: vor Abu Kamil, der anscheinend der erste ist, der zwischen einem bestimmten Problem und einem unbestimmten Problem unterscheidet, und vor der Übersetzung von Diophants Arithmetik durch Qusta Ibn Luqa. Abu Kamil interessiert sich hauptsächlich für quadratische Probleme und lineare Systeme. Zum Beispiel löst er die Gleichung ax - x² + b = y², indem er die affine Variable mit rationalen Koeffizienten ändert und gibt ihre Existenzbedingungen an. Im Zusammenhang mit Gleichungssystemen verwendet es das Prinzip der Elimination durch Substitution. Die Übersetzung der Abhandlung von Diophantus gibt dieser Art von Forschung, die den Namen al-istriqa trägt, einen starken Impuls . Al-Karaji widmet diesem Thema eine heute verschollene Abhandlung, die in zwei seiner Abhandlungen al-Badi und al-Fakhri zu finden ist . Es greift die Probleme Abu Kamils ​​und der Bücher II, III und IV der Arithmetik auf und vertieft sie , um sie systematisch zu studieren. Sein Werk wird durch seine Nachfolger al-Samaw'al , al-Zanjani, Ibn al-Khawwam und Kamāl al-Dīn al-Fārisī erweitert und die unbestimmte Analyse wird zu einem integrierten Kapitel in jeder Abhandlung über Algebra.

Numerische Analyse

Um Gleichungen numerisch zu lösen, haben arabische Mathematiker Methoden entwickelt, die zum Teil aus der griechischen oder indischen Mathematik stammen, wie das Ziehen der Quadratwurzel oder der Kubikwurzel. Das Prinzip besteht darin, nacheinander die Stellen einer Lösung anhand der folgenden Eigenschaft zu bestimmen: wenn X ein Näherungswert einer Lösung der Gleichung f (x) = N ist und wenn wir x = X + y und g ( y) = f set setzen (X + y) - f (X) dann ist x eine Lösung von f (x) = N genau dann, wenn y eine Lösung von g (y) = N - f (X) ist.

Um also die positive Lösung der Gleichung f (x) = N mit f (x) = x 3 + 6x und N = 5 178 755 zu finden, suchen wir die größte ganze Zahl a mit f (100a) ≤ N, we finde a = 1, was die Hunderterzahl der Lösung angibt. Wir setzen dann g (y) = f (100 + y) - f (100) und N 1 = N - f (100), um die Gleichung g (y) = N 1 zu lösen . Wir suchen die größte ganze Zahl b mit g (10b) ≤ N 1 , wir finden b = 7, was die Zehnerstelle der Lösung ist. Schließlich setzen wir h (z) = g (70 + z) - g (70) und N 2 = N 1 - g (70), um die Gleichung h (z) = N 2 zu lösen . Wir suchen nach der größten ganzen Zahl c mit h (c) ≤ N 2 , wir finden c = 3, was die Einerstelle der Lösung ist. Da h (3) = N 2 , wissen wir, dass 173 die exakte Lösung der Gleichung ist.

Dieses Verfahren wird in dem verwendet X - ten  Jahrhundert von Kushyar Ibn Labban  (in) und Ibn al-Hayttam zum Extrahieren der Quadratwurzel und Kubikwurzel und das XII th  Jahrhundert zur Wurzel n th. Um g (y) zu berechnen, stand den arabischen Mathematikern die Binomialformel zur Verfügung, aber es können auch Techniken ähnlich der Ruffini-Horner-Methode verwendet werden , wie es Sharaf al-Din al-Tusi in der numerischen Auflösung der Gleichung von . tut Grad 3.

Wenn die Wurzel nicht voll ist, wird traditionelle Annäherung gegeben , aber die Entwicklung der Theorie der Dezimalbrüche von Muhammad al-Karadschi und al-Samaw'al der XII th  Jahrhundert zu finden , dann der Dezimalzahl Annäherungen so dünn macht , wie man die irrationale Wurzel will.

Eine andere Methode der Unterkunft mit attraktiven Fixpunkt ist spät in der verwendeten XV - ten  Jahrhundert in al-Kashi und XVIII - ten  Jahrhundert von Mirza al-Isfahani. Setzt man die Gleichung in die Form x = f (x), sind die sukzessiven Näherungen der Lösung die Elemente der Folge definiert durch: x 0 ist eine erste Näherung und x n + 1 = f (x n ).

Der Wunsch, die Genauigkeit trigonometrischer Tabellen zu verbessern, veranlasst arabische Mathematiker, die Interpolationsmethoden zu verfeinern . Die affine Interpolation war den Griechen bereits bekannt und die Übersetzung von Brahmaguptas Khandakhadyaka machte sie mit der quadratischen Interpolation vertraut. Es wird eine Reflexion durchgeführt, um die beste zu verwendende Interpolation zu bestimmen, wobei die gewichteten Mittelwerte und die Variationsgeschwindigkeit der Differenzen ausgenutzt werden und möglicherweise andere Funktionen als die Funktionen ersten und zweiten Grades herangezogen werden.

Kombinatorisch

Es besteht früh genug die Besorgnis, bestimmte Konfigurationen wie den Ausdruck der Sekantenformel durch Thābit ibn Qurra oder in Algebraaufgaben geordnet aufzuzählen . Die Fallzahl erfordert dann keine Aufstellung von Formeln. Counting Probleme entstehen , tatsächlich auf dem Gebiet der Linguistik , die aus dem entstehen VIII - ten  Jahrhundert mit Khalil ibn Ahmad Sie, Fragen wie „Wie viele 5-Buchstaben - Wörter bilden können? Und diese Studien sind nützlich für Lexikographen und Kryptographen.

Im XIII - ten  Jahrhundert Zählung Formeln gearbeitet werden durch Nasir ad-Din Tusi und Ahmad Ibn Mun'im , der in seinem al-Fiqh Hisab (die Wissenschaft der Berechnung), die folgenden Formeln festgelegt: Anzahl der Permutationen von n Elementen :; Anzahl der Wörter mit n Buchstaben, die k- mal wiederholt werden : ; Wortanzahl n Buchstaben, das i- te wird k i- mal wiederholt : . Die Anzahl der Kombinationen wird untersucht, wodurch das Pascalsche Dreieck wieder auftaucht, das nicht mehr mit der Binomialformel, sondern mit dem Zählen verbunden ist. Diese Arbeit setzte am Ende des XIII - ten  Jahrhunderts und zu Beginn des XIV - ten  Jahrhunderts . Kamāl al-Dīn al-Fārisī verwendet das Pascal-Dreieck, um die Zahlen zu berechnen, die die Formel aufstellen: n- te nummerierte Ordnung r  : Ibn al-Banna stellt Gleichheit her: Anzahl der Kombinationen von p Elementen aus n  : Die kombinatorische Analyse wird zu einem Kapitel mathematischer Werke wie bei al-Kashi oder ist verspätet Gegenstand unabhängiger Abhandlungen wie bei Ibrahim al-Halabi.

Zahlentheorie

Es gibt eine lange Tradition des Studiums der Zahlentheorie in der arabischen Mathematik, inspiriert von den Schriften von Euklid , Diophantus und Nikomachus von Gerasius .

Zu perfekten Zahlen gibt Ibn Tahir al-Baghdadi eine alternative Methode zur Erzeugung euklidischer perfekter Zahlen unter Verwendung einer arithmetischen Reihe an. Der Fall ungerader vollkommener Zahlen wird erwähnt und die Suche nach einem Kehrwert wird unternommen. Ibn al-Haytham schlägt daher einen partiellen Kehrwert der Zahlen der Form 2 p (2 q -1) vor. Arabische Mathematiker in Vertrieb interessiert, gehen Sie auf die 7 - te  Zahl perfekt , während nach wie vor die Einführung von Parasiten und Zahlen entkräften die Behauptung von Nikomachos sich vorstellen , dass man in jeder 10 Macht.

Das Studium der freundlichen Zahlen zieht sich durch die Geschichte der arabischen Mathematik und führt zur Entwicklung von Erkenntnissen über die Zerlegung in Primfaktoren und über die Summe der Teiler und die Zahl der Teilerfunktionen. Thabit ibn Qurra beweist seinen Satz: Wenn A (= 3.2 n - 1), B (= 3.2 n – 1 - 1) und C (= 9.2 2n - 1 - 1) prim sind, dann sind 2 n AB und 2 n C freundlich . Neben dem Paar (220, 284) weisen arabische Mathematiker die Paare (17 296, 18 416) und (9 363 584, 9 437 056) auf.

Ibn al-Haythams Arbeit über das chinesische Restproblem führte ihn dazu, den Satz von Wilson über die Charakterisierung von Primzahlen aufzustellen.

In der ganzzahligen unbestimmten Analyse werden die pythagoräischen Tripel studiert und auf höhere Dimensionen verallgemeinert: al-Sijzi zeigt, dass für alle n ein Summenquadrat von n Quadraten existiert. Gleichungen der Form x² ± a = y² werden ebenfalls untersucht. Beim Fermatschen Problem behaupten die arabischen Mathematiker im Fall von n = 3 oder n = 4 die Inexistenz von Lösungen, ohne jedoch einen erfolgreichen Beweis zu erbringen.

Geometrie

Beeinflusst von griechischen ( Elemente des Euklid , Kegel des Apollonius , Sphären von Theodosius und Menelaos ) und indischen Schriften , entwickelte sich die arabische Geometrie in mehrere Richtungen (Übersetzungen und Kommentare, Astronomie und Trigonometrie, Optik, praktische und theoretische Probleme) unter Verwendung neuer Werkzeuge (Algebra , numerische Analysis, infinitesimale Methoden).

Flächen, Volumina, isoperimetrische Probleme

Die den Griechen und Indern bekannten Formeln zu Flächen (Scheibe, Heronsche Formel , regelmäßige Polygone in Kreis, Kegel) und zu Volumina (Kugel, Kegel) werden schon sehr früh aufgedeckt ( al-Khwarizmi , Gebrüder Banu Musa ). Ihre Berechnungen werden dank numerischer Analysetechniken verfeinert. Schon sehr früh (von al-Biruni ) waren Mathematiker von der Irrationalität von π überzeugt . Andere Formeln werden entwickelt wie das Volumen von Kegeln und Pyramidenstümpfen.

Eine der Originalitäten der arabischen Arbeit ist die Entwicklung von infinitesimalen Techniken basierend auf der Erschöpfungsmethode, die von Archimedes in Die Kugel und der Zylinder und Die Messung des Kreises in die Praxis umgesetzt wurde . Diese Bewegung wird von den Banu Musa-Brüdern initiiert, die die allgemeine Reichweite der Methode von Archimedes verstehen und sie für die Oberfläche der Kugel verwenden. Ihr Vertrag auf der Messung von ebenen und sphärischen Figuren , wird zu einem grundlegenden Text sowohl in der arabischen Welt und im lateinischen Westen, nach der Übersetzung des XII th  Jahrhundert von Gerard von Cremona . Ihr Schüler und Nachfolger, Thābit ibn Qurra , fährt in gleicher Weise fort, indem er die Fläche einer Parabel berechnet, indem er in Trapeze ähnlich Riemann-Summen schneidet . Es berechnet auch das Volumen von Paraboloiden und die Fläche der Ellipse. Nach ihm können wir Ibrahim ibn Sinan , al-Quhi , Ibn al-Haytham zitieren . Bei letzterem finden wir alle Elemente der Integralrechnung durch Darboux-Summen (Rahmen, Spiel auf Ausschnitten, Fehler beliebig klein gemacht). Allerdings beschränken arabische Mathematiker diese Techniken auf Bereiche und Volumina, die durch bekannte Bereiche und Volumina ausgedrückt werden können.

Sie interessieren sich auch für Flächenberechnungen von Kreisabschnitten. Thābit ibn Qurra berechnet die Fläche des Teils eines Kreises, der von der Seite eines gleichseitigen Dreiecks begrenzt wird, und die eines regelmäßigen Sechsecks, das in den Kreis eingeschrieben ist. Ibn al-Haytham interessiert sich für Lunulas und zeigt den Zusammenhang zwischen ihren Flächen und der Trigonometrie.

Das Problem der Isoperimeter (welche Figur hat bei konstantem Umfang die größte Fläche?) Bereits von Zénodorus und vielen griechischen Mathematikern untersucht, wird es von arabischen Mathematikern ( al Khazin , Ibn al-Haytham) aufgegriffen . In Bezug auf den Raum und das Problem der Isepiphane (bei konstanter Oberfläche, was ist der Festkörper mit maximalem Volumen?) können sie keine rigorosen Schlüsse ziehen, aber ihre Studien führen zur Entwicklung einer Theorie über den Raumwinkel (Ibn al-Haytham).

Konstruktionen und Kurven

Arabische Mathematiker interessieren sich auch für Konstruktionsprobleme, von denen einige klassische Probleme der griechischen Mathematik sind: Konstruktion eines proportionalen Doppels, Dreiteilung des Winkels, exakte oder angenäherte Konstruktionen regelmäßiger Vielecke, Schneiden eines Quadrats in Kurzform mehrerer Quadrate, Konstruktion mit Maßstab und Zirkel konstanter Abstände, geometrische Konstruktionen für astronomische Instrumente .

Die Auflösung der Gleichungen dritten Grades sowie die Optik treiben sie dazu, sich für die Kegelschnitte zu interessieren, deren Brenneigenschaften sie studieren ( ibn Sahl ) und für die sie sich kontinuierliche Konstruktionsmechanismen vorstellen: perfekter Kompass von al-Quhi , Mechanismen mit Lineal, Seil und Rolle von Ibn Sahl. Unter diesen Abhandlungen kann man die Abhandlung von Thābit ibn Qurra über die Ellipsen und die von al-Sijzi über die Hyperbeln zitieren . Nach Aussage anderer Mathematiker gäbe es heute verlorene Abhandlungen über die als Projektionen von Linkskurven erhaltenen Kurven .

Transformationen und Projektionen

Arabische Mathematiker haben weniger Zurückhaltung als einige griechische Mathematiker wie Euklid , Bewegungen und Transformationen in der Geometrie zu verwenden. Die Homothetie wird sehr früh verwendet ( Ibrahim ibn Sinan , al-Farabi und Abu l-Wafa ). Seine Eigenschaften auf Konfigurationen (Umwandlung von Kreisen in Kreise) werden von Ibn-Sinan und al-Quhi demonstriert . Ihnen folgend untersucht Ibn al-Haytham die direkten Ähnlichkeiten und zeigt, dass sie Linien in Linien und Kreise in Kreise verwandeln. Thābit ibn Qurra und Ibrahim ibn Sinan verwenden Affinitäten zur Übertragung von Eigenschaften des Kreises auf die Ellipse oder der Hyperbel gleichseitiger Hyperbel auf beliebige und zeigen, dass die affine Transformation die Flächenverhältnisse beibehält. Wir treffen sogar in al-Biruni und Ibn Sinan Kreise, die sich dank projektiver Transformationen in Kegelschnitte verwandeln .

Die Astronomie braucht, vor allem für den Bau von Astrolabien oder die Bestimmung der Qibla , arabische Mathematiker dazu, die Projektionen der Kugel auf die Ebene zu studieren ( Orthogonalprojektion , stereographische Projektionen Pol und verschiedene Ebenen, zylindrische Projektionen , Projektionen mit Drawdown). Al-Farghani demonstriert, dass eine stereografische Projektion Kreise, die durch den Pol gehen, in Linien und andere Kreise in Kreise verwandelt. Sein Werk wird von al-Quhi und ibn Sahl erweitert , weist jedoch auf keine Umkehrung hin . Die Konformität (Winkelerhaltung) der stereographischen Projektion ist bekannt und wird von al-Biruni und 'Abd al-Jabbar al-Kharaqi (gest. 1158) verwendet und die stereographische Projektion wird in die Kartographie reinvestiert.

Fragen zur Stiftung

Mit ihren Kommentaren zu Euklids Elementen versuchen auch arabische Mathematiker, die Theorie zu reformieren, indem sie beispielsweise behaupten, dass es notwendig sei, ein Postulat über die Existenz von Punkten, Linien und Ebenen hinzuzufügen. Sie wundern sich auch über die Natur des Postulats V, sagt Postulat der Parallelen  : "Wenn zwei Geraden dieselbe Linie schneiden, indem sie zwei Innenwinkel erzeugen, die kleiner als eine Gerade sind, dann sind diese Linien Sekanten", und versuchen, dies zu demonstrieren oder zu vereinfachen , die ihm gleichwertige Eigenschaften aufweisen ( al-Jawhari , Thābit ibn Qurra , ibn al-Haytham , al-Biruni , Omar al-Khayyam , Nasir al-Din al-Tusi und seine Schule und Muhyi al-Dīn al-Maghribī ).

Al-Jawhari basiert also auf der Idee, dass man durch einen inneren Punkt in einem Winkel eine Linie ziehen kann, die die beiden Seiten davon trifft. Thabit ibn Qurra verwendet die Hypothese, dass sich zwei gerade Linien, die sich in eine Richtung entfernen, notwendigerweise in der anderen nähern und umgekehrt. Er schlägt auch in einer anderen Demonstration eine einfache Bewegung vor: die Stelle, die das Ende A eines Segments [AB] senkrecht zu (d) in B durchquert, wenn der Punkt B (d) durchquert, ist eine Linie parallel zu (d) . Ibn al-Haytham verwendet ein Viereck mit 3 rechten Winkeln ( Lambertsches Viereck ). Al-Khayyam dann al-Tusi studieren das Viereck ABCD, so dass die Seiten AB und CD gleich sind und die Winkel der Scheitelpunkte C und D recht sind ( Saccheri- Viereck ).

Die Arbeit dieser Mathematiker legte den ersten Grundlagen dessen , was das werden würde XIX ten  Jahrhunderts die Theorie der nicht-euklidischen Geometrien , hyperbolischen und elliptischen .

Trigonometrie

Trigonometrie ist eine Disziplin, die für die Zwecke der Astronomie geschaffen wurde. Es geht zumindest auf Hipparchos zurück , der den ersten Saitentisch baute. Das Hauptergebnis, das in der griechischen Astronomie und in den frühen Tagen der arabischen Astronomie verwendet wird, ist der Menelaos-Satz . Die indische Mathematik führte den Sinus und den Sinusversus ein und stellte auch einige Formeln für das sphärische rechtwinklige Dreieck auf. Die arabischen Mathematiker greifen diese Werke auf und bereichern und vervollständigen sie. Sie machen es zu einer eigenen Disziplin, die in spezifischen Verträgen wie der 3 E  des Vertrags von Canon Masud von al-Biruni , dem Vertrag von Ibn Mu'adh al-Jayyānī und dem Vertrag des Vierecks von Nasir al-Din al-Tusi mündet .

Sie führen neue Funktionen ein, den Sekant (R / sin) und den Kosekans (R / Sinus des Komplementärwinkels). Habash al-Hasib fügt den Begriff des Schattens hinzu, der R.tan entspricht, um vom Schatten des Gnomon zu unterscheiden. Er verwendet sie als Hilfsfunktion in seinen numerischen Tabellen und der Registerkarte. Einige trigonometrische Formeln werden auch aufgestellt (Beziehung zwischen den verschiedenen Funktionen, Sinus des Doppelwinkels, Sinus einer Summe…).

Diese Funktionen finden ihren Nutzen in der sphärischen Trigonometrie, wo neue Beziehungen demonstriert werden. Die Sinusregel wird in mehreren Schriften ( al-Khujandi , Abu l-Wafa , Abu Nars ), die Tangens Regel für das sphärische rechtwinklige Dreieck (Abu l-Wafa) und die Cosinus - Regel in dem sphärischen rechtwinkligen Dreieck ( Abu Nars ). Nach und nach werden die Formeln zur Lösung des sphärischen rechtwinkligen Dreiecks aufgestellt und teilweise die zur Lösung jedes Dreiecks mit der Einführung des Polardreiecks ( al Khazin , Abu Nars, Ibn Muʿādh al-Jayyānī, Nasir al-Din al-Tusi).

Die Verwendung der Trigonometrie bei ebenen Problemen bleibt gelegentlich, mit Ausnahme von al-Kashi , der eine Tabelle erstellt, die der Auflösung beliebiger ebenen Dreiecke vorbehalten ist und zu deren Ehren das Kosinusgesetz umbenannt wurde .

Die Suche nach größerer Präzision in den Sinus - Tabellen mit Einschaltungen und besser mit Hilfe der Algebra, Mathematiker und Astronomen arabisches nehmen vor allem aus dem Ende der X - ten  Jahrhundert ( Ibn Yunus , Abu l- Wafa al-Biruni, al-Kashi) .

Geometrische Optik

Die geometrische Optik des Arabischen ist ein direkter Nachkomme der griechischen Perspektive. Die großen Namen in dieser Disziplin sind Qusta ibn Luqa , al-Kindi , Ibn Sahl und Ibn al-Haytham . Zunächst wurden die Optik des Euklid übersetzt, ebenso wie andere griechische Werke zur Optik oder Katoptrie ( Diokles , Anthemius de Tralles ). Qusta ibn Luqa kommentiert Euklid und will die griechischen Aussagen über die geradlinige Lichtausbreitung und die Reflexionsgesetze begründen. Das Studium der Spiegel ( Ebenen , sphärisch , parabolisch oder feurig ) wird vertieft und vervollständigt. Al-Kindi hinterfragt die Legende, dass Archimedes die römische Flotte mit Hilfe von Spiegeln in Brand gesetzt hat und klärt das Prinzip des Parabolspiegels. In Dioptrien definiert Ibn Sahl den Brechungsindex und stellt das Snellius-Gesetz auf . Er untersucht insbesondere die hyperbolische bikonvexe Linse. Ibn al-Haytham, großer Reformator der physiologischen, physikalischen und geometrischen Optik, untersucht eingehend die Probleme der Reflexionen und löst das Problem, das seinen Namen trägt : "Gegeben zwei verschiedene Punkte A und B, finde den Reflexionspunkt auf a konkaver oder konvexer sphärischer Spiegel, der Radius, der von A kommt und bei B ankommt. “, was das Problem auf den Schnittpunkt eines Kreises und einer Hyperbel zurückführt. In Dioptrien untersucht er die Dioptrie und die sphärische Linse, indem er das Phänomen der sphärischen Aberration analysiert . Seine große Abhandlung Optik , ins Lateinische übersetzt in der XII - ten  Jahrhundert war Gegenstand vieler Kommentare zum XVII th  Jahrhundert .

Einflüsse auf die Mathematik im lateinischen Westen

Der Transfer arabisch-muslimischen Wissens erfolgt auf verschiedene Weise: durch direkten Kontakt mit der andalusischen Zivilisation , durch Wissenschaft im mittelalterlichen Hebräisch, durch die Übersetzung arabischer Werke ins Lateinische, dann später durch Exodus byzantinischer Gelehrter nach der Einnahme von Konstantinopel . Die Übertragung ist teilweise, bestimmte Texte sind nicht bekannt, bestimmte Themen wecken das Interesse westlicher Wissenschaftler nicht, andere Werke sind zunächst zu schwer zu übersetzen. Übersetzungen sind oft hybrid und mischen griechische und arabische Quellen.

Der mittelalterliche Westen lernte schon früh die Dezimalschrift und das indische Rechensystem kennen. Der erste Kontakt des lateinischen Westens mit dem Dezimalsystem scheint von bisher X - ten  Jahrhundert zum Zeitpunkt des Gerbert von Aurillac . Die ersten Übersetzungen von indischen Berechnung von al-Khwarizmi ( Dixit algorizmi , Liber Ysagogarum alchorismi ...) stammen aus dem XII - ten  Jahrhundert und sind Hybriden, Texte enthalten Nikomachos und Boethius . Der Name des Autors wird zu einem gebräuchlichen Namen, "Algorismus", der die Berechnungstechnik bezeichnet, während diejenigen, die sie praktizieren, Algoristen genannt werden. Die Berechnungstabelle Staub behandelt worden XIII - ten  Jahrhundert und das Verfahren der Multiplikation mit Fensterläden in mittelalterlichem Europa aufgenommen.

Mehrere mehr oder weniger getreue Übersetzung des Vertrags von al-Khwarizmi al-Jabr w'al Muqäbala erscheinen XII - ten  Jahrhundert ( Johannes von Toledo , Robert von Chester , Gerard von Cremona ). Der Begriff al-jabr wird zum Namen einer Algebra-Disziplin. Aber das Werk, das diese Disziplin wirklich in die lateinische Welt einbringt, ist der Liber abaci de onard de Pisa, sagt Fibonnaci . Dieser Mathematiker führte das Werk des Diophantus in den lateinischen Westen ein, aber seine Anleihen aus arabischen Quellen ( al-Khwarizmi , Abu Kamil , al-Karaji ) sind zahlreich. Er stellt auch die Fibonnacci-Folge und die arabische Numerierung im Westen vor, in die er während seiner Reise in den Osten eingeweiht wurde, insbesondere in der Stadt Béjaïa (Bougie) in Algerien (er lässt sich von den Berechnungsmethoden der Imker und Bauern von die Stadt, um ihre Fortsetzung zu formulieren). Der lateinische Westen scheint jedoch nur das zu assimilieren, was die ersten Schritte arabischer Mathematiker auf dem Gebiet der Algebra ausmacht, und Schriften wie die von Omar Khayyam oder Sharaf al-Dīn al-Tūsī scheinen unerkannt zu bleiben . Aus dem XVI th  Jahrhundert , startet der Westen in einer sauberen Art und Weise mit der deutschen Schule ( Christoph Rudolff ), die italienischen Schule ( Luca Pacioli , Tartaglia , Kardan , Bombelli ) und die Beiträge Symbolist ( Vieta , Descartes ).

In der Geometrie hatte der lateinische Westen nur eine sehr partielle Kenntnis der Elemente von Euklid. Übersetzungen aus dem Arabischen Euklid von Adelard von Bath , von Gerard von Cremona , der auch der Übersetzer der Kommentare zu Al-Nayrizi und der Kommentar von Campanus von Novara zu diesem gleichen Werk ist, sind der Ausgangspunkt für eine Erneuerung der Geometrie im Westen. Ebenso verhält es sich mit den Werken des Archimedes . Aber diese griechischen Texte erreichen den Westen bereichert durch die arabischen Beiträge von Mathematikern, die von Gérard de Cremona ( Bruder Banu Musa , Thabit ibn Qurra , ibn al Hayttham ) übersetzt wurden, die Mathematiker wie Witelo oder Regiomontanus beeinflussen werden . Die stereographische Projektion wird bei der Übersetzung von Abhandlungen über das Astrolabium übertragen. Einige Kapitel bleiben jedoch ignoriert oder werden erst spät entdeckt; es funktioniert auf dem Parallelenaxiom , deren Einfluss erscheint nur XIII - ten  Jahrhundert in den Werken von Witelo oder Levi Ben Gerson . Ebenso scheinen die Arbeiten von al-Biruni , al-Farabi und Abu l-Wafa sowie die Studien zu affinen Transformationen von Thabit ibn Qura und Ibrahim ibn Sinan ignoriert zu werden .

Die Trigonometrie wird im Westen gleichzeitig mit der Astronomie weitergegeben, von der sie oft ein eigenes Kapitel bildet. Es wird eine eigene Disziplin im XIV - ten  Jahrhundert , aber wir können den Einfluss der arabischen Trigonometrie in einem Werk wie messen Von triangulis Regiomontanus, ganz in der Nähe Vertrag Viereck von Nasir al-Din Tusi .

Durch die Weitergabe eines Teils der griechischen Texte und des arabischen mathematischen Wissens erhielt die europäische Mathematik damit entscheidende Impulse für ihre Entwicklung.

Hinweise und Referenzen

Anmerkungen

  1. Roshdi Rashed meint, dass dieses Werk „gut in der archimedischen Tradition steht, ohne nach dem Modell von Die Kugel und dem Zylinder oder einer anderen Abhandlung von Archimedes verfasst zu sein. "
  2. Die Abhandlung von Archimedes Die Quadratur der Parabel wird erst später entdeckt.
  3. der Fläche, begrenzt durch zwei nicht konzentrische Kreise mit unterschiedlichen Radien.
  4. Eine stereographische Projektion ist die Beschränkung einer Inversion auf eine Kugel und eine Ebene.
  5. Die Sehne des Winkels a ist die Länge eines Segments [AB] wobei A und B zwei Punkte eines Kreises mit Mittelpunkt O und Radius R sind (R kann laut Werk 60, 360 oder andere Werte wert sein) mit dem Winkel AOB gleich a .
  6. Der indische Sinus hat auch eine Länge gleich R.sin.
  7. zu ( einem ) = R (1 - sin a ).
  8. Der Schatten eines vertikalen Gnomons der Höhe h , wenn die Sonne auf Höhe a steht, ist o = h cot ( a ).
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Literaturverzeichnis

Externe Links