R0-Matrix

In der Mathematik ist ein -Matrix ist eine echte quadratische Matrix bestimmte Eigenschaften Bereitstellen lineare Komplementarität Probleme . Diese Eigenschaften, die mit wenigen Worten schwer auszudrücken sind, werden in der unten angegebenen Definition beschrieben. ${\ mathbf {R_ {0}}}$

Definitionen

Die äquivalenten Eigenschaften, die als Definition für Matrizen dienen können, erfordern den Rückruf einiger Begriffe. ${\ mathbf {R_ {0}}}$

Für einen Vektor bedeutet die Notation , dass alle Komponenten des Vektors positiv sind. Bei einer quadratischen reellen Matrix und ein Vektor , ein lineares Komplementarität Problem besteht darin , einen Vektor zu finden , dass eine solche , und die , die in abgekürzter Weise geschrieben werden , wie folgt: $v \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ $v \ geqslant 0$ $v_ {i}$ $M \ in \ mathbb {R} ^ {{n \ times n}}$ $q \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ $x \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ $x \ geqslant 0$ $Mx + q \ geqslant 0$ $x ^ {\! \ top} (Mx + q) = 0$

${\ mbox {CL}} (M, q): \ qquad 0 \ leqslant x \ perp (Mx + q) \ geqslant 0.$
Eine mit reellen Werten definierte Funktion wird als zwingend bezeichnet, wenn sie begrenzte Mengen von Unterebenen aufweist , was bedeutet, dass sie gegen unendlich tendiert, wenn . $\ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ displaystyle \ | x \ | \ to \ infty}$

Wir können nun die Definition einer Matrix geben. ${\ mathbf {R_ {0}}}$

${\ mathbf {R_ {0}}}$ -matrix - Wir sagen, dass eine reelle quadratische Matrix eine -matrix ist, wenn eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften gilt: ${\ displaystyle M \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}$ ${\ mathbf {R_ {0}}}$

Die einzige Lösung des Problems ist die Nulllösung. ${\ mbox {CL}} (M, 0)$
was auch immer , die Funktion ist zwanghaft, $q \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ displaystyle x \ mapsto \ | \ min (x, Mx + q) \ |}$
Die Funktion ist zwanghaft. ${\ displaystyle x \ mapsto \ | \ min (x, Mx) \ |}$

Wir bezeichnen die Menge von Matrizen beliebiger Ordnung. Wir nennen -matricity die Eigenschaft einer Matrix, zu der man gehören soll ${\ mathbf {R_ {0}}}$ ${\ mathbf {R_ {0}}}$ ${\ mathbf {R_ {0}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {R_ {0}}.}$

Die Verbindung zwischen dem Problem und der Funktion ergibt sich aus der Tatsache, dass es sich um eine Lösung handelt, wenn und nur wenn (der Bediener handelt Komponente für Komponente). ${\ mbox {CL}} (M, 0)$ ${\ displaystyle x \ mapsto \ | \ min (x, Mx) \ |}$ $x$ ${\ mbox {CL}} (M, 0)$ ${\ displaystyle \ min (x, Mx) = 0}$ $\ Mindest$

Eigentum

Verbindung mit Miteigentum

Ein Eigenwert oder Pareto-Eigenwert einer symmetrischen reellen Matrix ist ein kritischer Wert des Optimierungsproblems ${\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}}$ $M \ in \ mathbb {R} ^ {{n \ times n}}$

${\ displaystyle \ min _ {{x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ atop \ | x \ | = 1} \ atop x \ geqslant 0} \; x ^ {\! \ top} Mx,}$

d.h. der Wert des Kriteriums an einem stationären Punkt dieses Problems, was darauf hinausläuft zu sagen, dass das unten stehende lineare Komplementaritätsproblem eine Lösung ungleich Null hat : ${\ displaystyle \ mu = x ^ {\! \ top} Mx}$ $x$

${\ displaystyle 0 \ leqslant x \ perp (M- \ mu I) x \ geqslant 0.}$

Gemäß Definition 1 der -Matrizität sehen wir, dass für eine symmetrische Matrix dieser Begriff bedeutet, dass die Matrix keinen richtigen Kovalum von Null hat. Es kann nützlich sein, diese Definition näher an die der Eigenwerte einer symmetrischen Matrix heranzuführen , die als kritische Werte des Rayleigh-Quotienten ohne die hier verwendete Positivitätsbeschränkung erhalten werden können. ${\ mathbf {R_ {0}}}$

Anhänge

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Lineare Komplementarität

Literaturverzeichnis

(en) RW Cottle, J.-S. Pang, RE Stone (2009). Das lineare Komplementaritätsproblem . Klassiker der Angewandten Mathematik 60. SIAM, Philadelphia, PA, USA.
(en) F. Facchinei, J.-S. Pang (2003). Endlich-dimensionale Variationsungleichungen und Komplementaritätsprobleme (2 Bände). Springer-Reihe in Operations Research. Springer-Verlag, New York.