Variogramm

Das Variogramm ist eine mathematische Funktion, die in der Geostatistik , insbesondere für das Kriging, verwendet wird . Wir sprechen auch von einem Semivariogramm um den Faktor ½ seiner Definition.

Die Variogrammanalyse , Variographie oder Strukturanalyse dient zum Schätzen und Studieren eines Variogramms einer Zufallsvariablen.

Variogramm einer Zufallsfunktion

Betrachten Sie eine Zufallsvariable $Z$ der Raumvariablen $x$ und nehmen Sie an , dass sie stationär ist, dh der Mittelwert und die Varianz von $Z ( x )$ sind unabhängig von $x$ . Wir setzen die Größe: ${\ displaystyle \ gamma (x, y) = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {Var} \ left [Z \ left (x \ right) -Z \ left (y \ right) \ right] = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {E} \ left [| Z (x) -Z (y) | ^ {2} \ right]}$ Da $Z$ stationär ist, hängt die rechte Seite nur vom Abstand zwischen den Punkten $x$ und $y ab$ . Das Variogramm in einem Abstand $h$ ist dann der halbe Mittelwert der Quadrate der Differenzen der Realisierungen von $Z$ auf den durch $h$ beabstandeten Punkten . ${\ displaystyle \ gamma (h) = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {E} _ {| yx | = h} \ left [| Z (x) -Z (y) | ^ {2} \ Recht]}$

Begrenztes Variogramm

Satz - Wenn $Z$ eine stationäre Zufallsfunktion der Kovarianz $C ist$ , ist sein Variogramm begrenzt und wird geschrieben: ${\ displaystyle \ gamma \ left (h \ right) = C \ left (0 \ right) -C \ left (h \ right)}$

Die Umkehrung ist falsch: Wenn $Z$ intrinsisch ist und ein begrenztes Variogramm hat, dann ist $Z$ die Summe einer stationären Zufallsfunktion von $L 2$ und einer reellen Zufallsvariablen .

Interesse des Variogramms

Das Variogramm ist für jede intrinsische Zufallsfunktion definiert , die nur von der Interdistanz $h$ abhängt , während die Kovarianzfunktion nur für den Fall einer stationären Zufallsfunktion der Ordnung 2 definiert ist . Außerdem wird die Variogrammschätzung im Gegensatz zur Kovarianz nicht durch den Mittelwert verzerrt.

Schritte und Umfang

Wenn die Kovarianz von $Z$ im Unendlichen gegen 0 tendiert, hat das Variogramm ein Plateau $γ (\infty) = Var [ Z ]$ . Wir nennen Bereich die Entfernung, aus der das Variogramm sein Plateau erreicht; Der praktische Bereich (manchmal Skalierungsfaktor ) ist die Entfernung, aus der das Variogramm innerhalb eines 5% -Intervalls um sein Plateau bleibt. Der Standard ist das Verhältnis von Umfang zu praktischem Umfang.

Experimentelles Variogramm

Das experimentelle Variogramm oder empirische Variogramm ist ein Schätzer des theoretischen Variogramms aus den Daten.

Sei eine Menge von Punkten, an denen die Werte einer regionalisierten Variablen $z bekannt sind$ . Um ausnutzbar zu sein, muss die Summe mit einer bestimmten Toleranz gemacht werden, dh man wird die Summe an den interdistanten Paaren von $h \pm δh ausführen$ , wobei man oft einen Schritt $d$ für $h = n \times d , n \in definiert ℕ$ und die Toleranz $δh = ½ d$ . Dann können wir das Variogramm durch die Formel schätzen: ${\ displaystyle {\ hat {\ gamma}} \ left (h \ right) = {\ frac {1} {2n \ left (h \ right)}} \ sum _ {h- \ delta h <| xy | < h + \ delta h} \ left (z \ left (x \ right) -z \ left (y \ right) \ right) ^ {2}}$ wobei $n ( h )$ die Anzahl der Punktpaare ist, deren $Abstand$ zwischen $h - δh$ und $h + δh liegt$ .

In einem allgemeineren Fall könnte $h$ ein Vektor sein, und die Summe wird an allen Punkten $x$ , $y$ so gemacht, dass $y = x + h ist$ . Dadurch können Anisotropien verarbeitet werden .

Empirisches Variogramm eines Gaußschen Prozesses

Wenn $X$ ein Gaußscher Prozess ist , können wir ein Gesetz des empirischen Variogramms schätzen. ${\ displaystyle {\ begin {align} & {\ text {si}} X \ sim {\ mathcal {N}} _ {n} (0, \ Sigma) \\ & {\ text {then}} {\ hat {\ gamma}} \ left (h \ right) \ sim \ sum _ {i = 1} ^ {\ operatorname {n} \ left (h \ right)} \ lambda _ {i} \ left (h \ right) \ chi _ {i1} ^ {2} {\ text {pour des}} \ chi ^ {2} {\ text {iid to 1 dof}} \\ & {\ text {entweder}} \ mathbf {E} \ left [{\ hat {\ gamma}} \ left (h \ right) \ right] = \ operatorname {Trace} \ left (A \ left (h \ right) \ Sigma \ right) {\ text {,}} \ mathbf {Var} \ left [{\ hat {\ gamma}} \ left (h \ right) \ right] = 2 \ operatorname {Trace} \ left (A \ left (h \ right) \ Sigma \ right) ^ { 2} \\ & {\ text {where}} A_ {x_ {i}, x_ {j}} = - {\ frac {1} {\ operatorname {n} \ left (h \ right)}} {\ text {si}} x_ {i} \ neq x_ {j} {\ text {,}} A_ {x_ {i}, x_ {i}} = - {\ frac {\ operatorname {n} \ left (h \ right) ) -1} {\ operatorname {n} \ left (h \ right)}} \ end {align}}}$

Modellierung (Anpassung)

Das geschätzte Variogramm ist nicht vorhersagbar und berücksichtigt meistens nicht die Kriging- Einschränkungen . Aus diesem Grund modellieren geostatistische Methoden das Variogramm, das durch eine kontinuierliche Funktion geschätzt wird, die bestimmten Einschränkungen unterliegt ( negative bedingt definierte Funktion ). Dieser Schritt wird als Modellieren oder Anpassen des Variogramms bezeichnet. Modellierung ist der wesentliche Teil des Kriging.

Verschachtelungsmodell

Das Modell ist eine kontinuierliche Funktion, die bestenfalls das allgemeine Erscheinungsbild des theoretischen Variogramms wiedergibt. Nicht alle Funktionen sind möglich: Sie müssen die autorisierte Linearkombination zulassen . Eine lineare Kombination $\sum i λ i Z i$ gilt als zulässig, wenn ihre Erwartung und ihre Varianz immer definiert sind (im fraglichen Modell). Wir verwenden im Allgemeinen ein verschachteltes Variogrammmodell in der Form $γ ( h ) = \sum i γ i ( h )$ . Der Ansatz des verschachtelten Modells kann dazu führen, dass das untersuchte Phänomen als Summe unabhängiger Zufallsfunktionen betrachtet wird, die im Rahmen der Krigeante-Analyse separat untersucht werden können . Diese Komponenten haben jedoch im Allgemeinen keine eigene physikalische Bedeutung.

Die Komponenten werden durch eine Ebene $C$ und möglicherweise einen Bereich $a$ und Formparameter definiert. Die am häufigsten verwendeten $γ i$ -Komponenten sind:

Komponenten von Variogrammen

Verhalten	Nachname	Standard $δ$	Formel der Komponente $γ ( h )$
$C-$ tragende Komponenten ohne Spannweite	reines Nugget (entspricht schwachem weißem Rauschen)	- -	${\ displaystyle \ gamma (h) = {\ begin {Fällen} C, & {\ text {si}} h> 0 \\ 0, & {\ text {si}} h = 0 \ end {Fälle}}}$
klassische Komponenten auf $C-$ Ebene und Umfang $a$	Gaußsch	1,731	${\ displaystyle \ gamma (h) = C \ left (1-e ^ {- 3 \ left ({\ frac {h} {a}} \ right) ^ {2}} \ right)}$
	kubisch	1	${\ displaystyle \ gamma \ left (h \ right) = C \ left (7 \ left ({\ frac {h} {a}} \ right) ^ {2} - {\ frac {35} {4}} \ links ({\ frac {h} {a}} \ rechts) ^ {3} + {\ frac {7} {2}} \ links ({\ frac {h} {a}} \ rechts) ^ {5} - {\ frac {3} {4}} \ left ({\ frac {h} {a}} \ right) ^ {7} \ right)}$
	exponentiell	99 2.996	${\ displaystyle \ gamma (h) = C \ left (1-e ^ {- {\ frac {h} {a}}} \ right)}$
	höchstens kugelförmig 3	1	${\ displaystyle \ gamma (h) = {\ begin {case} C \ left ({\ frac {3} {2}} {\ frac {h} {a}} - {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {h} {a}} \ right) ^ {3} \ right), & {\ text {si}} 0 \ leqslant h \ leqslant a \\ C, & {\ text {si} } h \ geqslant a \ end {Fälle}}}$
	Kardinal Sinus	37 20.371	${\ displaystyle \ gamma \ left (h \ right) = C \ left (1 - {\ frac {sin \ left ({\ frac {h} {a}} \ right)} {\ frac {h} {a} }} \ Recht)}$
klassische instationäre Komponenten	linear	1	${\ displaystyle \ gamma (h) = C {\ frac {h} {a}}}$
klassische instationäre Komponenten	Leistung	1	${\ displaystyle \ gamma (h) = C \ left ({\ frac {h} {a}} \ right) ^ {b} \ {\ text {where}} \ 0 <b \ leq 2}$
seltener verwendete Komponenten	stabil oder verallgemeinert exponentiell	$α \sqrt 3$	${\ displaystyle \ gamma \ left (h \ right) = C \ left (1-e ^ {- \ left ({\ frac {h} {a}} \ right) ^ {\ alpha}} \ right)}$
	Gamma	$α \sqrt 20 -1$	${\ displaystyle \ gamma \ left (h \ right) = C \ left (1 - {\ frac {1} {\ left (1 + {\ frac {h} {a}} \ right) ^ {\ alpha}} } \ Recht)}$ , $α > 0$
	J de Bessel	1	${\ displaystyle \ gamma \ left (h \ right) = C \ left (1-2 ^ {\ alpha} \ Gamma \ left (\ alpha +1 \ right) {\ frac {J _ {\ alpha} \ left ( {\ frac {h} {a}} \ rechts)} {\ links ({\ frac {h} {a}} \ rechts) ^ {\ alpha}}} \ rechts)}$ , $α > d ⁄ 2 -1$
	K von Bessel oder Matérn, wobei $K α$ die modifizierte Bessel-Funktion der zweiten Art von Parameter $α ist$	1	${\ displaystyle \ gamma \ left (h \ right) = C \ left (1 - {\ frac {\ left ({\ frac {h} {a}} \ right) ^ {\ alpha}} {2 ^ {\ alpha -1} \ Gamma \ left (\ alpha \ right)}} K _ {- \ alpha} \ left ({\ frac {h} {a}} \ right) \ right)}$ , $α > 0$
	exponentieller Kosinus oder Locheffektmodell
	Generalisierter Cauchy	$\sqrt (α \sqrt 20 -1)$	${\ displaystyle \ gamma \ left (h \ right) = C \ left (1- \ left (1+ \ left ({\ frac {h} {a}} \ right) ^ {2} \ right) ^ {- \ alpha} \ right)}$ , $α > 0$

Anisotropie

Das Richtungsvariogramm in Richtung eines Einheitsvektors $u$ ist definiert durch $γ u ( h ) = ½ Var [ Z ( x + hu ) - Z ( x )]$ . Wir sprechen von Anisotropie, wenn es zwei Einheitsvektoren gibt, so dass die Richtungsvariogramme unterschiedlich sind. Es gibt zwei Hauptfälle:

geometrische Anisotropie : unterschiedliche Spannweiten, je nach Richtung gleich hoch; das Variogramm ist eine lineare Dehnung $A$ eines isotropen Variogramms $γ 0$ ; $γ ( h ) = γ 0 (‖ Ah ‖)$ .
Zonale oder geschichtete Anisotropie : gleiche Spannweite, je nach Richtung unterschiedliche Niveaus; Das Variogramm ist die Summe der Komponenten, die Unterstützungsanisotropien aufweisen: Auf einer bestimmten Basis hängen sie nur von bestimmten Koordinaten ab. Es wird nicht empfohlen, Modelle zu verwenden, bei denen die Anisotropien gemäß den Koordinaten trennbar sind (z. B. $γ ( h ) = γ 1 ( h 1 , h 2 ) + γ 2 ( h 3 )$ ).

Eigenschaften

Das Variogramm ist eine gerade Funktion mit positiven Werten.

Wenn die Kovarianz $C$ definiert ist, wird sie durch die Beziehung mit dem Variogramm in Beziehung gesetzt:

${\ displaystyle \ gamma (h) = C (0) -C (h)}$ wobei $C ( η )$ die Kovarianz in einem Abstand $η ist$ (abhängig nur von $η$ für eine stationäre Zufallsfunktion)

Das Variogramm ist oft eine begrenzte zunehmende Funktion. In diesem Fall nennen wir Peilung die Kante des Variogramms bis unendlich und erreichen die Entfernung, in der die Peilung fast erreicht ist (typischerweise 95%). Wenn es existiert, ist die Varianz $C (0)$ dieses Plateau. In der Praxis steigt das berechnete Variogramm insbesondere aufgrund von Kanteneffekten bis zu einem Maximum an und nimmt dann insgesamt leicht ab oder ist stabil.

Faltung : Sei $Z$ die Faltung $p$ einer Zufallsfunktion $Y$ : $Z = Y * p$ . Dann erfüllt die Beziehung zwischen ihren Variogrammen $γ Y = γ Z * (p * p)$ .

Eigenschaften des stationären Variogramms

${\ displaystyle \ scriptstyle \ gamma \ left (0 \ right) = 0}$
${\ displaystyle \ scriptstyle \ gamma \ left (h \ right) \ geq 0 ~ \ forall h}$
Symmetrie: ${\ displaystyle \ scriptstyle \ gamma \ left (h \ right) = \ gamma \ left (-h \ right) ~ \ forall h}$
$- γ$ ist vom bedingten positiven Typ : Sei $λ$ ein Maß , das $\int λ (d t ) = 0$ erfüllt , dann ${\ displaystyle \ scriptstyle \ int \ lambda \ left (\ mathrm {d} t \ right) \ left (- \ gamma \ left (tu \ right) \ right) \ lambda \ left (\ mathrm {d} u \ right) ) \ geq 0}$
Für alle $t > 0 ist$ $e - tγ$ eine Kovarianz
das Verhältnis $γ ( h ) ∕ | h | 2$ ist für $h ⟶\infty begrenzt$
in Abwesenheit von Drift, das heißt im intrinsischen Fall , mit anderen Worten: ${\ displaystyle \ lim \ limitiert _ {h \ to \ infty} {\ frac {\ gamma \ left (h \ right)} {\ left | h \ right | ^ {2}}} = 0}$ ${\ displaystyle \ gamma (h) {\ underset {h \ to \ infty} {=}} \ mathbf {o} \ left (\ left | h \ right | ^ {2} \ right)}$
Wenn das Variogramm auf unendlich begrenzt ist, ist die Zufallsfunktion in der Größenordnung 2 stationär . dann existiert eine stationäre Kovarianz $C ( h ),$ so dass $γ ( h ) = C (0) - C ( h )$
Das Variogramm $γ ( h )$ ist gleich der halben Varianz der Ausdehnung eines beliebigen Punktes ${ x }$ am Punkt ${ x + h }$

Das Verhalten am Ursprung des Variogramms spiegelt die Regelmäßigkeit der Zufallsfunktion wider.

Andere Darstellung des Variogramms

Wir können das Variogramm auch als die Funktion $γ definieren,$ so dass ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {si}} \ sum _ {i} \ lambda _ {i} = 0 {\ text {, dann}} \ mathbf {Var} \ left [\ sum _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i} \ right] = \ sum _ {i, j} - \ lambda _ {i} \ gamma _ {i, j} \ lambda _ {j}}$

Diese Formel liefert eine Definition des Variogramms bis zu einer additiven Konstante.

Substitution zwischen Variogramm und Kovarianz

Die in der stationären Hypothese definierten Formeln können in der intrinsischen Hypothese umgeschrieben werden, sofern sie CLA beinhalten, indem die Kovarianz $C$ durch das Gegenteil des Variogramms $- γ ersetzt wird$

Nugget-Effekt

Die Formel ergibt sofort $γ (0) = 0$ . Es wird jedoch allgemein beobachtet, dass das Variogramm für kleine Entfernungen nicht gegen 0 tendiert. Die Grenze des Variogramms bei Null wird als Nugget bezeichnet . Es stellt die Variation zwischen zwei Messungen dar, die an unendlich nahen Orten durchgeführt wurden, und kann daher von drei Effekten herrühren:

eine natürliche Variabilität des gemessenen Parameters: Es könnte beispielsweise zwei verschiedene Werte annehmen, wenn es zu zwei verschiedenen Zeiten gemessen wird;
Variabilität des Messgeräts: Das Nugget misst daher teilweise den statistischen Fehler des Messgeräts;
ein echter Nugget-Effekt : eine plötzliche Änderung des gemessenen Parameters; Der historische Fall ist der Übergang ohne Übergang von einem Goldnugget zu einem Boden, der fast kein Gold enthält.

Wenn das Variogramm eines Feldes überall außer am Ursprung stetig ist, zerfällt dieses Feld in eine Summe von zwei unkorrelierten Feldern der jeweiligen Variogramme, die überall ein reines Nugget und eine stetige Funktion sind.

Multivariabler Fall

In der multivariablen Geostatistik wird das gekreuzte Variogramm $γ$ einer intrinsischen multivariablen Zufallsfunktion $Z = ( Z ( x , 1); Z ( x , 2);\dots; Z ( x , n ))$ für seine Variablen $i$ und $j$ in Schritt $h definiert$ :: ${\ displaystyle \ gamma _ {i, j} \ left (h \ right) = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {Cov} \ left [Z \ left (x + h, i \ right) - Z \ links (x, i \ rechts), Z \ links (x + h, j \ rechts) -Z \ links (x, j \ rechts) \ rechts] \ \ für alle x}$ Wir setzen seine Verallgemeinerung $γ̃$ an den Punkten $x$ und $y$ in den Abständen $a$ und $b$ : ${\ displaystyle {\ tilde {\ gamma}} _ {i, j} \ left (a, b \ right) = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {Cov} \ left [Z \ left (x + a, i \ rechts) -Z \ links (x, i \ rechts), Z \ links (y + b, j \ rechts) -Z \ links (y, j \ rechts) \ rechts] \ \ für alle x, y}$ Im Allgemeinen reicht $γ$ nicht aus, um das multivariate Problem zu lösen. Dies ist ein Paar , berücksichtigen Sie also keine Unterschiede zwischen Variablen. Genau: ${\ displaystyle \ gamma _ {i, j} \ left (h \ right) = K_ {i, j} \ left (0 \ right) - {\ frac {K_ {i, j} \ left (h \ right) + K_ {i, j} \ left (-h \ right)} {2}}}$ Dies führte zur Einführung des gekreuzten Pseudovariogramms , das den Nachteil hat, nach verschiedenen Komponenten (also möglicherweise nach verschiedenen Einheiten) zu summieren: ${\ displaystyle \ pi _ {i, j} \ left (h \ right) = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {Var} \ left [Z \ left (x + h, i \ right) - Z \ left (x, j \ right) \ right]}$

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Matérns Kovarianz

Literaturverzeichnis

Pierre Chauvet , Checkliste für lineare Geostatistik , Paris, Les Presses de l'École des Mines,August 1999( Repr. 1993, 1994, 1998, 1999, 2008) ( 1 st ed. 1989), 367 p. , 16 × 24 cm ( ISBN 2-911762-16-9 , Hinweis BnF n o FRBNF37051458 )

Verweise

genannt, weil es eine Punktzahl eines Poisson- Punktprozesses in einer Kugel anwendet
höchstens in 3 Dimensionen erlaubt; erreicht sein Plateau zum ersten Mal bei $π a$
es ist das einzige autosimilare Modell, das heißt eine durch Skalenänderung invariante: $γ ( k h ) = k b γ ( h )$ ; Das damit verbundene räumliche Phänomen ist skalierungslos