Pyramide von 11

Die Pyramide von 11 ist eine Variante von Pascals Dreieck . Es erlaubt, die Potenzen von 11 oder genau zu berechnen . Der Unterschied zum Pascalschen Dreieck besteht darin, dass wir den Anschein einer Verschleppung als Addition haben . A×11n{\displaystyle A\times 11^{n}}

Regeln

Die Pyramide von 11 ermöglicht es, das Produkt einer natürlichen Zahl mit einer Potenz von 11 durch aufeinanderfolgende Additionen ohne Multiplikation zu berechnen. Sie wird erhalten, indem die aufeinanderfolgenden Ziffern paarweise von rechts nach links paarweise addiert werden bilden die ganze natürliche Zahl (die wir mit einer Potenz von 11 multiplizieren wollen): Die erste Zeile ist die der betreffenden Zahl, die folgende Zeile die Zahl, die durch diese Berechnung paarweise erhalten wird, und so weiter für die folgenden Zeilen. Die erste Zeile entspricht tatsächlich der Zahl, die 11 mit der Potenz von 0 multipliziert, die zweite der Zahl, die 11 mit der Potenz von 1 multipliziert, und so weiter, wobei die (n + 1) -te Zeile das Ergebnis der Multiplikation der Startzahl ist 11 hoch n. Nehmen Sie zum Beispiel die Zahl 2156478 als Multiplikator mit einer Potenz von 11 und berechnen Sie die Zahl, die in der folgenden Zeile erscheint, die das Ergebnis des Produkts dieser Zahl mit 11 ist. Um die Regel anzuwenden, nehmen wir als Startnummer "02156478,0" durch Hinzufügen einer "virtuellen" Null auf jeder Seite der Nummer. Die Additionen in aufeinanderfolgenden Paaren von links nach rechts sind wie folgt: "8 + 0" (weil die Zahl 2156478 = 2156478,0), "7 + 8", "4 + 7", "6 + 4", "6" + 5 "," 5 + 1 "," 2 + 1 "und" 0 + 2 "(um die erhaltene Zahl zu beenden, weil 2156478 = 02156478). Wenn das Ergebnis dieser Additionen größer oder gleich 10 ist, nehmen wir die letzte Ziffer, aus der das Ergebnis besteht, und behalten 1 bei, die dem nächsten Paar links hinzugefügt wird. Die möglichen Ergebnisse all dieser Ergänzungen gehören zu diesem Intervall:

S=[0,19]{\displaystyle S=[0,19]}

Ein Null-Ergebnis ist in der Tat möglich, wenn die Zahl mehrere aufeinanderfolgende Nullen hat, beispielsweise 2006.

Wenn man das Beispiel von Anfang an betrachtet, ist das Ergebnis von 2156478 mit der Multiplikation von 11 (tatsächlich 11 Exponent 1):

2156478 23721258

Lassen Sie uns stattdessen die Berechnung detailliert beschreiben:

• 8 + 0 = 8, wir setzen die 8 an die erste Stelle
• 8 + 7 = 15, wir setzen die 5 vor die 8 und behalten 1 für die nächste Addition
• 7 + 4 + 1 = 12, wir setzen die 2 vor die 5 und behalten 1 für die nächste Addition
• 6 + 4 + 1 = 11, wir setzen die 1 vor die 2 und behalten 1 für die folgende Addition
• 6 + 5 + 1 = 12, wir setzen die 2 vor die 1 und behalten 1 für die nächste Addition
• 5 + 1 + 1 = 7, wir setzen die 7 vor 2
• 2 + 1 = 3, wir setzen die 3 vor die 7
• 2 + 0 = 2, wir setzen die 2 vor die 3.

Dies ist die letzte Operation, da wir bei der ersten Ziffer angekommen sind, aus der die zu berechnende Zahl besteht. Wir führen dieselbe Operation für diese Abbildung 23721258 durch, die zur Berechnung erhalten wurde . 2156478×112{\displaystyle 2156478\times 11^{2}}

Die Potenz "n" ( ) wird durch die Anzahl der nach der ersten Zeile ausgeführten Zeilen bestimmt, die der Multiplikationszahl der Potenz n von 11 entspricht. Um zum Beispiel zu erhalten, nehmen wir die Zahl 31 und berechnen das Folgende 10 Zeilen, indem die Regel auf jede Zeile angewendet wird. Sei A die Zahl in der ersten Zeile, n eine ganze Zahl, p die zweite Ziffer (rechts beginnend) der ersten geschriebenen Zeile und q die zweite Ziffer (rechts beginnend) der letzten Zeile. n∈N{\displaystyle n\in \mathbb {N} }31×1110{\displaystyle 31\times 11^{10}}

A×10n{\displaystyle A\times 10^{n}}(wo )n=q−p{\displaystyle n=q-p}

Diese Formel funktioniert nicht, wenn die Anzahl der Zeilen 10 überschreitet.

Demonstration

Sie können mit jeder Zahl versuchen, die Pyramide der 11 Technik funktioniert die ganze Zeit. Wie können wir dann zeigen, dass eine solche Methode funktionieren kann?

Versuchen wir, diese Operation zu berechnen: 118221×11=?{\displaystyle 118221\times 11=?}

Die Multiplikation sei wie folgt:

118221 x 11 ------- =118221 1182210 ------- 1300431

Beachten Sie, dass zum Multiplizieren einer Zahl mit 11 die Summe zwischen zwei dieser benachbarten Zahlen addiert wird. Es ist daher einfacher, ohne die Multiplikation zu bitten, direkt zur Methode der Pyramide von 11 überzugehen

118221 1300431

Beispiele

Mit 1 als Startnummer

1 11 121 1331 14641 15101051 1615201561 172135352171

Hier : 117=19487171{\displaystyle 11^{7}=19487171}

Nehmen wir das Beispiel, das in der in der Pyramide verwendeten Berechnungsregel angegeben ist 31×119{\displaystyle 31\times 11^{9}}

31 341 3751 41261 453871 4992581 54918391 604102301 6645125311 73096378421

Deshalb : 31×119=73096378421{\displaystyle 31\times 11^{9}=73096378421}

Gegenseitig

Die Umkehrung der Pyramide von 11 ist interessanter, aber viel schwieriger anzuwenden.

Beispiele

Fall einer durch 11 teilbaren Zahl

Zeigen Sie, dass 1816474 ein Vielfaches von 11 ist

Wir planen, 1816474 zu fragen und suchen nach möglichen Subtraktionen von dieser Zahl.

1,816,474.0

Die erste Subtraktion (von rechts) ist offensichtlich, da sie 4-0 = 4 ist.

18164 7 4 xxxxx 4
(x steht für eine Zahl)

Für 7 musste die zweite Ziffer der vorherigen Nummer vorher eine 3 sein, da 7-4 = 3. Wir können keine 14 haben, da diese Nummer aus 2 Ziffern besteht

1816474 xxxx34

Abzüglich ist dann die dritte Ziffer der vorherigen Zahl 1, weil 4-3 = 1

1816474 xxx134

Und so weiter :

• 6-1 = 5
• 11-5 = 6 (wir können nicht 1-5 machen, weil sonst das Ergebnis dazu gehören würde )Z{\displaystyle \mathbb {Z} }
• 8-6-1 = 2-1 = 1

Also bekommen wir

1816474 165134

Können wir schließen, dass : 1816474=165134×11{\displaystyle 1816474=165134\times 11}

Fall einer Zahl, die nicht durch 11 teilbar ist

Zeigen Sie, dass 18225 nicht durch 11 teilbar ist

Um zu zeigen, dass 18225 nicht durch 11 teilbar ist, müssen wir zeigen, dass der Kehrwert der Pyramide von 11 nicht funktioniert. Das heißt, das Hinzufügen des Ergebnisses des Kehrwerts funktioniert nicht, um die letzte Ziffer zu erhalten.

18225 xxx5

Um die erste Ziffer des Ergebnisses des Kehrwerts zu erhalten, müssen Sie zunächst 5-0 = 5 ausführen. Dann wird die zweite Zahl erhalten, indem 12-5 gemacht wird (und nicht 2-5, weil das Ergebnis eine negative Zahl ist). Wir erhalten 7 und behalten 1.

18225 xx75

Die folgenden Subtraktionen sind:

• 12−1−7=4{\displaystyle 12-1-7=4}
• 8−1−4=3{\displaystyle 8-1-4=3}

Das Ergebnis des Kehrwerts wäre 3475, aber daher funktioniert der Kehrwert nicht und daher können wir schließen, dass 18225 nicht durch 11 teilbar ist. 3+0≠1{\displaystyle 3+0\neq 1}

Organisation durch einen Tisch

Dies ist eine weitere Methode, um die Ziffern zu finden, aus denen das wechselseitige Ergebnis besteht. Nehmen wir zum Beispiel die Nummer 37250615421. Wir möchten wissen, ob sie durch 11 teilbar ist. Wir nennen die Ziffern, aus denen die erste Nummer und das Ergebnis des Kehrwerts bestehen. Rn{\displaystyle R_{n}}Tn{\displaystyle T_{n}}

37250615421 xxxxxxxxxx

Wir organisieren das Ergebnis des Kehrwerts durch eine Tabelle, in der die auszuführenden Operationen zusammengefasst sind:

	R{\displaystyle R}	T1{\displaystyle T_{1}}	Ret.	T2{\displaystyle T_{2}}
1	1	0	0	1
2	2	1	0	1
3	4	1	0	3
4	5	3	0	2
5	11	2	0	9
6	16	9	1	6
7	10	6	1	3
8	5	3	1	1
9	2	1	0	1
10	7	1	0	6
11	6	0	0	6

Da die Zahl nicht durch 11 teilbar ist 6+0≠3{\displaystyle 6+0\neq 3}

Erläuterung der Funktionsweise und Einbehaltung der Tabelle

Zuerst zählen wir die Anzahl der Ziffern in der Zahl, in der wir nach der Teilbarkeit suchen, durch 11. Die Tabelle enthält so viele Zeilen wie Ziffern. In der Kopfzeile befinden sich vier Spalten: R (die Ziffer der Nummer in der ersten Zeile) ,, die erste Ziffer von rechts; Ret. wo wir die Abzüge und die zweite Ziffer aus der berechneten Zeile setzen. T1{\displaystyle T_{1}}T2{\displaystyle T_{2}}

Um zu finden , müssen Sie die Subtraktion durchführen . In der ersten Zeile ist immer gleich 0. Wir können auch feststellen, dass die erste Zeile immer gleich ist . Durch die Nummerierung der Zeilen ist es einfacher, sich zurechtzufinden. R wird durch die n-te Ziffer bestimmt, die wir berechnen möchten. T2{\displaystyle T_{2}}R−T2{\displaystyle R-T_{2}}T1{\displaystyle T_{1}}T2{\displaystyle T_{2}}T1{\displaystyle T_{1}}

Wenn R kleiner als ist , muss 10 zu R addiert werden, aber in der nächsten Zeile muss eine 1 vom Endergebnis abgezogen werden. T1{\displaystyle T_{1}}

Verallgemeinerung

Es seien zwei Zahlen geschrieben:

N1=qnrn−1rn−2…r1r0¯10{\displaystyle N_{1}={\overline {q_{n}r_{n-1}r_{n-2}\ldots r_{1}r_{0}}}^{10}} oder N1=qn×10n+rn−1×10n−1+rn−2×10n−2…r1×10+r0{\displaystyle N_{1}=q_{n}\times 10^{n}+r_{n-1}\times 10^{n-1}+r_{n-2}\times 10^{n-2}\ldots r_{1}\times 10+r_{0}} N2=sn−1tn−2tn−3…t1t0¯10{\displaystyle N_{2}={\overline {s_{n-1}t_{n-2}t_{n-3}\ldots t_{1}t_{0}}}^{10}} oder N2=sn×10n+tn−1×10n−1+tn−2×10n−2…t1×10+t0{\displaystyle N_{2}=s_{n}\times 10^{n}+t_{n-1}\times 10^{n-1}+t_{n-2}\times 10^{n-2}\ldots t_{1}\times 10+t_{0}}

Wir wollen die Teilbarkeit dieser Zahl durch 11 zeigen, indem wir die Umkehrung der Pyramide von 11 anwenden. Dazu müssen wir zeigen, dass eine zweite Zahl ( ) existiert, so dass: N2{\displaystyle N_{2}}

• t0=r0−0{\displaystyle t_{0}=r_{0}-0}
• t1=r1−t0{\displaystyle t_{1}=r_{1}-t_{0}}
• t2=r2−t1{\displaystyle t_{2}=r_{2}-t_{1}}

oder allgemeiner .rn=rn−1−tn−1{\displaystyle r_{n}=r_{n-1}-t_{n-1}}

Wir haben folgende Konstruktion:

qnrn−1rn−2…r1r0¯{\displaystyle {\overline {q_{n}r_{n-1}r_{n-2}\ldots r_{1}r_{0}}}} xxx…t2t1t0¯{\displaystyle {\overline {xxx\ldots t_{2}t_{1}t_{0}}}}

So können wir 10 hinzuzufügen . Aber um das zu tun, muss man diese Subtraktion habenrn≠rn−1−tn−1{\displaystyle r_{n}\neq r_{n-1}-t_{n-1}}rn−1{\displaystyle r_{n-1}}rn+1=rn−1−tn{\displaystyle r_{n+1}=r_{n}-1-t_{n}}

Verallgemeinerung

Die Pyramide von 11 funktioniert in Basis 10. Wir können dasselbe in einer Basis n für die Zahl n + 1 tun. Wir dürfen jedoch nicht vergessen, die Zahlen in Basis 10 umzuwandeln und das Maximum der Anzahl der Zeilen zu berücksichtigen, das n ist.

Beispiele

Für 5 ^ n in Basis 4:

5 ^ n	Pyramide von 11	Pyramide von 5
50{\displaystyle 5^{0}}	1	1
51{\displaystyle 5^{1}}	11	5
52{\displaystyle 5^{2}}	121	25
53{\displaystyle 5^{3}}	1331	125

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