Mittlerer Satz

In der reellen Analyse ist der mittlere Satz ein klassisches Ergebnis bezüglich der Integration stetiger Funktionen einer reellen Variablen , wonach der Durchschnitt einer stetigen Funktion über ein Segment als Wert der Funktion realisiert wird.

Zustände

Satz - Für jede Funktion $f$ mit reellen Werten, die in einem Segment $[ a , b ]$ definiert und stetig sind , mit $a < b$ , existiert ein reelles $c$ zwischen $a$ und $b$ ( $a$ und $b$ sind ausgeschlossen), das erfüllt:

f (c) = {\ frac 1 {ba}} \ int _ {a} ^ {b} f (x) ~ {\ mathrm d} x.

Das Integral wird hier definiert im Sinne von Riemann (aber $f$ sollte durchgehend sein, eine einfachere Form der Integration, wie das durch verwendet Cauchy , verwendet werden); Wenn wir den ersten fundamentalen Satz der Analyse zugeben , verschmilzt der Satz des Mittelwerts mit dem Satz der endlichen Inkremente .

Oft wird nur die folgende schwächere Konsequenz verwendet, die als Ungleichung des Mittelwerts bekannt ist :

Satz - Wenn

f

über

[ a , b ]

stetig ist , mit

a \leq b

und wenn für alle

x

dieses Intervalls gilt:

m \ le f (x) \ le M,

m \, (ba) \ le \ int_ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm dx \ le M \, (ba).

(Dieses letzte Ergebnis gilt weiterhin für alle integrierbaren Funktionen.)

Bemerkungen

Eine Interpretation dieses Theorems ist grafisch, dass die algebraische Fläche unter der repräsentativen Kurve von $f$ gleich der eines Rechtecks mit der Basis $[ a , b ]$ und mit der Höhe einem Durchschnittspunkt der Kurve ist.
Dieser Satz erweitert die reellen Funktionen von mehreren Variablen auf einem Feld kompakten und verbunden durch Mehrfachintegrale .
Punkt $c$ hängt nicht kontinuierlich von $f ab$ . Der mittlere Satz gibt die Existenz eines reellen $c an$ , gibt jedoch keine Auskunft über seine Abhängigkeit von der Funktion $f$ .
Die Annahme der Kontinuität ist wesentlich. Zum Beispiel für $[ a , b ] = [0; 1]$ durch Setzen von $f ( x ) = 1,$ wenn $x <1/2$ und $f ( x ) = 0 ist,$ andernfalls wird der Mittelwert von $f$ gleich 1/2 ist, wird daher nicht als der Wert von $f realisiert$ .

Demonstration

Durch Verwendung des ersten fundamentalen Theorems der Analyse oder durch Kurzschließen der Theorie des Riemannschen Integrals und durch Definition des Integrals einer stetigen Funktion über ein Intervall über dieses Intervall die Variation eines seiner Grundelemente (also unter der Annahme) dass es welche gibt), wird der Satz des Mittelwerts zu einer einfachen Neuformulierung des Satzes endlicher Inkremente .

In der Tat, wenn $F$ ein Antiderivativ von $f ist$ , dann liefert der Satz der endlichen Inkremente für $F$ die Existenz eines reellen $c$ genau zwischen $a$ und $b,$ so dass

F '(c) = {\ frac {F (b) -F (a)} {ba}} \,

das ist das gewünschte Ergebnis, da $F ' = f$ und $F (b) -F (a) = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, {\ mathrm d} x.$

Für eine "direktere" Demonstration vgl. Verallgemeinerung unten durch Setzen von $g ( x ) = 1$ .

Verallgemeinerung

So wie der mittlere Satz eine integrale Version des Satzes des endlichen Inkrements ist, ist seine folgende Verallgemeinerung eine integrale Version des Satzes des verallgemeinerten endlichen Inkrements :

Für alle Funktionen einer reellen Variablen $f$ und $g, die$ auf dem Segment $[ a , b ]$ stetig sind , wobei $a < b$ , $g$ ein konstantes Vorzeichen auf $[ a , b ] hat$ , existiert ein reelles $c$ von $] a , b [$ wie z

\ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) ~ {\ mathrm d} x = f (c) \ int _ {a} ^ {b} g (x) ~ {\ mathrm d} x.

Demonstration

Wir können davon ausgehen, dass die Funktion $g$ positive oder Nullwerte hat (auch wenn dies bedeutet, dass sie bei Bedarf durch $-g ersetzt$ wird).

Man kann den trivialen Fall weiter ausschließen, in dem $fg$ die Form $Kg$ für eine Konstante $K ist$ . Dies schließt insbesondere aus, dass $g$ konstant Null ist oder dass $f$ konstant ist.

Gemäß dem Extremwertsatz und dem Zwischenwertsatz , das Bild unter $f$ von dem Segment $[ a , b ]$ ist ein Segment $[ m , M ]$ mit $m < M$ , und das Bild des offenen Intervalls $] haben , b [$ ist ein in diesem Segment enthaltenes Intervall, das sich daher nur um höchstens zwei Punkte davon unterscheidet $] m, M [\ Teilmenge f (] a, b [).$

Da $g$ stetig positiv und nicht konstant Null ist, ist sein Integral über $[ a , b ]$ streng positiv.

Um zu beweisen, dass ${\ frac {\ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) ~ {\ mathrm d} x} {\ int _ {a} ^ {b} g (x) ~ {\ mathrm d } x}} \ in f (] a, b [),$ Also überprüfe das einfach $m \ int _ {a} ^ {b} g (x) ~ {\ mathrm d} x <\ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) ~ {\ mathrm d} x <M \ int _ {a} ^ {b} g (x) ~ {\ mathrm d} x.$

Zeigen wir zum Beispiel die erste strikte Ungleichung (die Begründung für die zweite ist analog).

Die Funktion $( f - m ) g$ ist kontinuierlich positiv und nicht konstant Null, die Anwendung $y \ mapsto \ int _ {a} ^ {y} (f (x) -m) g (x) ~ {\ mathrm d} x$ nimmt zu und ist nicht konstant, so dass sein Wert in b streng größer ist als der in a . So, $m \ int _ {a} ^ {b} g (x) ~ {\ mathrm d} x <\ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) ~ {\ mathrm d} x,$ Damit ist die Demonstration beendet.

Hinweis

Die Annahme, dass $g$ ein konstantes Vorzeichen hat, ist wesentlich: Zum Beispiel für $[ a , b ] = [-1, 1]$ und $f ( x ) = g ( x ) = x$ gibt es kein $c,$ so dass $2/3 = c \times 0$ .

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Stieltjes-Integral : erste und zweite Formel des Mittelwerts

Externer Link

Paul Mansion , "Über den zweiten Satz des Mittelwerts" (1885), online und kommentiert bei BibNum .