Steinhart-Hart-Beziehung

Die Steinhart-Hart-Beziehung modelliert die Entwicklung des elektrischen Widerstands eines Halbleiters gemäß seiner Temperatur. Komponenten, die diese Eigenschaft ausnutzen, werden als Thermistoren bezeichnet . Dieses Gesetz kann geschrieben werden:

{\ displaystyle {\ frac {1} {T}} = A + B \ ln {(R)} + C \ left (\ ln {(R)} \ right) ^ {3}}

Mit:

$T.$ seine Temperatur (in Kelvin );
$R.$ sein elektrischer Widerstand (in Ohm );
$BEIM$ , Und die Steinhart-Hart - Koeffizienten , die jeden Thermistor charakterisieren. $B.$ $VS$

Diese Beziehung gilt über den gesamten Betriebsbereich der Komponente. Es gibt jedoch Formeln, die einfacher zu handhaben sind, jedoch auf einen begrenzten Temperaturbereich beschränkt sind (siehe Artikel über Thermistoren ).

Die Gleichung enthält theoretisch auch einen Term, der im Vergleich zu den anderen Koeffizienten im Allgemeinen vernachlässigbar ist. Daher wird es hier nicht berücksichtigt. (In seiner Gegenwart würde es dann 4 Koeffizienten geben.) ${\ displaystyle (\ ln R) ^ {2}}$

benutzen

Diese Beziehung wird häufig verwendet, um den Widerstand eines Thermistors als Funktion der Temperatur über seinen gesamten Betriebsbereich genau abzuschätzen. Während die von den Herstellern zugegebenermaßen einfacheren Gleichungen oft nur in bestimmten Temperaturintervallen präzise sind. Es kann daher manchmal nützlich sein, dieses heikle, aber immer noch präzise Gesetz zu haben.

Steinhart-Hart-Koeffizienten werden manchmal von Herstellern veröffentlicht. Ist dies nicht der Fall, müssen wir ein System aus 3 Gleichungen und 3 Unbekannten lösen, um diese Konstanten A, B und C zu finden .

Inversion

Wir können nach der reziproken Beziehung suchen (erhalten Sie R, das T kennt), mit T in Kelvin und R in Ohm.

{\ displaystyle R = \ exp \ left ({\ sqrt [{3}] {y- {x \ over 2}}} - {\ sqrt [{3}] {y + {x \ over 2}}} \ rechts)}

Mit

{\ displaystyle {\ begin {align} x & = {\ frac {1} {C}} \ left (A - {\ frac {1} {T}} \ right) \\ y & = {\ sqrt {\ links ({B \ über 3C} \ rechts) ^ {3} + \ links ({\ frac {x} {2}} \ rechts) ^ {2}}} \ end {align}}}

Programmieren Sie in Python 2.7, um die obige Beziehung zu berechnen:

#!/usr/bin/python2.7 # [email protected]/ (Femto-st Institut)Last modification; 02/Oct/2018 import math from math import log as ln# on francise le log en log neperien ln from math import exp #---coefficients de Steinhart-Hart pour l'exemple---# A= 0.0011268740732306604 B= 0.00023452183442732656 C= 8.590172470421073e-08 #---------------------------------------------------# x=(1/C)*(A-1/T) y=((B/3/C)**3+(x/2)**2)**0.5 Tc= T-273.15 # temperature en degres Celsius R= exp(pow((y-(x/2)),1/3.0)-(pow((y+(x/2)),1/3.0))) #print(x,y) #print(A,B,C) print(R,Tc)

Steinhart-Hart-Koeffizienten

Um die Steinhart-Hart-Koeffizienten zu finden, reicht es aus, drei Betriebspunkte zu kennen und ein System aufzustellen. Hierzu werden drei vorgegebene Widerstandswerte für drei bekannte Temperaturen verwendet.

{\ displaystyle {\ begin {case} A + (\ ln R_ {1}). B + (\ ln R_ {1}) ^ {3} .C = {\ dfrac {1} {T_ {1}}} \\ A + (\ ln R_ {2}). B + (\ ln R_ {2}) ^ {3} .C = {\ dfrac {1} {T_ {2}}} \\ A + (\ ln R_ {3}) .B + (\ ln R_ {3}) ^ {3} .C = {\ dfrac {1} {T_ {3}}} \ end {case}}}

Mit , und den Werten des Widerstands gegen die jeweiligen Temperaturen , und können wir dann ausdrücken , und nach einigen Auswechslungen: ${\ displaystyle R_ {1}}$ ${\ displaystyle R_ {2}}$ ${\ displaystyle R_ {3}}$ $T _ {{1}}$ $T _ {{2}}$ $T _ {{3}}$ $BEIM$ $B.$ $VS$

Wir posieren und sowie und ${\ displaystyle Y_ {1} = {\ dfrac {1} {T_ {1}}}}$ ${\ displaystyle Y_ {2} = {\ dfrac {1} {T_ {2}}}}$ ${\ displaystyle Y_ {3} = {\ dfrac {1} {T_ {3}}}}$ ${\ displaystyle L_ {1} = \ ln R_ {1}}$ ${\ displaystyle L_ {2} = \ ln R_ {2}}$ ${\ displaystyle L_ {3} = \ ln R_ {3}}$

Wir erhalten dann:

${\ displaystyle a = \ left ({\ dfrac {L_ {2} -L_ {3}} {L_ {1} -L_ {2}}} \ right) \ times \ left (L_ {2} ^ {3} -L_ {1} ^ {3} \ rechts) + \ links (L_ {2} ^ {3} -L_ {3} ^ {3} \ rechts)}$ und ${\ displaystyle b = Y_ {2} -Y_ {3} - \ left ({\ dfrac {L_ {2} -L_ {3}} {L_ {1} -L_ {2}}} \ right) \ times \ links (Y_ {1} -Y_ {2} \ rechts)}$

Die Koeffizienten werden wie folgt erhalten:

${\ displaystyle C = {\ dfrac {b} {a}}}$

${\ displaystyle B = \ left ({\ dfrac {1} {L_ {1} -L_ {2}}} \ right) \ times {\ Bigl [} Y_ {1} -Y_ {2} - \ left (L_ {1} ^ {3} -L_ {2} ^ {3} \ right) \ times C {\ Bigr]}}$

${\ displaystyle A = Y_ {1} -L_ {1} \ cdot B-L_ {1} ^ {3} \ cdot C}$

Von wo aus das kleine Programm (weitgehend verbessert) unten in Python2.7 geschrieben wurde, um diese Koeffizienten zu bestimmen.

#!/usr/bin/python2.7 # on francise le log en log neperien ln ! from math import * from math import log as ln Tun = eval(input('Entrez la temperature T1 du premier point (en degres Celsius) : ')) Run = eval(input('et la resistance R1 du premier point (en ohms) : ')) print('\t----------------------------------') Tdeux = eval(input('Entrez la temperature T2 du deuxieme point (en degres Celsius) : ')) Rdeux = eval(input('et la resistance R2 du deuxieme point(en ohms) : ')) print('\t----------------------------------') Ttrois = eval(input('Entrez la temperature T3 du troisieme point (en degres Celsius) : ')) Rtrois = eval(input('et la resistance R3 du troisieme point (en ohms) : ')) # calculs en kelvins Tun = Tun + 273.15 Tdeux = Tdeux + 273.15 Ttrois = Ttrois + 273.15 # changement de variables Yun = 1/Tun Ydeux = 1/Tdeux Ytrois = 1/Ttrois Lun = ln (Run) Ldeux = ln (Rdeux) Ltrois = ln (Rtrois) # calculs intermediaires a = (Ldeux-Ltrois)/(Lun-Ldeux)*(pow (Ldeux,3) - pow (Lun,3)) + (pow (Ldeux,3) - pow (Ltrois,3)) b = Ydeux - Ytrois - ((Ldeux-Ltrois)/(Lun-Ldeux))*(Yun-Ydeux) # calculs de A, B et C C = b / a B = (1/(Lun-Ldeux))*(Yun-Ydeux-C*(pow(Lun,3) - pow(Ldeux,3))) A = Yun - B*Lun - C*pow (Lun,3) #Affichages de A, B et C print('\t ###################################################################') print('Dans l\'equation 1/T = A + B*ln R + C*(ln R)^3 on sait désormais que :') print('\t ###################################################################') print('Le coefficient A vaut ', A) print('Le coefficient B vaut ', B) print('Le coefficient C vaut ', C)

Ursprünge der Beziehung

Der Name dieser Gleichung stammt von John S. Steinhart und Stanley R. Hart, die sie als erste veröffentlicht haben. In der Carnegie Institution of Washington wurde die Formel gefunden.

Professor Steinhart (1929-2003) war von 1969 bis 1991 Fellow der Madison University in Wisconsin [1] .

Dr. Hart, ein bedeutender Wissenschaftler der Woods Hole Oceanographic Institution , war unter anderem Mitglied der Geological Society of America und der (in) European Association of Geochemistry .

Verweise

"Kalibrierungskurven für Thermistoren", Deep Sea Res., 15 , 497-503 (1968).