In der Mathematik und genauer in der Topologie ist der Domäneninvarianzsatz ein Ergebnis von LEJ Brouwer (1912) bezüglich kontinuierlicher Anwendungen zwischen Teilmengen von R n .
Die häufigste Form dieses Satzes ist:
Lassen U eine offene Menge in den R n und f : U → R n eine Einspritzung fort , dann V = f ( U ) offen ist , und f ist eine homeomorphism zwischen U und V .Der moderne Beweis verwendet Werkzeuge der algebraischen Topologie und Brouwers Fixpunktsatz ; wir können es einfacher sagen, indem wir sagen, dass f unter den gleichen Bedingungen eine offene Karte ist, das heißt, dass das Bild von f einer offenen Karte eine offene ist.
Um zu zeigen, dass f ein Homöomorphismus ist, müssen wir im Allgemeinen zeigen, dass f und sein Kehrwert f −1 stetig sind; Der Satz besagt, dass, wenn die Domäne U von f offen ist und die Dimensionen der Abflug- und Ankunftsräume gleich sind, die Kontinuität von f −1 automatisch ist. Darüber hinaus behauptet er, dass wenn U und V homöomorph sind und wenn U offen ist, dies auch V ist (als Teilmenge von R n ). Keine dieser beiden Behauptungen ist trivial, und sie sind in allgemeineren Räumen nicht mehr unbedingt wahr.
Es ist wichtig, dass die Abmessungen der Abflug- und Ankunftsbereiche gleich sind. Betrachten Sie zum Beispiel die durch f ( t ) = ( t , 0) definierte Abbildung f :] 0,1 [→ R 2 . Diese Anwendung ist injektiv und kontinuierlich, ihre Domäne ist eine offene von R , aber ihr Bild ist keine offene von R 2 . Ein extremeres Beispiel ist g :] –2,1 [→ R 2 mit g ( t ) = ( t 2 - 1, t 3 - t ): g ist injektiv und kontinuierlich, aber kein Homöomorphismus von] –2,1 [zu seinem Bild (dies ist ein Teil des Toxoids, und die Grenze von g in 1 ist der Doppelpunkt g (–1), was zeigt, dass g –1 in diesem Punkt nicht stetig ist).
Der Satz verallgemeinert sich auch nicht auf Räume unendlicher Dimension. Sei also ℓ ∞ der Banachraum real gebundener Sequenzen und f : ℓ ∞ → ℓ ∞ der Verschiebungsoperator f ( x 1 , x 2 , ...) = (0, x 1 , x 2 , .. .). Dann ist f injektiv und kontinuierlich, die Domäne von f ist offen (da es sich um den gesamten Raum handelt), aber das Bild von f ist in ℓ ∞ nicht offen .
Eine wichtige Konsequenz des Domäneninvarianzsatzes ist, dass R n nicht homöomorph zu R m sein kann, wenn m ≠ n ist . In der Tat können wir, wenn m < n ist, den Unterraum E m = R m × {0} n - m betrachten , der homöomorph zu R m ist ; E m ist ein leerer Innenraum , dh es enthält keine nicht leeren Öffnungen von R n . Wenn f : R n → R n seine Werte in E m annimmt , kann es nach dem Theorem nicht sowohl injektiv als auch kontinuierlich sein. A fortiori gibt es keinen Homöomorphismus zwischen R n und R m . Die Argumentation verallgemeinert das Öffnen (nicht leer) von R n und R m .
Der Satz ermöglicht es auch, eine ausreichende Bedingung für die Offenheit einer Anwendung anzugeben: jede lokal injektive kontinuierliche Karte (so dass jeder Punkt eine Nachbarschaft hat, auf der die Beschränkung von f injektiv ist) von R n nach R n und allgemeiner zwischen zwei topologischen Sorten der gleichen Dimension ist offen.
Es gibt auch Verallgemeinerungen des Domäneninvarianzsatzes auf einige kontinuierliche Anwendungen eines Banachraums an sich.