Quadrieren der Parabel

Archimedes versucht , die Fläche zu berechnen P ein Segment einer Parabel, die das krummlinigen Dreiecks zwischen den Punkten der Abszisse heißt a und die Abszisse b , wobei die Achse der Parabel die vertikale Achse zu sein. Dann zeichnet er ein Dreieck, das durch die Punkte Abszisse a , Abszisse b und Abszisse verläuft . Er beschließt daher, sich P durch die Fläche S dieses großen Dreiecks zu nähern . Dann beginnt er wieder in den kleinen krummlinigen Dreiecken, die er zurückgelassen hat. beim+b2{\ displaystyle {\ dfrac {a + b} {2}}}

Er zeigt, dass die Fläche jedes kleinen Dreiecks gleich dem Achtel der Fläche des großen Dreiecks ist, indem er zeigt, dass der horizontale Abstand durch zwei geteilt wurde, während die Höhe durch 4 geteilt wurde. Er kann dann nähere dich P durch die Fläche des großen Dreiecks und der beiden kleinen: dann nähere er sich so weiter der Fläche der Parabel durch . S.+S.4{\ displaystyle S + {\ dfrac {S} {4}}}S.nicht{\ displaystyle S_ {n}}

S.nicht=S.+S.4+S.16+...+S.4nicht{\ displaystyle S_ {n} = S + {\ dfrac {S} {4}} + {\ dfrac {S} {16}} + ... + {\ dfrac {S} {4 ^ {n}}} }}

Wir wissen aus dieser Zeit, dass das geschrieben werden kann S.nicht{\ displaystyle S_ {n}}

S.nicht=43S.- -13S.4nicht{\ displaystyle S_ {n} = {\ dfrac {4} {3}} S - {\ dfrac {1} {3}} {\ dfrac {S} {4 ^ {n}}}}

aber wir wissen nicht, wie wir an die Grenze gehen sollen. Wir wissen nur, wie man das Prinzip der Erschöpfung anwendet, das Archimedes auf diese Weise anruft.

Satz  -  Dies zeigt, dass es offensichtlich ist, dass es möglich ist, in dieses Segment [der Parabel] ein Polygon so einzuschreiben, dass die verbleibenden Segmente kleiner als eine bestimmte Fläche sind; Denn indem wir immer einen Bereich subtrahieren, der aufgrund dieses Satzes größer als die Hälfte [des Segments] ist, ist es offensichtlich, dass wir sie durch Verringern der verbleibenden Segmente [es wird eine Zeit kommen, in der] sie kleiner machen als ein bestimmtes Gebiet.

Dieses Prinzip findet sich in Satz 1 von Buch X der Elemente von Euklid und basiert auf dem Axiom von Archimedes .

Archimedes zeigt dann, dass es absurd ist, dass P größer als und P kleiner als ist . 43S.{\ displaystyle {\ dfrac {4} {3}} S}43S.{\ displaystyle {\ dfrac {4} {3}} S}

• Angenommen, P ist größer als . 43S.{\ displaystyle {\ dfrac {4} {3}} S}Er zeigt, dass der Unterschied zwischen P und so klein gemacht werden kann, wie man es wünscht. In der Tat subtrahieren wir von der Fläche der Parabel die Fläche des Dreiecks, die mehr als die Hälfte der Fläche der Parabel darstellt, da die Fläche des Dreiecks genau die Hälfte der Fläche von beträgt das gezeichnete Parallelogramm, Fläche größer als die Fläche der Parabel. Und so weiter bei jedem Schritt. So kann es kleiner machen als . Dies würde bedeuten, dass größer als ist . Es ist absurd nach dem Ausdruck von .S.nicht{\ displaystyle S_ {n}}P.- -S.nicht{\ displaystyle P-S_ {n}}P.- -43S.{\ displaystyle P - {\ dfrac {4} {3}} S}S.nicht{\ displaystyle S_ {n}}43S.{\ displaystyle {\ dfrac {4} {3}} S}S.nicht{\ displaystyle S_ {n}}

• Angenommen, P ist kleiner als . 43S.{\ displaystyle {\ dfrac {4} {3}} S}Nach dem gleichen Prinzip der Erschöpfung können wir den Unterschied so klein machen, wie wir wollen, da wir bei jedem Schritt 3/4 von dem abziehen, was übrig bleibt. Wir könnten es daher kleiner nehmen als . Dies würde bedeuten, dass größer als P ist . Dies ist absurd, da sich die Dreiecke innerhalb des Parabelsegments befinden.43S.- -S.nicht{\ displaystyle {\ dfrac {4} {3}} S-S_ {n}}43S.- -P.{\ displaystyle {\ dfrac {4} {3}} SP}S.nicht{\ displaystyle S_ {n}}

Archimedes kommt zu dem Schluss, dass die beiden Fälle beseitigt sind . P.=43S.{\ displaystyle P = {\ dfrac {4} {3}} S}

Es ist interessant zu sehen, dass der Ausdruck „weniger als ein bestimmtes Gebiet“ dem Begriff der Grenze, den Archimedes nicht verwendet, sehr nahe kommt. Er zwang sich daher, absurd zu argumentieren, um seine Gleichheit zu beweisen.

Die Methode wird vom arabischsprachigen Mathematiker Ibrahim ibn Sinan aufgegriffen, der die Eigenschaft in drei Schritten demonstriert. Zunächst zeigt er, dass eine Affinität die Flächenverhältnisse von Polygonen bewahrt. Dann kommt das Herzstück seiner Demonstration, die die Erschöpfungsmethode anwendet, um zu beweisen, dass das Verhältnis der Flächen zweier Teile von Parabeln gleich dem Verhältnis der Flächen ihrer zugehörigen Dreiecke ist. Das Ende der Überlegungen ist dann sehr schnell: Wenn er eine Parabel und das zugehörige Dreieck zeichnet, bemerkt er, dass die Fläche der Parabel gleich der Fläche des zugehörigen Dreiecks ist, zu der wir die beiden Bereiche der verbleibenden Teile der Parabeln hinzufügen . Er zeigt, dass die Dreiecke, die diesen Teilen von Parabeln zugeordnet sind, eine Fläche von 1/8 der Fläche des ersten Dreiecks haben. Daraus schließt er, dass es für das Verhältnis der Flächen der Teile der Parabeln gleich ist und erhält so BEIMp{\ displaystyle A_ {p}}BEIMt{\ displaystyle A_ {t}}BEIMp'{\ displaystyle A_ {p '}}

BEIMp=BEIMt+28BEIMp{\ displaystyle A_ {p} = A_ {t} + {\ frac {2} {8}} A_ {p}}

Oder nochmal : . BEIMp=43BEIMt{\ displaystyle A_ {p} = {\ frac {4} {3}} A_ {t}}

Wiegemethode

Archimedes bietet in derselben Arbeit eine Präsentation an, indem er die Quadratur abwägt, die sein mechanisches Genie demonstriert. Das Prinzip wird in einem einzigen Manuskript von Archimedes 'Text beschrieben, das 1906 in einem Palimpsest entdeckt wurde. In seiner Abhandlung La Quadrature de la Parabole ergänzt er seine Argumentation mit der Erschöpfungsmethode .

Er beschließt, die Parabel mit einem Hebelsystem zu wiegen .

Die hier dargestellte Figur ist eine Vereinfachung derjenigen, die in Archimedes 'Werken erscheint. Die Linie (AC) tangiert in A die Parabel, das Segment [BC] verläuft parallel zur Parabelachse. Punkt D ragt parallel zur Parabelachse in der Mitte von [AB] hervor.

Die Idee ist, das Dreieck ABC auszugleichen, das in seinem Schwerpunkt G durch eine bei A 'platzierte Masse aufgehängt ist.

Archimedes geht segmentweise vor. Das in Hg suspendierte Dreieck ABC kann durch eine Vielzahl von in H suspendierten MP-Segmenten ersetzt werden. Archimedes hat bereits gezeigt (auf Parabeln behandelt), dass MN für MP ist, was BM für BA ist. Jetzt sieht es so aus:

M.NICHTM.P.=B.M.B.BEIM{\ displaystyle {\ dfrac {MN} {MP}} = {\ dfrac {BM} {BA}}}

Dank des Satzes von Thales haben wir auch die Gleichheit

B.M.B.BEIM=ÖH.ÖBEIM{\ displaystyle {\ dfrac {BM} {BA}} = {\ dfrac {OH} {OA}}}

Deshalb

M.NICHTM.P.=ÖH.ÖBEIM=ÖH.ÖBEIM'{\ displaystyle {\ dfrac {MN} {MP}} = {\ dfrac {OH} {OA}} = {\ dfrac {OH} {OA '}}}

Dann:

ÖH.×M.P.=ÖBEIM'×M.NICHT{\ displaystyle OH \ times MP = OA '\ times MN}

Das in A 'platzierte Segment [MN] gleicht daher das in H platzierte Segment [MP] aus.

Segment für Segment gleicht es daher das in Hg platzierte Dreieck ABC durch den in A 'platzierten Teil der Parabel aus. Deshalb

×{\ displaystyle \ times}

×{\ displaystyle \ times}

Wie haben wir ÖH.G=13ÖBEIM{\ displaystyle OHg = {\ dfrac {1} {3}} OA}

13{\ displaystyle {\ dfrac {1} {3}}}

Schließlich hat Archimedes in derselben Abhandlung über Gleichnisse bereits gezeigt, dass die Fläche von ABC viermal so groß ist wie die Fläche von ABD.

Die Fläche der Parabel entspricht daher der Fläche des Dreiecks ABD. 43{\ displaystyle {\ dfrac {4} {3}}}

Verwenden der Formel für die Summe der Quadrate für aufeinanderfolgende Ganzzahlen

Diese Methode besteht darin, die Summen der Potenzen aufeinanderfolgender Ganzzahlen zu verwenden, um alle „Sorten von Parabeln“ zu quadrieren. Es besteht darin, im Teil der Parabel oder in der Oberfläche unter den Parabelrechtecken oder Trapezoiden auszuschneiden, deren Fläche proportional zum Quadrat der ganzen Zahlen ist. Diese Methode wurde von Blaise Pascal in seinem Potestam numericarum Summa (1654) entwickelt, der die Methode der Unteilbarkeit verwendet, dann von John Wallis im Jahr 1656, der sie auch auf jeden positiven rationalen Exponenten in seiner Arithmetica infinitorum ausdehnt .

Pascal und Wallis berechnen die Fläche unter der Parabel über das Intervall [0, a ]. Die Fläche des Parabelabschnitts kann dann durch Komplementarität bestimmt werden.

Um die Fläche unter der Parabel zwischen den Punkten der Abszisse 0 und a zu berechnen , teilen wir das Intervall [0, a] in n Intervalle gleicher Größe d, wodurch die Abszisse hervorgehoben wird . Während des Intervalls liegt der Bereich unter der Parabel zwischen dem Bereich der Rechtecke mit der Basis d und den Höhen und . xk,nicht=beimknicht{\ displaystyle x_ {k, n} = a {\ frac {k} {n}}}[xk,nicht,xk+1,nicht]]{\ displaystyle [x_ {k, n}, x_ {k + 1, n}]}xk,nicht2{\ displaystyle x_ {k, n} ^ {2}}xk+1,nicht2{\ displaystyle x_ {k + 1, n} ^ {2}}

Durch Summierung kommen wir zu der Ungleichung:

d∑k=0nicht- -1xk,nicht2≤BEIMp≤d∑k=1nichtxk,nicht2,{\ displaystyle d \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} x_ {k, n} ^ {2} \ leq A_ {p} \ leq d \ sum _ {k = 1} ^ {n} x_ {k, n} ^ {2},}

sei ruhig

beim3nicht3((02+12+22+⋯+((nicht- -1)2)≤BEIMp≤beim3nicht3((12+22+⋯+nicht2).{\ displaystyle {\ frac {a ^ {3}} {n ^ {3}}} (0 ^ {2} + 1 ^ {2} + 2 ^ {2} + \ cdots + (n-1) ^ { 2}) \ leq A_ {p} \ leq {\ frac {a ^ {3}} {n ^ {3}}} (1 ^ {2} + 2 ^ {2} + \ cdots + n ^ {2} ).}

Die Formel für die Summe aufeinanderfolgender Quadrate

12+22+⋯+nicht2=nicht((nicht+1)((2nicht+1)6,{\ displaystyle 1 ^ {2} + 2 ^ {2} + \ cdots + n ^ {2} = {\ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}},}

und ein Durchgang an die Grenze ermöglicht den Abschluss.

beim3nicht3nicht((nicht- -1)((2nicht- -1)6≤BEIMp≤beim3nicht3nicht((nicht+1)((2nicht+1)6.{\ displaystyle {\ frac {a ^ {3}} {n ^ {3}} {\ frac {n (n-1) (2n-1)} {6}} \ leq A_ {p} \ leq { \ frac {a ^ {3}} {n ^ {3}}} {\ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}}.}

BEIMp=beim33.{\ displaystyle A_ {p} = {\ frac {a ^ {3}} {3}}.}

Ein ähnlicher Ansatz wurde bereits während der etabliert IX - ten  Jahrhundert von Thabit ibn Qurra , die offenbar nicht den Archimedes - Vertrag wussten und wurde somit seine eigenen Methoden zu entwickeln gezwungen. Thābit ibn Qurra gleitet in seinem Teil der Parabel-Trapezoide, deren Höhe nicht festgelegt, sondern so konstruiert ist, dass die Flächen der Trapezoide proportional zu den Quadraten der ungeraden ganzen Zahlen sind. Seine Methode besteht darin, im Teil der Parabel der Gleichung Trapezoide auszuschneiden, deren Basen Ordinaten haben, um zwischen 0 und b einzuschließen . Die so erzeugten Trapezoide haben für die Höhe y=x2{\ displaystyle y = x ^ {2}}yk,nicht=bk2nicht2{\ displaystyle y_ {k, n} = b {\ frac {k ^ {2}} {n ^ {2}}}

hk,nicht=b((((k+1)2nicht2- -k2nicht2)=b2k+1nicht2{\ displaystyle h_ {k, n} = b \ left ({\ frac {(k + 1) ^ {2}} {n ^ {2}}} - {\ frac {k ^ {2}} {n ^ {2}}} \ right) = b {\ frac {2k + 1} {n ^ {2}}}

und für Basen

2k+1nichtb{\ displaystyle 2 {\ frac {k + 1} {n}} {\ sqrt {b}}}

2knichtb{\ displaystyle 2 {\ frac {k} {n}} {\ sqrt {b}}}

Die Fläche des Teils der Parabel wird daher durch die Summe der Flächen der Trapezoide angenähert, d. H. Durch

S.nicht=bb1nicht3∑k=0nicht- -1((2k+1)2=bbnicht((4nicht2- -1)/.3nicht3{\ displaystyle S_ {n} = b {\ sqrt {b}} {\ frac {1} {n ^ {3}}} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} (2k + 1) ^ {2} = b {\ sqrt {b}} {\ frac {n (4n ^ {2} -1) / 3} {n ^ {3}}}

Durch eine Erschöpfungsmethode (heute würden wir an die Grenze gehen) beweist er dann, dass die Fläche des Teils der Parabel gleich 4/3 der Fläche des zugehörigen Dreiecks ist.

Verwendung geometrischer Sequenzen

Diese Methode wurde 1636 von Fermat entwickelt und dann verallgemeinert, um die Fläche unter den von ihm als Parabeln und Hyperbeln bezeichneten Flächen zu berechnen, bei denen es sich tatsächlich um die Kurven der Potenzfunktionen handelt (ganzzahlig, positiv, negativ oder 1 / n , verschieden von 1). Das Prinzip besteht darin, den Spalt unter der zu quadrierenden Oberfläche gemäß einem geometrischen Verlauf zu schneiden . Die Fläche unter der Kurve wird dann durch die Fläche der Rechtecke angefahren, die durch diese Unterteilung erhalten werden; Diese Bereiche befinden sich ebenfalls in geometrischem Verlauf. Durch einen doppelten Durchgang zur Grenze (Grenze der geometrischen Reihe, dann Grenze, wenn sich der Grund der Sequenz 1 nähert) finden wir die Fläche der gesuchten Oberfläche.

Man kann es in den aktuellen Notationen an der Halbparabel der Gleichung für das Intervall [0, a] veranschaulichen : Die Aufteilung des Intervalls [0, a] nach einem geometrischen Verlauf der Vernunft r hebt die x-Koordinaten hervor . Während des Intervalls liegt der Bereich unter der Kurve zwischen dem Bereich der Basisrechtecke y2=x{\ displaystyle y ^ {2} = x}xk,r=beimrk{\ displaystyle x_ {k, r} = ar ^ {k}}[xk+1,r,xk,r]]{\ displaystyle [x_ {k + 1, r}, x_ {k, r}]}

dk,r=beim((rk- -rk+1)=beim((1- -r)rk{\ displaystyle d_ {k, r} = a (r ^ {k} -r ^ {k + 1}) = a (1-r) r ^ {k}}

und Höhen

hk,r=beim1/.2rk/.2{\ displaystyle h_ {k, r} = a ^ {1/2} r ^ {k / 2}}

hk+1,r=r1/.2hk,r{\ displaystyle h_ {k + 1, r} = r ^ {1/2} h_ {k, r}}

Durch Summierung kommen wir zu Ungleichheit

beim3/.2((1- -r)r1/.2∑k=0nicht- -1r3k/.2≤BEIMnicht≤beim3/.2((1- -r)∑k=0nicht- -1r3k/.2{\ displaystyle a ^ {3/2} (1-r) r ^ {1/2} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} r ^ {3k / 2} \ leq A_ {n} \ leq a ^ {3/2} (1-r) \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} r ^ {3k / 2}}

Wo ist der Bereich unter der Parabel über das Intervall . Indem wir in der geometrischen Reihe der Vernunft an die Grenze gehen , erhalten wir den Rahmen BEIMnicht{\ displaystyle A_ {n}}[xnicht,r,beim]]{\ displaystyle [x_ {n, r}, a]}r3/.2{\ displaystyle r ^ {3/2}}

beim3/.2((1- -r)r1/.211- -r3/.2≤BEIM≤beim3/.2((1- -r)11- -r3/.2{\ displaystyle a ^ {3/2} (1-r) r ^ {1/2} {\ frac {1} {1-r ^ {3/2}}} \ leq A \ leq a ^ {3 / 2} (1-r) {\ frac {1} {1-r ^ {3/2}}}

dann durch Vereinfachung durch 1- -r1/.2{\ displaystyle 1-r ^ {1/2}}

beim3/.2r1/.21+r1/.21+r1/.2+r≤BEIM≤beim3/.21+r1/.21+r1/.2+r.{\ displaystyle a ^ {3/2} r ^ {1/2} {\ frac {1 + r ^ {1/2}} {1 + r ^ {1/2} + r}} \ leq A \ leq a ^ {3/2} {\ frac {1 + r ^ {1/2}} {1 + r ^ {1/2} + r}}.}

Ein zweiter Durchgang zur Grenze für 1 tendiert zur Gleichheit

BEIM=23beim3/.2{\ displaystyle A = {\ frac {2} {3}} a ^ {3/2}}

Die Fläche des Parabelhalbsegments entspricht 2/3 des Rechtecks, das es enthält.

Diese Technik kann auf jede Gleichungskurve verallgemeinert werden , wobei reales α von -1 verschieden ist, um die Fläche unter der Kurve auf [0, a] zu berechnen, wenn α> -1 oder die Fläche unter der Kurve auf [a; + ∞ [wenn α <-1 y=xα{\ displaystyle y = x ^ {\ alpha}}

Integralrechnung

Die Fläche unter der Parabel über das Intervall [0, a ] entspricht dem Integral

∫0beimx2dx.{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {a} x ^ {2} \ mathrm {d} x.}

Der grundlegende Satz der Analyse ermöglicht es, dieses Integral mit einem Antiderivativ F der Quadratfunktion in Beziehung zu setzen

∫0beimx2dx=F.((beim)- -F.((0){\ displaystyle \ int _ {0} ^ {a} x ^ {2} \ mathrm {d} x = F (a) -F (0)}

Eine Tabelle von Grundelementen ermöglicht es, ein Grundelement der Quadratfunktion zu bestimmen: und liefert das erwartete Ergebnis. F.((x)=x33{\ displaystyle F (x) = {\ frac {x ^ {3}} {3}}}

Anmerkungen und Referenzen

Anmerkungen

1. Das heißt, alle Kurven der Gleichung y = kx n .
2. Pascal und Wallis verwenden die Methode der Unteilbarkeit, bei der an Linien mit gleichem Abstand und nicht an Rechtecken gearbeitet wird.
3. Das gleiche Beispiel wird auch von Fermat bearbeitet , jedoch mit einem sehr weit entfernten Vokabular der des XX - ten  Jahrhunderts sehen Pierre de Fermat , Jules Gerberei und Charles Henry , Fermats Werke , Bd.  3,1896( online lesen ) , p.  216 und folgende.

Verweise

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4. (in) Jacqueline Stedall , "  Die Entdeckung der Wunder: Lesen zwischen den Zeilen von John Wallis 'Arithmetica infinitorum  " , Arch. Hist. Genaue Sci. , Vol.  56, n o  1,2001, p.  1-28 ( DOI  10.1007 / s004070100040 ).
5. (in) John Wallis, Arithmetica infinitorum , Vorschläge XIX bis XXIV .
6. (in) Rushdi Rāshid und Regis Morelon , Enzyklopädie der Geschichte der arabischen Wissenschaft , vol.  2, Routledge ,1996( online lesen ) , p.  421.
7. Stoll 1993 , p.  55.
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Literaturverzeichnis

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• Roshdi Rashed , der unendlich Mathematik IX th zum XI - ten  Jahrhunderts , Bd.  1, London, Al-Furqan Islamic Heritage Foundation,1996
• André Stoll , „  Wie die Geschichte der Mathematik kann uns offenbaren einen möglichen Ansatz zur Integralrechnung  “, Repères-IREM , n o  11,April 1993( online lesen )
• Mathematische Demonstration in der Geschichte , IREM de Lyon
• [PDF] Quadrieren der Parabel
• [PDF] Quadratur nach der Wägemethode , Mathematik-Seminar, IUFM de La Réunion