Helmholtz-Hodge-Theorem

In der Mathematik und Physik , im Bereich der Vektoranalyse , der Satz von Helmholtz - Hodge , die auch als Hauptsatz der Vektorrechnung , sichergestellt , dass ein Vektorfeld in eine Komponente unterteilt „längs“ ( irrotational ) und eine Komponente „quer“ ( magnetisch ), dh die Summe des Gradienten eines Skalarfeldes und der Rotation eines Vektorfeldes.

Dieses Ergebnis hat wichtige Anwendungen im Elektromagnetismus und in der Strömungsmechanik  ; Es wird auch in der Seismologie verwendet .

Aussage des Satzes

Helmholtz-Hodge-Theorem  -  Entweder ein Klassenvektorfeld , bei dem es sich entweder um eine kompakte und verbundene Domäne mit angeblich regulärem (oder stückweise regulärem) Rand handelt , oder sich selbst. Dann gibt es ein Vektorfeld und ein Skalarfeld, die so definiert sind , dass V.→{\ displaystyle {\ vec {V}}} VS1((Ω,R.3){\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {1} (\ Omega, \ mathbb {R} ^ {3})}Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}∂Ω{\ displaystyle \ teilweise \ Omega}R.3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}BEIM→{\ displaystyle {\ vec {A}}}ψ{\ displaystyle \ displaystyle \ psi}Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}

V.→=rÖt→BEIM→- -Grbeimd→ψ.{\ displaystyle {\ vec {V}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \, {\ vec {A}} - {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \, \ psi.}

Darüber hinaus können diese beiden Felder durch die folgenden Ausdrücke charakterisiert werden:

• Wenn es kompakt ist:Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}

ψ((r)=14π∫ΩdichvV.→((r')|r- -r'|dω'- -14π∫∂ΩV.→((r')⋅dσ→'|r- -r'|,{\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {\ Omega} {\ frac {\ mathrm {div} {\ vec {V}} (\ mathbf {r} ')} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right |}} \ mathrm {d} \ omega '- {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {\ partielle \ Omega} {\ frac {{\ vec {V}} (\ mathbf {r} ') \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {\ sigma}}'} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right |}},} BEIM→((r)=14π∫ΩrÖt→V.→((r')|r- -r'|dω'+14π∫∂ΩV.→((r')∧dσ→'|r- -r'|.{\ displaystyle {\ vec {A}} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {\ Omega} {\ frac {{\ overrightarrow {\ mathrm {rot} }} \, {\ vec {V}} (\ mathbf {r} ')} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right |}} \ mathrm {d} \ omega '+ {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {\ teilweise \ Omega} {\ frac {{\ vec {V}} (\ mathbf {r} ') \ wedge \ mathrm {d} {\ vec {\ sigma}} '} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right |}}.}

• Wenn und wenn es auf unendlich abfällt, bleiben die vorhergehenden Beziehungen gültig, wobei die Oberflächenintegrale ignoriert werden. Andererseits ist unter den Feldern, die auf unendlich abnehmen (was der Fall ist, wenn sie durch die vorhergehenden Beziehungen definiert sind), die Zerlegung eindeutig ( wird nur bis zu einer Konstanten definiert und nicht bis zu einem Gradienten) und den beiden Begriffe der Zerlegung sind orthogonal zum Skalarprodukt von , das heißt:Ω=R.3{\ displaystyle \ Omega = \ mathbb {R} ^ {3}}V.→{\ displaystyle {\ vec {V}}}Ö((r- -2){\ displaystyle O (r ^ {- 2})}ψ{\ displaystyle \ displaystyle \ psi}BEIM→{\ displaystyle {\ vec {A}}}L.2{\ displaystyle L ^ {2}}

∫ΩrÖt→BEIM→⋅Grbeimd→ψdV.=0.{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \, {\ vec {A}} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \, \ psi \, \ mathrm {d} V = 0.}

Rechtfertigung

Betrachten Sie zunächst die Situation, in der es kompakt ist. Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}

Der auf die Variable einwirkende Laplace impliziert r{\ displaystyle \ mathbf {r}}

Δ((1|r- -r'|)=- -4πδ((r- -r'){\ displaystyle \ Delta \ left ({\ frac {1} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right |}} \ right) = - 4 \ pi \ delta (\ mathbf {r } - \ mathbf {r} ')}

Wo ist Diracs "Funktion" ? δ((r- -r')=δ((x- -x')δ((y- -y')δ((z- -z'){\ displaystyle \ delta (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} ') = \ delta (x-x') \ delta (y-y ') \ delta (z-z')}

So kann jede enthält Volumen , es kommt Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}r{\ displaystyle \ mathbf {r}}

V.→((r)=∫ΩV.→((r')δ((r- -r')dω'=- -14πΔ∫ΩV.→((r')|r- -r'|dω'.{\ displaystyle {\ vec {V}} (\ mathbf {r}) = \ int _ {\ Omega} {\ vec {V}} (\ mathbf {r} ') \ delta (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} ') \ mathrm {d} \ omega' = - {\ frac {1} {4 \ pi}} \ Delta \ int _ {\ Omega} {\ frac {{\ vec {V}} (\ mathbf {r} ')} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right |}} \ mathrm {d} \ omega '.}

Aus der Identität folgt die folgende Beziehung, in der jeder Operator auf die Variable einwirkt  : Δ=Grbeimd→dichv- -rÖt→rÖt→{\ displaystyle \ Delta = {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \, \ mathrm {div} - {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \, {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}}r{\ displaystyle \ mathbf {r}}

V.→((r)=- -14πGrbeimd→∫Ωdichv((V.→((r')|r- -r'|)dω'+14πrÖt→∫ΩrÖt→((V.→((r')|r- -r'|)dω'.{\ displaystyle {\ vec {V}} (\ mathbf {r}) = - {\ frac {1} {4 \ pi}} {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \ int _ {\ Omega} \ mathrm {div} \ left ({\ frac {{\ vec {V}} (\ mathbf {r} ')} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right |}} \ right ) \ mathrm {d} \ omega '+ {\ frac {1} {4 \ pi}} {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}} \ int _ {\ Omega} {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}} } \ left ({\ frac {{\ vec {V}} (\ mathbf {r} ')} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right |}} \ right) \ mathrm {d} \ omega '.}

Die Vektorrechnung Identitäten

dichv((ψV.→)=Grbeimd→ψ⋅V.→+ψdichvV.→{\ displaystyle \ mathrm {div} (\ psi {\ vec {V}}) = {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \, \ psi \ cdot {\ vec {V}} + \ psi \, \ mathrm {div} {\ vec {V}}} rÖt→((ψV.→)=Grbeimd→ψ∧V.→+ψrÖt→V.→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} (\ psi {\ vec {V}}) = {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \, \ psi \ wedge {\ vec {V}} + \ psi \, {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} {\ vec {V}}}

führen zu den folgenden Ausdrücken, in denen die Operatoren der linken Elemente auf die Variable und die der rechten Elemente auf die Variable einwirken  : r{\ displaystyle \ mathbf {r}}r'{\ displaystyle \ mathbf {r} '}

dichv((V.→((r')|r- -r'|)=dichvV.→((r')|r- -r'|- -dichv((V.→((r')|r- -r'|){\ displaystyle \ mathrm {div} \ left ({\ frac {{\ vec {V}} (\ mathbf {r} ')} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right | }} \ right) = {\ frac {\ mathrm {div} {\ vec {V}} (\ mathbf {r} ')} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right | }} - \ mathrm {div} \ left ({\ frac {{\ vec {V}} (\ mathbf {r} ')} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right | }} \ Recht)} rÖt→((V.→((r')|r- -r'|)=rÖt→V.→((r')|r- -r'|- -rÖt→((V.→((r')|r- -r'|){\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \ left ({\ frac {{\ vec {V}} (\ mathbf {r} ')} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf { r} '\ right |}} \ right) = {\ frac {{\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \, {\ vec {V}} (\ mathbf {r}')} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right |}} - {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \ left ({\ frac {{\ vec {V}} (\ mathbf {r}') } {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right |}} \ right)}

Die Schlussfolgerung wird nach Substitution und Anwendung des Divergenzsatzes auf den ersten Term und des Rotationssatzes auf den zweiten Term erhalten.

Wenn die Zerfallshypothese auf unendlich abnimmt, wird sichergestellt, dass die Oberflächenintegrale gegen 0 konvergieren, wenn sich der Integrationsbereich progressiv auf den gesamten Raum erstreckt (z. B. konzentrische Kugeln). Ω=R.3{\ displaystyle \ Omega = \ mathbb {R} ^ {3}}V.→{\ displaystyle {\ vec {V}}}Ö((r- -2){\ displaystyle O (r ^ {- 2})}

Um die Orthogonalität der Zerlegung der Identität zu zeigen V.→{\ displaystyle {\ vec {V}}}

dichv((ψrÖt→BEIM→)=rÖt→BEIM→⋅Grbeimd→ψ{\ displaystyle \ mathrm {div} (\ psi \, {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} {\ vec {A}}) = {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \, {\ vec { A}} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \, \ psi}

und der Divergenzsatz impliziert:

∫ΩrÖt→BEIM→⋅Grbeimd→ψdω=∫∂ΩψrÖt→BEIM→⋅dσ→.{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \, {\ vec {A}} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \, \ psi \, \ mathrm {d} \ omega = \ int _ {\ teilweise \ Omega} \ psi \, {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} {\ vec {A}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {\ Sigma}}.}

Unter der Annahme der Felder, die bis unendlich abnehmen, konvergiert das Oberflächenintegral gegen 0, was die Orthogonalität der Komponenten zeigt, wenn . Ω=R.3{\ displaystyle \ Omega = \ mathbb {R} ^ {3}}

Wenn die Orthogonalität seiner Zerlegung seine Einzigartigkeit impliziert: Die beiden Komponenten sind daher in diesem speziellen Fall notwendigerweise Null. Somit entsprechen die Unterschiede von Komponente zu Komponente zweier Zerlegungen eines beliebigen Feldes einer Zerlegung des Nullfeldes: Diese Unterschiede sind daher notwendigerweise Null. V.→=0→{\ displaystyle {\ vec {V}} = {\ vec {0}}}

Anmerkungen  :

• Die Gleichheit wird als Helmholtz-Zerlegung bezeichnet .V.→=rÖt→BEIM→- -Grbeimd→ψ{\ displaystyle {\ vec {V}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \, {\ vec {A}} - {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \, \ psi}
• Wenn die Domäne begrenzt ist, ist es nicht immer möglich, die Orthogonalität der Zerlegung zu garantieren, und sie ist niemals eindeutig.
• Die Verbindungshypothese ist nicht wesentlich, da der Satz für jedes verbundene Teil separat angewendet werden kann.
• Bestimmte Annahmen der Aussage können geschwächt werden, insbesondere hinsichtlich der Regelmäßigkeit und Form oder der Abnahme bis ins Unendliche.V.→{\ displaystyle {\ vec {V}}}Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}V.→{\ displaystyle {\ vec {V}}}

Kurzer Beweis mit der Fourier-Transformation

Demonstration

Wir schreiben V als Fourier-Transformation:

V.→((r→)=∭G→((ω→)eichω→⋅r→dω→{\ displaystyle {\ vec {\ mathbf {V}}} ({\ vec {r}}) = \ iiint {\ vec {\ mathbf {G}}} ({\ vec {\ omega}}) e ^ { i \, {\ vec {\ omega}} \ cdot {\ vec {r}}} d {\ vec {\ omega}}}

Die Fourier-Transformation eines Skalarfeldes ist selbst ein Skalarfeld, und die Fourier-Transformation eines Vektorfeldes ist ein Vektorfeld derselben Dimension.

Nun betrachten wir die folgenden Skalar- und Vektorfelder:

GΦ((ω→)=ichω→⋅G→((ω→)||ω→||2GBEIM→((ω→)=ichω→×((G→((ω→)+ichGΦ((ω→)ω→)||ω→||2Φ((r→)=∭GΦ((ω→)eichω→⋅r→dω→BEIM→((r→)=∭GBEIM→((ω→)eichω→⋅r→dω→{\ displaystyle {\ begin {array} {lll} G _ {\ Phi} ({\ vec {\ omega}}) = i \, {\ dfrac {{\ vec {\ omega}} \ cdot {\ vec { \ mathbf {G}}} ({\ vec {\ omega}})} {|| {\ vec {\ omega}} || ^ {2}}} & \ quad \ quad & {\ overrightarrow {\ mathbf { G_ {A}}}} ({\ vec {\ omega}}) = i \, {\ dfrac {{\ vec {\ omega}} \ times \ left ({\ vec {\ mathbf {G}}} ( {\ vec {\ omega}}) + iG _ {\ Phi} ({\ vec {\ omega}}) \, {\ vec {\ omega}} \ right)} {|| {\ vec {\ omega} } | | ^ {2}}} \\ && \\\ Phi ({\ vec {r}}) = \ displaystyle \ iiint G _ {\ Phi} ({\ vec {\ omega}}) e ^ {i \, {\ vec {\ omega}} \ cdot {\ vec {r}}} \, d {\ vec {\ omega}} && {\ vec {\ mathbf {A}}} ({\ vec {r} }) = \ displaystyle \ iiint {\ overrightarrow {\ mathbf {G_ {A}}} ({\ vec {\ omega}}) e ^ {i \, {\ vec {\ omega}} \ cdot {\ vec {r}}} d {\ vec {\ omega}} \ end {array}}}

So

G→((ω→)=- -ichω→GΦ((ω→)+ichω→×GBEIM→((ω→){\ displaystyle {\ vec {\ mathbf {G}}} ({\ vec {\ omega}}) = - i \, {\ vec {\ omega}} \, G _ {\ Phi} ({\ vec { \ omega}}) + i \, {\ vec {\ omega}} \ times {\ overrightarrow {\ mathbf {G_ {A}}} ({\ vec {\ omega}})}V.→((r→)=- -∭ichω→GΦ((ω→)eichω→⋅r→dω→+∭ichω→×GBEIM→((ω→)eichω→⋅r→dω→=- -∇Φ((r→)+∇×BEIM→((r→){\ displaystyle {\ begin {array} {lll} {\ vec {\ mathbf {V}}} ({\ vec {r}}) & = & \ displaystyle - \ iiint i \, {\ vec {\ omega} } \, G _ {\ Phi} ({\ vec {\ omega}}) \, e ^ {i \, {\ vec {\ omega}} \ cdot {\ vec {r}}} \, d {\ vec {\ omega}} + \ iiint i \, {\ vec {\ omega}} \ times {\ overrightarrow {\ mathbf {G_ {A}}} ({\ vec {\ omega}}) e ^ {i \, {\ vec {\ omega}} \ cdot {\ vec {r}}} \, d {\ vec {\ omega}} \\ & = & - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ Phi ({\ vec {r}}) + {\ boldsymbol {\ nabla}} \ times {\ vec {\ mathbf {A}}} ({\ vec {r}}) \ end {array}}}

Das Hauptanliegen dieses Ansatzes ist die Frage der Konvergenz der Fourier-Transformationen, insbesondere in dem Fall, in dem die Domäne vollständig ist. R.3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}

Gegenbeispiel zur Einzigartigkeit der Zersetzung

Betrachten wir eine Zerlegung eines Feldes, von dem angenommen wird, dass es in einer bestimmten Domäne a priori verifiziert ist: V.→{\ displaystyle {\ vec {V}}}

V.→=rÖt→BEIM1→- -Grbeimd→ψ1.{\ displaystyle {\ vec {V}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \, {\ vec {A_ {1}}} - {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \, \ psi _ {1}.}

Ausgehend von einem willkürlich gewählten konstanten Vektor und einem Vektor ungleich Null, dann definieren Sie die beiden Felder b→{\ displaystyle {\ vec {b}}}

B.→=12b→∧r→,φ=b→⋅r→{\ displaystyle {\ vec {B}} = {\ frac {1} {2}} {\ vec {b}} \ wedge {\ vec {r}}, \; \ varphi = {\ vec {b}} \ cdot {\ vec {r}}}

wer prüft

rÖt→B.→=Grbeimd→φ=b→,{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \, {\ vec {B}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \; \ varphi = {\ vec {b}},}

man erhält eine zweite Zerlegung, die sich von der ersten unterscheidet, indem man auf den Feldern basiert

BEIM2→=BEIM1→+B.→,ψ2=ψ1+φ.{\ displaystyle {\ vec {A_ {2}}} = {\ vec {A_ {1}}} + {\ vec {B}}, \, \ psi _ {2} = \ psi _ {1} + \ varphi.}

Selbst wenn die Terme der ersten Zerlegung orthogonal sind, ist es immer möglich, einen mit ausreichend hohem Standard zu wählen, so dass dies für die zweite nicht mehr der Fall ist. b→{\ displaystyle {\ vec {b}}}

Dieses einfache Beispiel zeigt, dass in einem kompakten Bereich selbst bei einer vollkommen regelmäßigen Grenze (z. B. einer Kugel) die Eindeutigkeit der Zerlegung selbst für ein unendlich regelmäßiges Feld und unabhängig von den Randbedingungen, die er erfüllen kann, niemals gewährleistet ist.

In auf der anderen Seite würde eine Konstante ungleich Null Feld , um die Annahme des Satzes auf die Abnahme bis in Unendliche Zusammenhang nicht respektieren. R.3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}

Andere Formulierungen

Während der vorherige Satz eine Zerlegung eines Feldes in eine Solenoidkomponente und eine Irrotationskomponente behauptet, behauptet die folgende Formulierung eine Neuzusammensetzung eines Feldes aus einer Divergenz und einer Rotation. Obwohl diese beiden Ergebnisse nicht direkt miteinander zusammenhängen, basieren die Argumente der jeweiligen Beweise auf ähnlichen Beziehungen. Sie werden jedoch Helmholtz-Theorem genannt.

Helmholtz-Theorem  -  Lassen Sie ein Skalarfeld und ein Solenoidvektorfeld in definieren und beide als unendlich abnehmen als . Dann existiert ein solches Vektorfeld, so dass ρ{\ displaystyle \ displaystyle \ rho}j→{\ displaystyle {\ vec {j}}}((dichvj→=0){\ displaystyle (\ mathrm {div} {\ vec {j}} = 0)}R.3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}Ö((r- -2){\ displaystyle O (r ^ {- 2})}V.→{\ displaystyle {\ vec {V}}}

• dichvV.→=ρ,{\ displaystyle \ mathrm {div} {\ vec {V}} = \ rho,}
• rÖt→V.→=j→.{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \, {\ vec {V}} = {\ vec {j}}.}

Darüber hinaus gibt es ein einzelnes Feld , das diese Eigenschaften erfüllt und wie unendlich abnimmt . V.→{\ displaystyle {\ vec {V}}}Ö((r- -2){\ displaystyle O (r ^ {- 2})}

Rechtfertigung

Lassen Sie uns anhand der Feldzerfallshypothese, die der folgenden Beziehung Bedeutung verleiht, setzen

V.→((r)=14πrÖt→∫Ωj→((r')|r- -r'|dω'- -14πGrbeimd→∫Ωρ((r')|r- -r'|dω'{\ displaystyle {\ vec {V}} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi}} {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \ int _ {\ Omega} {\ frac {{\ vec {j}} (\ mathbf {r} ')} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right |}} \ mathrm {d} \ omega '- {\ frac {1} {4 \ pi}} {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \ int _ {\ Omega} {\ frac {\ rho (\ mathbf {r} ')} {\ left | \ mathbf { r} - \ mathbf {r} '\ right |}} \ mathrm {d} \ omega'}

wo und wo die beiden Operatoren auf die Variable einwirkenΩ=R.3{\ displaystyle \ Omega = \ mathbb {R} ^ {3}}r.{\ displaystyle \ mathbf {r}.}

Es geht darum zu zeigen, dass dieser Kandidat die erwarteten Eigenschaften erfüllt.

• Für die Diskrepanz:

dichvV.→((r)=- -14πΔ∫Ωρ((r')|r- -r'|dω'=ρ((r).{\ displaystyle \ mathrm {div} \, {\ vec {V}} (\ mathbf {r}) = - {\ frac {1} {4 \ pi}} \ Delta \ int _ {\ Omega} {\ frac {\ rho (\ mathbf {r} ')} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right |}} \ mathrm {d} \ omega '= \ rho (\ mathbf {r} ).}

• Für die Rotation:

Mit Hilfe der Identität kommt er rÖt→rÖt→=Grbeimd→dichv- -Δ{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \, {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \, \ mathrm {div} - \ Delta}

rÖt→V.→((r)=14πGrbeimd→dichv∫Ωj→((r')|r- -r'|dω'- -14πΔ∫Ωj→((r')|r- -r'|dω'{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \, {\ vec {V}} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi}} {\ overrightarrow {\ mathrm { grad}}} \, \ mathrm {div} \ int _ {\ Omega} {\ frac {{\ vec {j}} (\ mathbf {r} ')} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right |}} \ mathrm {d} \ omega' - {\ frac {1} {4 \ pi}} \ Delta \ int _ {\ Omega} {\ frac {{\ vec {j}} (\ mathbf {r} ')} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right |}} \ mathrm {d} \ omega '}

Wenn der zweite Term gleich ist , reicht es aus, um zu zeigen, dass der erste Term Null ist. j→((r),{\ displaystyle {\ vec {j}} (\ mathbf {r}),}

Stellen Sie sich eine begrenzte Domäne vor, die sich allmählich auf den gesamten Raum erstreckt. Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}

Die folgende Gleichheit (wobei der Operator des linken Mitglieds auf die Variable und der des rechten Mitglieds auf die Variable einwirkt ): r{\ displaystyle \ mathbf {r}}r'{\ displaystyle \ mathbf {r} '}

dichv((j→((r')|r- -r'|)=dichvj→((r')|r- -r'|- -dichv((j→((r')|r- -r'|){\ displaystyle \ mathrm {div} \ left ({\ frac {{\ vec {j}} (\ mathbf {r} ')} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right | }} \ right) = {\ frac {\ mathrm {div} {\ vec {j}} (\ mathbf {r} ')} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right | }} - \ mathrm {div} \ left ({\ frac {{\ vec {j}} (\ mathbf {r} ')} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right | }} \ Recht)}

in dem erlaubt, den ersten Begriff in der Form auszudrücken dichvj→((r')=0{\ displaystyle \ mathrm {div} {\ vec {j}} (\ mathbf {r} ') = 0}

- -14πGrbeimd→∫Ωdichv((j→((r')|r- -r'|)dω'=- -14πGrbeimd→∫∂Ωj→((r')|r- -r'|dσ→'{\ displaystyle - {\ frac {1} {4 \ pi}} {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \, \ int _ {\ Omega} \ mathrm {div} \ left ({\ frac {{\ vec {j}} (\ mathbf {r} ')} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right |}} \ right) \ mathrm {d} \ omega '= - {\ frac {1} {4 \ pi}} {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \, \ int _ {\ partielle \ Omega} {\ frac {{\ vec {j}} (\ mathbf {r} ' )} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right |}} \ mathrm {d} {\ vec {\ sigma}}'}

durch den Divergenzsatz. Die Feldverringerungshypothese ermöglicht es zu bestätigen, dass dieser Term gegen 0 tendiert, wenn sich das Feld auf den gesamten Raum erstreckt.

Wir haben also ein Feld gefunden , das die erforderlichen Eigenschaften erfüllt. V.→{\ displaystyle {\ vec {V}}}

Lassen Sie uns noch einmal zeigen, dass dies einzigartig ist, wenn dieses Feld wie unendlich abfällt . Der Unterschied zwischen zwei solchen Kandidaten ist immer noch ein Feld, das ad infinitum wie abnimmt . Nach dem Helmholtz-Hodge-Theorem ist die Helmholtz-Zerlegung dieses Feldes einzigartig. Da seine Divergenz und seine Rotation Null sind, sind die beiden Felder seiner Zerlegung ebenfalls Null, was auf die Beziehungen zurückzuführen ist, die sie charakterisieren. Das Feld ist letztendlich Null und die beiden Kandidaten sind notwendigerweise identisch. V.→{\ displaystyle {\ vec {V}}}Ö((r- -2){\ displaystyle O (r ^ {- 2})}Ö((r- -2){\ displaystyle O (r ^ {- 2})}

Hinweis  :

Das Feld , das im vorherigen Beweis als Kandidat ausgewählt wurde, basiert auf der Helmholtz-Zerlegung und den charakterisierenden Ausdrücken sowie auf dem Helmholtz-Hodge-Theorem. Tatsächlich : V.→{\ displaystyle {\ vec {V}}}BEIM→{\ displaystyle {\ vec {A}}}ψ{\ displaystyle \ displaystyle \ psi}

B.→=rÖt→BEIM→,E.→=- -Grbeimd→ψ{\ displaystyle {\ vec {B}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \, {\ vec {A}}, \, {\ vec {E}} = - {\ overrightarrow {\ mathrm { grad}}} \, \ psi}

entsprechend der Zersetzung

V.→=B.→+E.→{\ displaystyle {\ vec {V}} = {\ vec {B}} + {\ vec {E}}}

sind jeweils auf einem kompakten geschrieben  : Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}

E.→((r)=14π∫Ωr- -r'|r- -r'|3dichvV.→((r')dω'- -14π∫∂Ωr- -r'|r- -r'|3V.→((r')⋅dσ→',{\ displaystyle {\ vec {E}} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {\ Omega} {\ frac {\ mathbf {r} - \ mathbf { r} '} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right | ^ {3}}} \, \ mathrm {div} {\ vec {V}} (\ mathbf {r} ' ) \ mathrm {d} \ omega '- {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {\ teilweise \ Omega} {\ frac {\ mathbf {r} - \ mathbf {r}'} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right | ^ {3}}} \, {\ vec {V}} (\ mathbf {r}') \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {\ sigma}} ',} B.→((r)=- -14π∫Ωr- -r'|r- -r'|3∧rÖt→V.→((r')dω'- -14π∫∂Ω((r- -r')|r- -r'|3∧[V.→((r')∧dσ→']].{\ displaystyle {\ vec {B}} (\ mathbf {r}) = - {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {\ Omega} {\ frac {\ mathbf {r} - \ mathbf {r} '} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right | ^ {3}} \, \ wedge {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \, {\ vec {V}} (\ mathbf {r} ') \ mathrm {d} \ omega' - {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {\ teilweise \ Omega} {\ frac {(\ mathbf { r} - \ mathbf {r} ')} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right | ^ {3}}} \ wedge [{\ vec {V}} (\ mathbf { r} ') \, \ wedge \ mathrm {d} {\ vec {\ sigma}}'].}

Wenn also die Oberflächenintegrale verschwinden, führt dies zu folgender Folgerung: Ω=R.3{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega = \ mathbb {R} ^ {3}}

Folgerung  -  Sei ein Skalarfeld und ein Magnetvektorfeld, die in und beide mit kompakter Unterstützung definiert sind . Dann existiert ein befriedigendes Vektorfeldρ{\ displaystyle \ displaystyle \ rho}j→{\ displaystyle {\ vec {j}}}((dichvj→=0){\ displaystyle (\ mathrm {div} {\ vec {j}} = 0)}R.3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}V.→{\ displaystyle {\ vec {V}}}

1. dichvV.→=ρ,{\ displaystyle \ mathrm {div} {\ vec {V}} = \ rho,}
2. rÖt→V.→=j→,{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \, {\ vec {V}} = {\ vec {j}},}

welches definiert ist durch wo: V.→=B.→+E.→{\ displaystyle {\ vec {V}} = {\ vec {B}} + {\ vec {E}}}

• E.→((r)=14π∫Ωr- -r'|r- -r'|3ρ((r')dω',{\ displaystyle {\ vec {E}} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {\ Omega} {\ frac {\ mathbf {r} - \ mathbf { r} '} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right | ^ {3}}} \, \ rho (\ mathbf {r} ') \ mathrm {d} \ omega', }}
• B.→((r)=- -14π∫Ωr- -r'|r- -r'|3∧j→((r')dω'.{\ displaystyle {\ vec {B}} (\ mathbf {r}) = - {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {\ Omega} {\ frac {\ mathbf {r} - \ mathbf {r} '} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right | ^ {3}}} \, \ wedge {\ vec {j}} (\ mathbf {r} ') \ mathrm {d} \ omega '.}

Darüber hinaus gibt es ein einzigartiges Feld , das die Eigenschaften 1. und 2. erfüllt und wie unendlich abnimmt . V.→{\ displaystyle {\ vec {V}}}Ö((r- -2){\ displaystyle O (r ^ {- 2})}

Anwendung auf Potenziale

Im ganzen Raum

In und unter den Annahmen des Helmholtz-Hodge-Theorems charakterisieren die Ausdrücke die Felder und erlauben uns, die folgenden Eigenschaften zu behaupten: R.3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}BEIM→{\ displaystyle {\ vec {A}}}ψ{\ displaystyle \ displaystyle \ psi}

• Wenn das Feld irrotational ist , dann leitet es sich von einem Skalarpotential ab  : Es existiert ein Skalarfeld, so dassV.→{\ displaystyle {\ vec {V}}}((rÖt→ V.→=0){\ displaystyle ({\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \ {\ vec {V}} = 0)}ψ{\ displaystyle \ psi}

V.→=- -Grbeimd→ψ.{\ displaystyle {\ vec {V}} = - {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \, \ psi.}

• Wenn das Feld magnetisch ist , leitet es sich aus einem Vektorpotential ab  : Es existiert ein Vektorfeld, so dassV.→{\ displaystyle {\ vec {V}}}((dichvV.→=0){\ displaystyle (\ mathrm {div} \, {\ vec {V}} = 0)}BEIM→{\ displaystyle {\ vec {A}}}

V.→=rÖt→BEIM→.{\ displaystyle {\ vec {V}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \, {\ vec {A}}.}

In einem Teil des Raumes

Bei einer Domain, die nur ein Teil davon ist , ist die Existenz von Potenzialen komplexer: Insbesondere ist dies in keiner Weise garantiert, wenn die Domain ein „Loch“ zulässt. Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}R.3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}

Skalarpotential

Wenn es durch Bögen verbunden und einfach verbunden ist (ohne „Löcher“), lässt ein kontinuierliches und irrotationales Feld ein skalares Potential zu. Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}V.→{\ displaystyle {\ vec {V}}}

Dies wird gezeigt, indem Sie einen beliebigen Punkt in auswählen und dann "explizit" für alles in definieren  : r0{\ displaystyle \ mathbf {r} _ {0}}Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}r{\ displaystyle \ mathbf {r}}Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}

ψ((r)=- -∫Γ[r0,r]]V.→((r')⋅dl→{\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}) = - \ int _ {\ Gamma _ {[\ mathbf {r} _ {0}, \ mathbf {r}]} {\ vec {V}} (\ mathbf {r '}) \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {l}}}Wo ist eine orientierte Kurve verbunden mit .Γ[r0,r]]{\ displaystyle \ Gamma _ {[\ mathbf {r} _ {0}, \ mathbf {r}]}}r0{\ displaystyle \ mathbf {r} _ {0}}r{\ displaystyle \ mathbf {r}}

Die Beziehung führt zu und die Konsistenz dieser Definition folgt aus dem Rotationssatz (der den Fluss der Rotation eines Feldes durch eine Oberfläche und den Fluss des Feldes an seiner Grenze identifiziert), weil er sicherstellt, dass der Wert unabhängig ist der Wahl des Pfades: Für zwei Verbindungspfade ist ihre Vereinigung eine geschlossene Kurve, auf der eine Kantenfläche aufgebaut werden kann (genau hier kommt die einfache Konnektivitätshypothese ins Spiel). V.→=- -Grbeimd→ψ,{\ displaystyle {\ vec {V}} = - {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \, \ psi,}ψ((r){\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r})}[r0,r]]{\ displaystyle [\ mathbf {r} _ {0}, \ mathbf {r}]}Γ{\ displaystyle \ displaystyle \ Gamma}S.{\ displaystyle \ displaystyle S}∂S.=Γ{\ displaystyle \ partielles S = \ Gamma}

Vektorpotential

Wenn ein Stern offen ist und das Feld magnetisch und klassenmäßig ist , dann leitet es sich aus einem Vektorpotential ab: Es existiert ein Vektorfeld, so dass Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega} V.→{\ displaystyle {\ vec {V}}}((dichvV.→=0){\ displaystyle (\ mathrm {div} \, {\ vec {V}} = 0)}VS1{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {1}}BEIM→{\ displaystyle {\ vec {A}}}

V.→=rÖt→BEIM→.{\ displaystyle {\ vec {V}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \, {\ vec {A}}.}

Nach einer korrekten Formulierung in Form von Differentialformen ist diese Eigenschaft eine direkte Anwendung von Lemma Poincaré, die behauptet, dass eine Klasse mit einer Form auf einem offenen Stern genau dann genau ist, wenn sie geschlossen ist . VS1{\ displaystyle C ^ {1}}

Referenz

1. YF Gui und WB Dou: „EINE RIGORÖSE UND VOLLSTÄNDIGE ERKLÄRUNG ZUM HELMHOLTZ-THEOREM“ , Progress In Electromagnetics Research, PIER 69, 287–304, 2007

Siehe auch

• Vektoranalyse und verwandte Artikel.