Zweikörperproblem

Das Zwei-Körper-Problem ist ein wichtiges theoretisches Modell der Mechanik, sei es klassisch oder quantenmechanisch, in dem die Bewegungen zweier an materielle Punkte assimilierter Körper in gegenseitiger ( konservativer ) Wechselwirkung untersucht werden , wobei das globale System als isoliert betrachtet wird. In diesem Artikel wird nur das Zweikörperproblem der klassischen Mechanik angegangen (siehe zum Beispiel den Artikel Wasserstoffatom für ein Beispiel in der Quantenmechanik ), zuerst im allgemeinen Fall eines anziehenden Potentials, dann im sehr wichtigen Sonderfall, wo die beiden Körper befinden sich in Gravitationswechselwirkung oder Keplersche Bewegung, die ein wichtiges Thema der Himmelsmechanik ist .

Die Bedeutung dieses Problems ergibt sich in erster Linie aus seinem exakt integrierbaren Charakter, im Gegensatz zum Problem mit drei Körpern und mehr . Tatsächlich lässt sich das Problem mit zwei Körpern, das a priori sechs Freiheitsgrade hat, auf die Lösung eines Problems mit einem einzigen Körper mit nur einem Freiheitsgrad zurückführen.

Darüber hinaus ermöglichen die gewonnenen Ergebnisse, die Bahnen der Planeten im Sonnensystem (im heliozentrischen Bezugssystem) sowie ihrer natürlichen oder künstlichen Satelliten zumindest in erster Näherung zu erklären . Man findet dann die Keplerschen Gesetze , durch die Analyse von astronomischen Beobachtungen aus dem markierten XVII ten  Jahrhundert. Die angedachte Situation ist also alles andere als rein akademisch. Die erste Lösung dieses Problems wurde von Newton aufgedeckt , der das Grundgesetz der klassischen Mechanik formulierte: Das Ergebnis wird in den Sätzen 57 bis 65 seiner Principia bekannt gegeben .

Gegenstand dieses Artikels ist die Darstellung und allgemeine Behandlung des Zweikörperproblems mit der Demonstration der Keplerschen Gesetze und der detaillierten Untersuchung der verschiedenen Typen möglicher Trajektorien. Die Frage der Bestimmung der Bahnelemente sowie die Gleichungen von Kepler und Barker und ihre Anwendungen sind Gegenstand eigener Artikel (siehe Artikel Keplersche Bewegung , Keplersche Gleichung und Bahnelemente ).

Geplante Situation und Bewertungen

Das Zweikörperproblem ist das zweier Körper der Masse m 1 und m 2 , die in gegenseitiger Wechselwirkung den materiellen Punkten M 1 bzw. M 2 assimiliert werden . Die von M 1 auf M 2 ausgeübte Kraft leitet sich von einem anziehenden Potential V ( r ) ab und ist zu beachten : Aufgrund des dritten Newtonschen Gesetzes (oder des Prinzips der Wechselwirkung) ist offensichtlich, dass . F12→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F_ {12}}}}F21→=-F12→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F_ {21}}} = - {\ overrightarrow {F_ {12}}}}

Das Gesamtsystem wird als isoliert betrachtet, es soll die Bewegung von M 1 und M 2 in Bezug auf ein Referenzsystem ( R ) unter Annahme Galileis untersucht werden , der Landmarken-zugehörige Raum hat seinen Ursprung O .

Die folgenden Notationen werden später übernommen: , , und . r1→=ÖM1→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r_ {1}}} = {\ overrightarrow {OM_ {1}}}}r2→=ÖM2→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r_ {2}}} = {\ overrightarrow {OM_ {2}}}}r→=defr12→=M1M2→=r2→-r1→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}} {\ stackrel {\ text {def}} {=}} {\ overrightarrow {r_ {12}}} = {\ overrightarrow {M_ {1} M_ {2}}} = {\ overrightarrow {r_ {2}}} - {\ overrightarrow {r_ {1}}}}

Die Bewegungsgleichungen in ( R ) jedes der Körper werden dann unter Verwendung der fundamentalen Beziehung der Dynamik geschrieben  :

{ich1r1→¨=F21→=-F12→ich2r2→¨=F12→{\ displaystyle {\ begin {cases} m_ {1} {\ ddot {\ overrightarrow {r_ {1}}}} = {\ overrightarrow {F_ {21}}} = - {\ overrightarrow {F_ {12}}} \\ m_ {2} {\ ddot {\ overrightarrow {r_ {2}}}} = {\ overrightarrow {F_ {12}}} \ end {cases}}}, (1).

Die Strategie zur Lösung des Problems ist dann die folgende: zunächst die Bewegung eines einzelnen Körpers untersuchen, indem man den Begriff des fiktiven Teilchens einführt  ; kommen dann zu einem eindimensionalen Problem, das leicht zu lösen ist.

Reduktion auf ein Problem auf einen Körper

Die Tatsache, dass das System isoliert ist, ermöglicht es, die triviale Bewegung seines Trägheitszentrums von der eines Körpers in Bezug auf den anderen zu trennen und tatsächlich auf das Studium der Bewegung eines einzelnen Teilchens zurückzukommen, das als fiktiv bezeichnet wird .

Impulserhaltung - baryzentrischer Bezugssystem

Die Addition der beiden Bewegungsgleichungen ergibt sofort:

ich1r1→¨+ich2r2→¨=(ich1+ich2)RVS→¨=0→{\ displaystyle m_ {1} {\ ddot {\ overrightarrow {r_ {1}}}} + m_ {2} {\ ddot {\ overrightarrow {r_ {2}}}} = \ left (m_ {1} + m_ {2} \ right) {\ ddot {\ overrightarrow {R_ {C}}}} = {\ overrightarrow {0}}}, mit C Schwerpunkt des Systems, mit Ortsvektor .RVS→=ÖVS→=ich1r1→+ich2r2→ich1+ich2{\ displaystyle {\ overrightarrow {R_ {C}}} = {\ overrightarrow {OC}} = {\ frac {m_ {1} {\ overrightarrow {r_ {1}}} + m_ {2} {\ overrightarrow {r_ {2}}}} {m_ {1} + m_ {2}}}}

Folglich, und wie für ein isoliertes System zu erwarten, ist die Bewegung des Massenmittelpunkts C in ( R ) geradlinig und gleichmäßig (oder am Limit, in Ruhe), und es ist möglich, sich in das Bezugssystem des Schwerpunkt ( R c ) (der aufgrund der geradlinigen und gleichmäßigen Bewegung des Körpers, mit dem er verbunden ist, Galileisch sein wird, wobei ( R ) als Galileisch angenommen wird), wird baryzentrisch genannt , um die vorherigen Bewegungsgleichungen umzuschreiben.

Einführung des Begriffs des fiktiven Teilchens

Durch das Posieren ist es möglich zu schreiben: r→=defr2→-r1→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}} {\ stackrel {\ text {def}} {=}} {\ overrightarrow {r_ {2}}} - {\ overrightarrow {r_ {1}}}}

{r1→=R→VS-ich2ich1+ich2r→r2→=R→VS+ich1ich1+ich2r→{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ overrightarrow {r_ {1}}} = {\ overrightarrow {R}} _ {C} - {\ frac {m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2 }}} {\ overrightarrow {r}} \\ {\ overrightarrow {r_ {2}}} = {\ overrightarrow {R}} _ {C} + {\ frac {m_ {1}} {m_ {1} + m_ {2}}} {\ overrightarrow {r}} \ end {cases}}}, (2).

Es genügt, den Unterschied zwischen den beiden Bewegungsgleichungen (1) zu berücksichtigen und den galiläischen Charakter des baryzentrischen Bezugssystems zu berücksichtigen, der impliziert , um zu erhalten: R→vs¨=0→{\ displaystyle {\ ddot {{\ vec {R}} _ {c}}} = {\ vec {0}}}

r→¨=(1ich1+1ich2)F→12=(ich1+ich2ich1ich2)F12→{\ displaystyle {\ ddot {\ vec {r}}} = \ left ({\ frac {1} {m_ {1}}} + {\ frac {1} {m_ {2}}} \ right) {\ vec {F}} _ {12} = \ left ({\ frac {m_ {1} + m_ {2}} {m_ {1} m_ {2}}} \ right) {\ overrightarrow {F_ {12}} }}.

Diese Gleichung ist tatsächlich die der Bewegung eines einzelnen Körpers mit drei Freiheitsgraden:

μr→¨=F→{\ displaystyle \ mu {\ ddot {\ overrightarrow {r}}} = {\ overrightarrow {F}}},

mit , reduzierter Masse des Systems, und . μ=defich1ich2ich1+ich2{\ displaystyle \ mu {\ stackrel {\ text {def}} {=}} {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}F→=F12→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}} = {\ overrightarrow {F_ {12}}}}

Im baryzentrischen Bezugssystem wird das Problem daher auf die Bewegung eines sogenannten fiktiven Teilchens der Masse μ und des Radiusvektors reduziert , wobei die Bahnen der Körper M 1 und M 2 homothetisch abgeleitet werden, gemäß dem Vorhergehenden Formeln auf . r→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}}}r→1,2{\ displaystyle {\ vec {r}} _ {1,2}}

Es sollte beachtet werden, dass in dem besonders wichtigen Fall, in dem einer der Körper eine viel größere Masse hat als der zweite (zentraler Körper, im Allgemeinen ein Stern oder ein "großer" Planet), beispielsweise wenn , der Massenschwerpunkt des Systems ist praktisch mit diesem zentralen Körper verschmolzen, und die reduzierte Masse ist praktisch gleich der des anderen Körpers ,. Beachten Sie jedoch, dass für die Bewegung des Mondes , der im Sonnensystem die höchste relative Masse eines Satelliten im Vergleich zu seinem Planeten (1/81 Mt) hat, diese Näherung relativ ungenau ist. ich1»ich2{\ displaystyle m_ {1} \ gg m_ {2}}μ≃ich2{\ displaystyle \ mu \ simeq m_ {2}}

Primintegral des Drehimpulses - Ebenheit der Bahn - Flächengesetz -

Im sehr wichtigen Sonderfall einer Zentralkraft, haben wir mit , wird der Satz vom Drehimpuls im Kraftzentrum mit O geschrieben: F→=F(r)er→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}} = F (r) {\ overrightarrow {e_ {r}}}}er→=defr→r{\ displaystyle {\ overrightarrow {e_ {r}}} {\ stackrel {\ text {def}} {=}} {\ dfrac {\ overrightarrow {r}} {r}}}

L→˙=r→×F→=0→{\ displaystyle {\ dot {\ overrightarrow {L}}} = {\ overrightarrow {r}} \ mal {\ overrightarrow {F}} = {\ overrightarrow {0}}},

was impliziert . L→=r→×(μr→˙)=vste→{\ displaystyle {\ overrightarrow {L}} = {\ overrightarrow {r}} \ mal \ left (\ mu {\ dot {\ overrightarrow {r}}} \ right) = {\ overrightarrow {\ mathrm {cte}} }}

Physikalisch bedeutet dies, dass der Ortsvektor und der Geschwindigkeitsvektor des fiktiven Teilchens immer senkrecht zu einem konstanten Vektor stehen: die Flugbahn von M ist also eben , das Problem hat also zwei Freiheitsgrade.

In der Ebene der Trajektorie, definiert als die von und erzeugte , ist es sinnvoll, sich in zylindrisch-polare Koordinaten der Achse der Richtung Oz von mit einem θ- Winkel zwischen und zu platzieren : r→(t=0)=r→0{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}} \ left (t = 0 \ right) = {\ overrightarrow {r}} _ {0}}r→˙(t=0)=v→0{\ displaystyle {\ dot {\ overrightarrow {r}}} \ left (t = 0 \ right) = {\ overrightarrow {v}} _ {0}}L→=Lez→{\ displaystyle {\ overrightarrow {L}} = L {\ overrightarrow {e_ {z}}}}r→0{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}} _ {0}}r→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}}}

L→=(rer→)×μ(r˙er→+(rθ˙)eθ→)=μr2θ˙ez→{\ displaystyle {\ overrightarrow {L}} = \ left (r {\ overrightarrow {e_ {r}}} \ right) \ mal \ mu \ left ({\ dot {r}} {\ overrightarrow {e_ {r} }} + \ left (r {\ dot {\ theta}} \ right) {\ overrightarrow {e _ {\ theta}}} \ right) = \ mu r ^ {2} {\ dot {\ theta}} { \ overrightarrow {e_ {z}}}},

als Ergebnis:

μr2θ˙=L=vste{\ displaystyle \ mu r ^ {2} {\ dot {\ theta}} = L = \ mathrm {cte}}(3).

Nun ist die vom Strahlvektor während d t überstrichene Elementarfläche gegeben durch: r→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}}}

dBEIM=12r2dθ{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {A}} = {\ dfrac {1} {2}} r ^ {2} \ mathrm {d} \ theta}.

Die Areolargeschwindigkeit ist also für das fiktive Teilchen konstant (sie ist homothetisch für reale Körper gleich):

BEIM˙=dBEIMdt=12VS=vste{\ displaystyle {\ dot {\ mathcal {A}}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ mathcal {A}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {1} {2 }} C = \ mathrm {cte}},

mit , die Flächenkonstante . VS=defLμ{\ displaystyle C {\ stackrel {\ text {def}} {=}} {\ frac {L} {\ mu}}}

Als Ergebnis überstreicht der Vektorstrahl jedes Partikels gleiche Flächen in gleichen Zeiten. Diese Eigenschaft gilt in der Tat für jede Bewegung mit einer zentralen Kraft. Aus dem Ausdruck von C ist leicht zu erkennen, dass die Winkelgeschwindigkeit des fiktiven Teilchens umgekehrt proportional zum Abstand r ist, also maximal ist, wenn dieser minimal ist , d. h. am Periastron in der Keplerschen Bewegung - vgl. infra.

Anmerkungen:

• Eine gleichförmige Kreisbewegung ist ein einfacher Fall von Bewegung, die dem Flächengesetz gehorcht;
• Der Ausdruck von L impliziert, dass die momentane Winkelgeschwindigkeit entlang der Flugbahn niemals das Vorzeichen ändert: In gewisser Weise drehen sich das fiktive Teilchen und damit die beiden "realen" Körper auf ihren Flugbahnen "immer in die "gleiche Richtung";θ˙{\ displaystyle {\ dot {\ theta}}}
• Wenn L = 0, ist die Bewegung geradlinig: dieser spezielle Fall (genannt entartet) wird später ausgeschlossen.

Primintegral der Energie - effektives Potenzial

Da die Bewegung konservativ ist, da die Kraft von einer potentiellen Energie V ( r ) abgeleitet wird, ist die Gesamtenergie ein erstes Integral der Bewegung:

H=12μr→˙2+V(r)=vste{\ displaystyle H = {\ frac {1} {2}} \ mu {\ dot {\ overrightarrow {r}}} ^ {2} + V (r) = \ mathrm {cte}}, oder , oder unter Verwendung des Ausdrucks des Wertes des Drehimpulses L  :r→˙2=r˙2+r2θ˙2{\ displaystyle {\ dot {\ overrightarrow {r}}} ^ {2} = {\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2}} H=12μr˙2+Ueff(r){\ displaystyle H = {\ frac {1} {2}} \ mu {\ dot {r}} ^ {2} + U _ {\ text {eff}} \ left (r \ right)}, (4),

mit Wirkungspotential . Ueff(r)=defL22μr2+V(r){\ displaystyle U _ {\ text {eff}} \ left (r \ right) {\ stackrel {\ text {def}} {=}} {\ frac {L ^ {2}} {2 \ mu r ^ { 2 }}} + V (r)}

Schließlich geht das Problem auf die Untersuchung der Bewegung eines einzelnen Körpers mit einem einzigen Freiheitsgrad r zurück . Dies gilt im Fall des Zweikörperproblems immer, unabhängig von der Art des Wechselwirkungspotentials.

Analytische Auflösung

Nach (4) ist es möglich, die Radialgeschwindigkeit auszudrücken , es folgt: . r˙{\ Anzeigestil {\ Punkt {r}}}r˙=drdt=2μ(H-V(r))-L2μ2r2{\ displaystyle {\ dot {r}} = {\ frac {\ mathrm {d} r} {\ mathrm {d} t}} = {\ sqrt {{\ frac {2} {\ mu}} \ left ( HV (r) \ rechts) - {\ frac {L ^ {2}} {\ mu ^ {2} r ^ {2}}}}}}

Es ist dann möglich, die Variablen zu trennen und zwischen zwei Zeitpunkten t 0 und t zu integrieren , denen jeweils die radialen Positionen r 0 und r entsprechen , um zu erhalten:

t-t0=∫r0rdr'2μ(H-V(r'))-L2μ2r'2{\ displaystyle t-t_ {0} = \ int _ {r_ {0}} ^ {r} {\ frac {\ mathrm {d} r '} {\ sqrt {{\ frac {2} {\ mu}} \ left (HV (r ') \ right) - {\ frac {L ^ {2}} {\ mu ^ {2} r' ^ {2}}}}}}}, (4bis).

Dies entspricht implizit der Stundengleichung r ( t ).

Unter Berücksichtigung von (4) ist es dann möglich, einen ähnlichen Ausdruck für θ zu erhalten  :

θ-θ0=∫r0rLr'2dr'2μ(H-V(r'))-L2r'2{\ displaystyle \ theta - \ theta _ {0} = \ int _ {r_ {0}} ^ {r} {\ frac {{\ frac {L} {r '^ {2}}} \ mathrm {d} r '} {\ sqrt {2 \ mu \ links (HV (r') \ rechts) - {\ frac {L ^ {2}} {r '^ {2}}}}}}}, (4ter).

Diese beiden Ausdrücke sind in der Praxis schwer zu verwenden. Sie erlauben jedoch eine qualitative Diskussion über die Art der möglichen Bewegungen.

Qualitative Untersuchung möglicher Bewegungen

Der Ausdruck , immer positiv, entspricht im Ausdruck , einer Zentrifugalsperre . Als Potential V ( r ) wird angenommen: Ueff(r){\ displaystyle U _ {\ text {eff}} \ left (r \ right)}L22μr2{\ displaystyle {\ frac {L ^ {2}} {2 \ mu r ^ {2}}}}

• attraktiv  : wir haben also V ( r ) monoton steigend für alle r  ;
• regulär im Ursprung: das heißt , und daher dominiert der Term in 1 ⁄ r 2 wenn .limr→0+r2|V(r)|=0{\ displaystyle \ lim _ {r \ to 0 ^ {+}} r ^ {2} \ left | V (r) \ right | = 0}r→0+{\ displaystyle r \ zu 0 ^ {+}}

Obwohl dies im letzteren Fall nicht wesentlich ist, wird V ( r ) auch als unendlich begrenzt angenommen, entweder mit einer wohlüberlegten Wahl des Ursprungs von Potentialen . Gemäß Konvention V ( r ) < 0. limr→∞V(r)=0+{\ displaystyle \ lim _ {r \ to \ infty} V (r) = 0 ^ {+}}

Unter diesen Bedingungen, gültig für die üblichen physikalischen Potentiale, stellt das effektive Potential ein eindeutiges absolutes Minimum dar, das für so notiert ist , und hat daher ein Potentialbecken (vgl. nebenstehende Abbildung mit Newtonschem Potential). -UMindest<0{\ displaystyle -U _ {\ min} <0}r=rich{\ Displaystil r = r_ {m}}dUeffdr|r=rich=0{\ displaystyle \ left. {\ frac {\ mathrm {d} U _ {\ text {eff}}} {\ mathrm {d} r}} \ right |_ {r = r_ {m}} = 0}

Darüber hinaus war es nach dem Ausdruck von H  : die Werte von r dürfen sein wie . H-Ueff(r)=12μr˙2⩾0{\ displaystyle H-U _ {\ text {eff}} (r) = {\ frac {1} {2}} \ mu {\ dot {r}} ^ {2} \ geqslant 0}Ueff(r)⩽H{\ displaystyle U _ {\ text {eff}} (r) \ leqslant H}

Es ist daher möglich, die folgenden Fälle qualitativ zu betrachten (wobei L ungleich Null ist):

• Gesamtenergie H > 0: seit wann ist diese Bedingung für jeden Wert von mit r min minimalem Annäherungsabstand erfüllt, so dass . Das fiktive Teilchen kann also mit einer positiven Radialgeschwindigkeit gleich unendlich ins Unendliche gehen .Ueff(r)⟶0-{\ displaystyle U _ {\ text {eff}} \ left (r \ right) \ longrightarrow 0 ^ {-}}r→∞{\ displaystyle r \ bis \ infty}r⩾rMindest{\ displaystyle r \ geqslant r _ {\ min}}Ueff(rMindest)=H{\ displaystyle U _ {\ text {eff}} \ left (r _ {\ min} \ right) = H}r˙ichbeimx=2Hμ{\ displaystyle {\ dot {r}} _ {max} = {\ sqrt {\ dfrac {2H} {\ mu}}}}

• Gesamtenergie H = 0: Grenzfall , wo die Teilchen bis ins Unendliche gehen kann, aber mit Radialgeschwindigkeit Null, entsprechend der vorstehenden Formel, die minimale Annäherungsabstand derart ist, daß , dh .Ueff(rMindest)=0{\ displaystyle U _ {\ text {eff}} \ left (r _ {\ min} \ right) = 0}V(rMindest)=-L22μrichichnicht2{\ displaystyle V \ left (r _ {\ min} \ right) = - {\ frac {L ^ {2}} {2 \ mu r_ {min} ^ {2}}}}

• Gesamtenergie  : In diesem Fall ist das Teilchen in einem genauen Raumbereich zwischen den beiden Werten von r wie (Haltepunkte) eingeschlossen. An jedem dieser Punkte wird die Radialgeschwindigkeit aufgehoben, bei der momentanen Winkelgeschwindigkeit ist dies jedoch nicht der Fall (vgl. Ausdruck von H und Bemerkungen dazu).0>H>-UMindest{\ displaystyle 0> H> -U _ {\ min}}Ueff(rMindest,max)=H<0{\ displaystyle U _ {\ text {eff}} \ left (r _ {\ min, \ max} \ right) = H <0}

Aufgrund der Beschränkung der Bewegung kann die Dauer t für r, um von r min bis r max zu variieren , leicht erhalten werden, indem der Integralausdruck verwendet wird, der t ergibt . Da die Zeitinvarianz des Hamilton-Operators impliziert, dass diese Dauer von r max bis r min gleich ist , ist die radiale Bewegung daher periodisch mit der Periode T gegeben durch: T=2∫rMindestrmaxdr2μ(H-V(r))-L2μ2r2{\ displaystyle T = 2 \ int _ {r _ {\ min}} ^ {r _ {\ max}} {\ frac {\ mathrm {d} r} {\ sqrt {{\ frac {2} {\ mu }} \ left (HV (r) \ right) - {\ frac {L ^ {2}} {\ mu ^ {2} r ^ {2}}}}}}} Und in einer radialen Periode , wo der Winkel & thgr; von der Menge Δ variiert θ durch den integralen Ausdruck gegeben θ  : Δθ=2∫rMindestrmaxLr2dr2μ(H-V(r))-L2r2{\ displaystyle \ Delta \ theta = 2 \ int _ {r _ {\ text {min}}} ^ {r _ {\ text {max}}} {\ frac {{\ frac {L} {r ^ {2 }} } \ mathrm {d} r} {\ sqrt {2 \ mu \ left (HV (r) \ right) - {\ frac {L ^ {2}} {r ^ {2}}}}}}}. Es ist jedoch wichtig zu betonen, dass die Beschränkung der Bewegung in keiner Weise impliziert, dass die Bewegungsbahn des Mobiltelefons eine geschlossene Kurve ist . Dafür wäre es ja nur bei m und n ganzen Zahlen notwendig . In diesem Fall, und nur in diesem Fall, kehrt der Vektorradius nach n "radialen" Perioden T auf seinen Anfangswert zurück , da er sich dann um 2 mp "gedreht" hat  : nT ist tatsächlich die Periode der Bewegung und von die Funktion. θ ( t ). Eine solche Situation entspricht radialen und Winkelperioden, die kommensurabel sind , und es ist eine notwendige und hinreichende Bedingung, dass die begrenzte Bewegung gemäß einer geschlossenen Kurve erfolgt. Diese Bedingung wird nur durch das Newtonsche Potential bei 1 / r und das isotrope räumliche harmonische Potential V ( r ) = kr 2 erfüllt (letzterer Fall wird nicht weiter betrachtet): Dieses Ergebnis bildet den Satz von Bertrand .Δθ=2πichnicht{\ displaystyle \ Delta \ theta = {\ frac {2 \ pi m} {n}}}r→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}}}

• Gesamtenergie  : Dies ist die Grenze der einzigen Fall , in dem zulässigen Wert von r ist r m , und in diesem Fall ist die Flugbahn ist ein Kreis dieses Radius.H=-UMindest<0{\ Anzeigestil H = -U _ {\ min} <0}

• Gesamtenergie  : Diese Werte von r sind verboten und entsprechen nichts Physikalischem.H<-UMindest{\ displaystyle H <-U _ {\ min}}

Im Folgenden wird gezeigt, dass jeder dieser Fälle den besonderen Trajektorienformen der Keplerschen Bewegung entspricht, nämlich einer Hyperbel, einer Parabel, einer Ellipse und einem Kreis. Die bisherige Diskussion lässt sich in der nebenstehenden Abbildung grafisch zusammenfassen.

Degeneration der Bewegung

Die vorherige Studie wurde unter der Annahme durchgeführt . Wenn L = 0 ist, haben wir einfach jederzeit, und die Bewegung ist rein radial  : sie heißt entartet. Die vorherige Diskussion ist vereinfacht, die vorherige Bedingung (4bis) läuft auf , in allen Fällen verifiziert, wenn . Ansonsten lässt sich leicht nachweisen, dass das Teilchen auf das Kraftzentrum "fällt". L≠0{\ displaystyle L \ neq 0}θ˙=0{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = 0}V(r)⩽H{\ displaystyle V (r) \ leqslant H}H⩾0{\ displaystyle H \ geqslant 0}

Fall der Keplerschen Bewegung

Die Keplersche Bewegung entspricht dem Fall, dass die beiden Körper in gravitativer Wechselwirkung stehen, also mit dem Wechselwirkungspotential , und damit mit der Gesamtmasse des Systems. Alles geschieht dann so, als ob das fiktive Teilchen M der gravitativen Wechselwirkung eines Körpers ausgesetzt wäre, der von der Gesamtmasse des Systems im Ursprung O des Strahlenvektors beeinflusst wird. Würden die bisherigen allgemeinen Ergebnisse, die übrigens für jede Bewegung in einem konservativen Zentralpotential V ( r ) gelten, bereits die Stundengleichung r = r ( t ) bestimmen , so hat das Newtonsche Potential ein Primintegral Partikular, die Runge- Lenz-Vektor, der es ermöglicht, auf einfache Weise die Bahngleichung zu erhalten. V(r)=-Gich1ich2r{\ displaystyle V (r) = - {\ frac {Gm_ {1} m_ {2}} {r}}}F→=-Gich1ich2r2er→=-GμMTr2er→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}} = - G {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {r ^ {2}}} {\ overrightarrow {e_ {r}}} = - G {\ frac {\ mu M_ {T}} {r ^ {2}}} {\ overrightarrow {e_ {r}}}}MT=defich1+ich2{\ displaystyle M_ {T} {\ stackrel {\ text {def}} {=}} m_ {1} + m_ {2}}

Runge-Lenz-Invariante - Bahngleichungen

Existenz eines zusätzlichen ersten Integrals

Das Newtonsche Potential ist durch die Existenz einer bestimmten zusätzlichen Invariante, der Runge-Lenz-Invariante , gekennzeichnet durch: 1/r{\ Anzeigestil 1 / r}

e→=(r→˙×L→)GMTμ-er→{\ displaystyle {\ overrightarrow {e}} = {\ frac {\ left ({\ dot {\ overrightarrow {r}}} \ mal {\ overrightarrow {L}} \ right)} {GM_ {T} \ mu} } - {\ overrightarrow {e_ {r}}}}, (5) Demonstration r→¨×L→=d(r→˙×L→)dt=r→¨×[r→×(μr→˙)]{\ displaystyle {\ ddot {\ overrightarrow {r}}} \ mal {\ overrightarrow {L}} = {\ frac {d \ left ({\ dot {\ overrightarrow {r}}} \ mal {\ overrightarrow {L }} \ right)} {\ mathrm {d} t}} = {\ ddot {\ overrightarrow {r}}} \ mal \ left [{\ overrightarrow {r}} \ mal \ left (\ mu {\ dot { \ overrightarrow {r}}} \ right) \ right]}, wo es berücksichtigt wurde , was Folgendes ergibt:L→=vste→{\ displaystyle {\ overrightarrow {L}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {cte}}}} d(r→˙×L→)dt=-GMTer→r2×(μr2θ˙ez→)=GMTμθ˙eθ→{\ displaystyle {\ frac {d \ left ({\ dot {\ overrightarrow {r}}} \ mal {\ overrightarrow {L}} \ right)} {\ mathrm {d} t}} = - {\ frac { GM_ {T} {\ overrightarrow {e_ {r}}}} {r ^ {2}}} \ mal \ left (\ mu r ^ {2} {\ dot {\ theta}} {\ overrightarrow {e_ {z }}} \ right) = GM_ {T} \ mu {\ dot {\ theta}} {\ overrightarrow {e _ {\ theta}}}}, wobei die Ebenheit der Flugbahn berücksichtigt wurde, wobei jedoch unmittelbar Folgendes berücksichtigt wird :θ˙eθ→=er→˙{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} {\ overrightarrow {e _ {\ theta}}} = {\ dot {\ overrightarrow {e_ {r}}}}} ddt((r→˙×L→)GMTμ-er→)=0→{\ displaystyle {\ frac {d} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ left ({\ dot {\ overrightarrow {r}}} \ mal {\ overrightarrow {L}} \ right )} {GM_ {T} \ mu}} - {\ overrightarrow {e_ {r}}} \ right) = {\ overrightarrow {0}}}, daher das Ergebnis. Gleichung der Flugbahn des fiktiven Teilchens

Es ist offensichtlich, dass daher in der Bewegungsebene enthalten ist. Folglich ist es möglich, den Winkel w zwischen und als Polarwinkel zu nehmen , natürlich mit , und durch Notieren von e ist die Norm leicht zu überprüfen: L→⋅e→=0{\ displaystyle {\ overrightarrow {L}} \ cdot {\ overrightarrow {e}} = 0}e→{\ displaystyle {\ overrightarrow {e}}}e→{\ displaystyle {\ overrightarrow {e}}}r→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}}}θ˙=w˙{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = {\ dot {w}}}e→{\ displaystyle {\ overrightarrow {e}}}

r→⋅e→=recos⁡w=r→⋅(r→˙×L→)GMTμ-r{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}} \ cdot {\ overrightarrow {e}} = re \ cos {w} = {\ frac {{{\ overrightarrow {r}} \ cdot \ left ({\ dot {\ overrightarrow { r}}} \ mal {\ overrightarrow {L}} \ right)} {GM_ {T} \ mu}} - r}, oder unter Berücksichtigung der Identität r→⋅(r→˙×L→)=L→⋅(r→×r→˙)=L2μ{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}} \ cdot \ left ({\ dot {\ overrightarrow {r}}} \ mal {\ overrightarrow {L}} \ right) = {\ overrightarrow {L}} \ cdot \ left ({\ overrightarrow {r}} \ mal {\ dot {\ overrightarrow {r}}} \ right) = {\ frac {L ^ {2}} {\ mu}}} : r(1+ecos⁡w)=p{\ displaystyle r \ left (1 + e \ cos {w} \ right) = p}, mit .p=defL2GMTμ2{\ displaystyle p {\ stackrel {\ text {def}} {=}} {\ frac {L ^ {2}} {GM_ {T} \ mu ^ {2}}}}

Physikalisch p = r m , Wert von r, für den U eff ( r ) minimal ist. Tatsächlich kommt es seither leicht durch Ableitung entweder zu r m = p . Ueff(r)=L22μr2-GMTμr{\ displaystyle U _ {\ text {eff}} (r) = {\ frac {L ^ {2}} {2 \ mu r ^ {2}}} - {\ frac {GM_ {T} \ mu} { r }}}L2μrich=GMTμ{\ displaystyle {\ frac {L ^ {2}} {\ mu r_ {m}}} = GM_ {T} \ mu}

Die erhaltene Trajektoriengleichung ist daher die eines Kegelschnitts mit Exzentrizität e und Parameter p  :

r=p(1+ecos⁡w){\ displaystyle r = {\ frac {p} {\ left (1 + e \ cos {w} \ right)}}}, (6),

dessen Kraftzentrum einen der Brennpunkte einnimmt. Der Vektor daher auf dem Punkt des Mindestabstandes gerichtet ist (oder Periapsis ), Abstand bezeichnete q mit , entsprechend w = 0. An diesem Punkt wird die orbitale Winkelgeschwindigkeit maximal ist . Der Winkel w wird in der Astronomie als wahre Anomalie bezeichnet . e→{\ displaystyle {\ overrightarrow {e}}}q=p/(1+e){\ displaystyle q = p / \ links (1 + e \ rechts)}w0˙=θ0˙{\ displaystyle {\ dot {w_ {0}}} = {\ dot {\ theta _ {0}}}}

Homothetisch beschreibt jeder der realen Körper im baryzentrischen Bezugssystem einen Kegelschnitt, dessen Massenschwerpunkt einen der Brennpunkte einnimmt. Der Wert von e bestimmt die Art des Kegelschnitts:

• Wenn e > 1 ist, ist die Flugbahn eine Hyperbel  : In diesem Fall sind die Himmelskörper nicht verbunden und können ins Unendliche gehen;

• Wenn e = 1, ist die Trajektorie eine Parabel  ;

• Wenn 0 < e <1 ist, ist der Pfad eine Ellipse . Dies ist bei Planeten und den meisten anderen Körpern des Sonnensystems der Fall, wo außerdem der Schwerpunkt praktisch mit dem Sonnenstand verwechselt wird, was es ermöglicht, das erste Keplersche Gesetz (1609) zu finden: „Au Die Planeten beschreiben bei ihrer Bewegung um die Sonne Ellipsen, bei denen die Sonne einen der Brennpunkte einnimmt. Das zweite Gesetz (ebenfalls 1609) folgt direkt aus der Konstanz der Flächengeschwindigkeit und trägt den Namen des Flächengesetzes: "Der Strahlenvektor, der die Sonne mit einem Planeten verbindet, überstreicht gleiche Flächen in gleichen Zeiten".

• Bei e = 0 ist die Bahn kreisförmig.

Hinweis zum besonderen Charakter des Newtonschen Feldes

Das Erhalten geschlossener Trajektorien für Newtonsche Felder ist bemerkenswert und resultiert in der Tat aus einer besonderen Symmetrie. Tatsächlich hängen die Erhaltungssätze nach dem Satz von Noether mit der Existenz einer bestimmten Symmetrie des Problems zusammen.

So führt die Translationsinvarianz des globalen Systems der beiden Körper (verbunden mit dem vermeintlich isolierten Charakter des Systems) zur Impulserhaltung des globalen Systems, während die Rotationsinvarianz (Isotropie) des Zentralfeldes dazu führt, dass von der Drehimpuls und die Invarianz durch Zeitverschiebung (die das Fehlen von "Reibung" voraussetzt) ​​zur Erhaltung der Gesamtenergie. Die Existenz dieser ersten Integrale ermöglicht es, nacheinander von 6 zu 3, dann 2 und schließlich zu einem Freiheitsgrad überzugehen. Aber auch für die endliche Bewegung haben die beiden Körper keinen Grund, geschlossene Kurven zu beschreiben, und nur eine zusätzliche Symmetrie führt dazu und führt zur Existenz des jeweiligen ersten Integrals des Feldes in 1 / r 2 , der Runge- Lenz-Vektor (oder äquivalent der Exzentrizitätsvektor).

Aus dem Vorangehenden ist klar, dass die Bahngleichung einfach durch Projektion des Strahlvektors auf diesen bestimmten konstanten Vektor erhalten wird, der eine bestimmte Raumrichtung definiert, in der Praxis die Kegelschnittachse. Diese Art der Symmetrie kann jedoch nur in vier Dimensionen richtig interpretiert werden, vgl. bestimmten Artikel .

In der Quantenmechanik findet man diese zusätzliche Observable beim Studium des Wasserstoffatoms, was einem Problem mit zwei Quantenkörpern entspricht, und dies führt zur "zufälligen" Entartung der Energieniveaus des Elektrons die Bahnquantenzahl l bezogen auf den Drehimpuls. Auch hier erklärt eine zusätzliche Symmetrie, die spezifisch für das Coulomb-Feld ist und nur in 4 Dimensionen interpretierbar ist, dieses Phänomen.

Zusammenfassend zeigen diese Überlegungen, dass in einem Fall, in dem die Störungen durch andere Himmelskörper berücksichtigt werden, das erfahrene Potenzial nicht mehr in 1 / r 2 liegt und der Runge-Lenz-Vektor nicht mehr streng ein primäres Integral von . ist die Bewegung. . Die Trajektorien sind nicht mehr streng konische, geschlossene Kurven (für 0 < e <1). Dies ist in der Tat das, was bei elliptischen Bahnen beobachtet wird, die langsam im Raum "rotieren", ein Phänomen des Vorrückens des Perihels , das im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie streng interpretiert wird .

Beziehung zwischen Exzentrizität und Primzahlintegralen der Bewegung

In einem festen Raumsystem Oxyz verbunden mit ( R c ), der Achse Ox des Kegelschnitts, ausgerichtet auf den Punkt minimaler Entfernung zum Brennpunkt des Einheitsvektors , Oz die Richtung des Drehimpulses , und wie beim Periastron und r = q , das erste Integral der Energie lässt sich als Funktion dieses Mindestabstandes ausdrücken, es ergibt sich: ex→{\ displaystyle {\ overrightarrow {e_ {x}}}}L→{\ displaystyle {\ overrightarrow {L}}}r˙=0{\ Anzeigestil {\ Punkt {r}} = 0}

H=L22μq2-GMTμq{\ displaystyle H = {\ frac {L ^ {2}} {2 \ mu q ^ {2}}} - {\ frac {GM_ {T} \ mu} {q}}},

was impliziert . L2=2μq2H+2GMTμ2q{\ displaystyle L ^ {2} = 2 \ mu q ^ {2} H + 2GM_ {T} \ mu ^ {2} q}

Ebenso ist es möglich, den Exzentrizitätsvektor auf einfache Weise auszudrücken:

e→=(L2GMTμ2q-1)ex→{\ displaystyle {\ overrightarrow {e}} = \ left ({\ frac {L ^ {2}} {GM_ {T} \ mu ^ {2} q}} - 1 \ right) {\ overrightarrow {e_ {x }}}}. Demonstration

e→=(qθ0˙eja→)×(Lez→)GMTμ-ex→=(richichnichtθ0˙LGMTμ-1)ex→{\ displaystyle {\ overrightarrow {e}} = {\ frac {\ left (q {\ dot {\ theta _ {0}}} {\ overrightarrow {e_ {y}}} \ right) \ times \ left (L {\ overrightarrow {e_ {z}}} \ right)} {GM_ {T} \ mu}} - {\ overrightarrow {e_ {x}}} = \ left ({\ frac {r_ {min} {\ dot { \ theta _ {0}}} L} {GM_ {T} \ mu}} - 1 \ rechts) {\ overrightarrow {e_ {x}}}}, oder seit , daher das Ergebnis. qθ0˙=Lμq{\ displaystyle q {\ dot {\ theta _ {0}}} = {\ frac {L} {\ mu q}}}

Durch Ersetzen des für L 2 erhaltenen Ausdrucks in diesem Ausdruck wird der Ausdruck der Exzentrizität des Kegelschnitts in die Form gebracht:

e=1+2qHGMTμ{\ displaystyle e = 1 + {\ frac {2qH} {GM_ {T} \ mu}}}.

Es ist dann möglich, den minimalen Abstand q im gegebenen Ausdruck zu eliminieren und eine Beziehung zwischen der Exzentrizität e und den beiden ersten Integralen H und L zu erhalten . Es kommt durch Substitution im vorherigen Ausdruck für Exzentrizität: q=p1+e=L2G2MT2μ3(1+e){\ displaystyle q = {\ frac {p} {1 + e}} = {\ frac {L ^ {2}} {G ^ {2} M_ {T} ^ {2} \ mu ^ {3} (1 + e)}}}

(e+1)(e-1)=2L2HG2MT2μ3{\ displaystyle (e + 1) (e-1) = {\ frac {2L ^ {2} H} {G ^ {2} M_ {T} ^ {2} \ mu ^ {3}}}}Oder schließlich: .e=1+2L2HG2MT2μ3{\ displaystyle e = {\ sqrt {1 + {\ frac {2L ^ {2} H} {G ^ {2} M_ {T} ^ {2} \ mu ^ {3}}}}}}}

Diese letzten beiden Ausdrücke haben natürlich nur eine physikalische Bedeutung, wenn , und ermöglichen es, die oben gezeigten unterschiedlichen Fälle zu finden: e⩾0{\ displaystyle e \ geqslant 0}

• Im Fall der hyperbolischen Trajektorie: e > 1, was H > 0 impliziert , kann das fiktive Mobile wie gesagt ins Unendliche gehen, mit einer rein von Null verschiedenen Radialgeschwindigkeit, gegeben durch  ;r˙ichbeimx=2Hμ{\ displaystyle {\ dot {r}} _ {max} = {\ sqrt {\ dfrac {2H} {\ mu}}}}

• Fall der parabolischen Trajektorie: e = 1 impliziert H = 0, wieder kann das Mobiltelefon mit Nullgeschwindigkeit ins Unendliche gehen.

• Fall der elliptischen Trajektorie: 0 < e <1 impliziert, dass wir haben .-GMTμ2q<H<0{\ displaystyle - {\ frac {GM_ {T} \ mu} {2q}} <H <0}

• Fall der Kreisbahn: e = 0 also .H=-GMTμ2q=-G2MT2μ32L2{\ displaystyle H = - {\ frac {GM_ {T} \ mu} {2q}} = - {\ frac {G ^ {2} M_ {T} ^ {2} \ mu ^ {3}} {2L ^ {2}}}}

Hinweis: Bei einem Raumfahrzeug im Orbit, das seine kinetische Energie und damit H und L ändern kann, zeigt der vorstehende Ausdruck von e , dass es möglich ist, den Wert der Exzentrizität zu ändern, indem man den Korrekturimpuls richtig „wählt“. e der Flugbahn: Dies wird üblicherweise verwendet, um Satelliten mit geeigneten " Transferorbits " auf die gewünschten Umlaufbahnen zu bringen . Es ist sogar möglich, sich bei Bedarf der Anziehungskraft der Erde zu entziehen, zum Beispiel für interplanetare Sonden.

Fall einer elliptischen Bewegung

Die elliptische Keplersche Bewegung ist sehr wichtig für die Astronomie (Bahnen von Planeten im Sonnensystem, künstliche Satelliten zum Beispiel). In jedem Fall dient es als Ausgangspunkt für weitergehende Berechnungen unter Berücksichtigung des Einflusses anderer Himmelskörper oder anderer Faktoren, die diese "ideale" Bewegung am häufigsten stören.

Hauptparameter der Flugbahn

Eine Ellipse kann als der Ort von Punkten M definiert werden, so dass die Summe der Abstände von zwei Fixpunkten, die als Brennpunkte bezeichnet werden, die F 1 und F 2 genannt werden, konstant ist: , hat die große Halbachse der Ellipse, d halber Abstand zwischen den beiden Eckpunkten, die für eine Trajektorie das Periastron P und der Apoaster A sind , der am weitesten vom Kraftzentrum (der einen der Brennpunkte einnimmt) der Umlaufbahn entfernte Punkt (vgl. Abbildung) . d(F1,M)+d(F2,M)=2beim{\ displaystyle d (F_ {1}, M) + d (F_ {2}, M) = 2a}

Indem wir Q die Entfernung zum Brennpunkt dieses letzten Punktes, der korrespondiert , notieren , kommt es:, und wir leiten daraus ab . Die Ellipse hat ein Symmetriezentrum O in mittlerer Entfernung von den Brennpunkten, durch das ihre beiden senkrechten Symmetrieachsen verlaufen, die als Haupt- und Nebenachsen bezeichnet werden. w=π{\ displaystyle w = \ pi}Q=p/(1-e){\ displaystyle Q = p / \ links (1-e \ rechts)}beim=p/(1-e2){\ displaystyle a = p / \ left (1-e ^ {2} \ right)}

Der Parameter p der Ellipse entspricht dem Wert von r für w = p / 2.

Die halbe Entfernung zum Fokus wird mit c bezeichnet , wir haben offensichtlich . Wir leiten die kleine Halbachse ab , die mit b bezeichnet wird  : . Wir können e zwischen den Gleichungen zu a und b eliminieren , es ist der Ausdruck des Parameters der Ellipse . vs=beim-q=ep1-e2=ebeim{\ displaystyle c = aq = e {\ frac {p} {1-e ^ {2}}} = ea}b=beim2-vs2=beim1-e2{\ displaystyle b = {\ sqrt {a ^ {2} -c ^ {2}}} = a {\ sqrt {1-e ^ {2}}}}p=b2/beim{\ displaystyle p = b ^ {2} / a}

Durch Kombinieren dieser Formeln erhalten wir für die Periapsis q bzw. die Apoastro Q  : bzw. . q=beim(1-e){\ displaystyle q = a (1-e)}Q=beim(1+e){\ Displaystil Q = a (1 + e)}

Energieaspekte - Gleichung der lebendigen Kräfte

Um die  nach dem Leibniz'schen Kraftbegriff benannte Gleichung "  lebendige Kräfte " zu erhalten, ersetzen wir den Ausdruck des Abstands zum Periastron in der Beziehung (9) Exzentrizität-Energie: q=beim(1-e){\ displaystyle q = a \ left (1-e \ right)}

1-e=-2qHGMTμ=-2Hbeim(1-e)GMTμ{\ displaystyle 1-e = - {\ frac {2qH} {GM_ {T} \ mu}} = - {\ frac {2Ha \ left (1-e \ right)} {GM_ {T} \ mu}}}, woraus man den Ausdruck der gesamten mechanischen Energie nach dem Wert der großen Halbachse a zieht  : H=-GMTμ2beim{\ displaystyle H = - {\ frac {GM_ {T} \ mu} {2a}}}, (10bis).

Daher ist die Gesamtenergie gleich der Hälfte der potentiellen Gravitationsenergie für r = a . Als H = cte ergibt sich:

H=-GMTμ2beim=12μv2-GMTμr{\ displaystyle H = - {\ frac {GM_ {T} \ mu} {2a}} = {\ frac {1} {2}} \ mu v ^ {2} - {\ frac {GM_ {T} \ mu } {r}}}, woraus wir den Ausdruck für den Wert der Geschwindigkeit v des Teilchens auf der Flugbahn als Funktion von r und a ableiten , die sogenannte Live-Force-Gleichung  : v=GMT(2r-1beim){\ displaystyle v = {\ sqrt {GM_ {T} \ left ({\ frac {2} {r}} - {\ frac {1} {a}} \ right)}}}, (10ter).

Diese Gleichung wird häufig in der Raumfahrt verwendet. Wir stellen daher fest, dass die Messung der großen Halbachse direkt mit der Gesamtenergie des fiktiven Teilchens verbunden ist, und dass, wenn wir dies haben , wie wir erwarten sollten, da die elliptische Bahn dann in Richtung einer parabolischen Bahn tendiert. |H|→0{\ displaystyle \ left | H \ right | \ to 0}beim→∞{\ displaystyle a \ to \ infty}

Das dritte Keplersche Gesetz

Da die elliptische Bewegung endlich ist, ist sie periodisch mit der Periode T , die als Umlaufperiode oder Umlaufperiode bezeichnet wird , wobei die physikalischen Gesetze durch die Zeitverschiebung invariant sind. Diese Periode ist jedoch für einen Himmelskörper durch astronomische Beobachtungen leicht zu messen, ebenso wie der Wert der großen Halbachse a . Es gibt jedoch einen einfachen Zusammenhang zwischen Umdrehungsperiode und großer Halbachse, der 1618 von Kepler erstmals experimentell nachgewiesen wurde.

Da die Flächengeschwindigkeit mit konstant ist , erhalten wir durch Integrieren über die Periode T der Bewegung die Gesamtfläche der Ellipse, gleich , daher die Identität , die angibt , wo sie verwendet wurde . BEIM˙=L2μ{\ displaystyle {\ dot {\ mathcal {A}}} = {\ frac {L} {2 \ mu}}}πbeimb{\ displaystyle \ pi ab}πbeimb=LT2μ{\ displaystyle \ pi ab = {\ frac {LT} {2 \ mu}}}L2=4π2μ2beim2b2T2=4π2μ2pbeim3T2{\ displaystyle L ^ {2} = {\ frac {4 \ pi ^ {2} \ mu ^ {2} a ^ {2} b ^ {2}} {T ^ {2}}} = 4 \ pi ^ {2} \ mu ^ {2} p {\ frac {a ^ {3}} {T ^ {2}}}}p=b2/beim{\ displaystyle p = b ^ {2} / a}

Aber per Definition, die dem Eliminieren des Impulses schließlich die grundlegende Beziehung verleiht: . p=L2GMTμ2{\ displaystyle p = {\ frac {L ^ {2}} {GM_ {T} \ mu ^ {2}}}}beim3T2=GMT4π2{\ displaystyle {\ frac {a ^ {3}} {T ^ {2}}} = {\ frac {GM_ {T}} {4 \ pi ^ {2}}}}

Mit anderen Worten: Die Kuben der großen Halbachsen der Bahnen sind proportional zu den Quadraten der Umlaufperioden .

Im Fall eines Planeten im Sonnensystem ist die Masse der Sonne praktisch gleich der Gesamtmasse des Systems, und wir schreiben mit der Gaußschen Konstanten . beim3T2=k4π2{\ displaystyle {\ frac {a ^ {3}} {T ^ {2}}} = {\ frac {k} {4 \ pi ^ {2}}}}k=defGMS{\ displaystyle k {\ stackrel {\ text {def}} {=}} GM_ {S}}

Durch diese Näherung können wir für zwei beliebige Planeten im Sonnensystem mit offensichtlichen Notationen schreiben:

beim13T12=beim23T22{\ displaystyle {\ frac {a_ {1} ^ {3}} {T_ {1} ^ {2}}} = {\ frac {a_ {2} ^ {3}} {T_ {2} ^ {2} }}}.

So ermöglicht die Kenntnis der großen Halbachse eines Planeten (zum Beispiel der Erde, die mit astrometrischen Methoden sehr genau vermessen werden kann ) und der Umlaufperioden (durch Beobachtungen) die Bestimmung der großen Halbachsen aller Planeten des Sonnensystems. Ebenso kann man bei allen anderen "Systemen" (zB einem Stern und seinen Planeten, einem Planeten und seinen Satelliten ...) vorgehen, wobei man die Masse eines gegebenen Körpers vor der des "zentralen" vernachlässigen kann. Körper (Stern, Planet).

Wir nennen durchschnittliche Bewegung , bezeichnet mit n , die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit des Himmelskörpers auf seiner Bahn: Wir haben also nach dem dritten Keplerschen Gesetz: nicht=def2πT{\ displaystyle n {\ stackrel {\ text {def}} {=}} {\ frac {2 \ pi} {T}}}

nicht=GMTbeim3{\ displaystyle n = {\ sqrt {\ frac {GM_ {T}} {a ^ {3}}}}}.Grenzfall der Kreisbahn - minimale Umlaufgeschwindigkeit

Bei e = 0 ist die Ellipse entartet und läuft auf einen Kreis mit Radius R = p und Mittelpunkt O , der mit den beiden Brennpunkten zusammenfällt. Jede durch das Zentrum verlaufende Achse ist die Symmetrieachse der Trajektorie. Nach (3) ist die Winkelgeschwindigkeit konstant (wir finden also ein triviales „Flächengesetz“). θ˙=L/μp2{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = L / \ mu p ^ {2}}

Auf der Energieebene entspricht dies nach Formel (10) und wie bereits gesagt (siehe Teil 3.1-4 ) dem physikalischen Minimum der Gesamtenergie H mit , also einer radialen kinetischen Energie von Null . Die effektive potentielle Energie ist also minimal, was physikalisch dem Punkt entspricht, an dem die Laufzeiten der Zentrifugalbarriere in 1 / r 2 und das attraktive Potenzial "zentripetal" in 1 / r ausgeglichen sind. H=-GMTμ2R=-G2MT2μ32L2{\ displaystyle H = - {\ frac {GM_ {T} \ mu} {2R}} = - {\ frac {G ^ {2} M_ {T} ^ {2} \ mu ^ {3}} {2L ^ {2}}}}12μr˙2{\ displaystyle {\ dfrac {1} {2}} \ mu {\ dot {r}} ^ {2}}Ueff(r){\ displaystyle U _ {\ text {eff}} (r)}

Es ist nur für diese minimale mechanische Energie , die man haben kann , umkreist das fiktive Mobil um das Zentrum der Kraft in der Entfernung R (und damit auch von einem „echten“ Körper um die anderen), ein Wert niedriger führt zu dem „Fallout“ des fiktiven Teilchens im Kraftzentrum. Diese minimale mechanische Energie entspricht einem bestimmten Wert der Geschwindigkeit v , der als minimale Umlaufgeschwindigkeit oder "erste kosmische Geschwindigkeit" bezeichnet wird. Tatsächlich wird gemäß der Gleichung der Lebenskräfte (10ter), eine für die Kreisbahn mit Radius R = hat eine rein ortho Geschwindigkeit und konstanten Wert gegeben durch:

v1=GMTR{\ displaystyle v_ {1} = {\ sqrt {\ frac {GM_ {T}} {R}}}}, (11).

In Anwendungen (Astronautik) ist diese Geschwindigkeit nämlich unabhängig von der Masse des „Satelliten“-Körpers, da die Gesamtmasse dann der des „zentralen“ Sterns entspricht.

Beispiel: Für die Erde haben wir mindestens R = 6.400  km (Erdoberfläche), was ungefähr v 1 ≈ 7,9  km s −1 ergibt .

Fall einer parabolischen Bewegung

Die parabolische Bewegung ist ein Grenzfall der elliptischen Bewegung, wenn die Exzentrizität e gegen 1 strebt. Intuitiv entspricht dies einer zunehmend gestreckten Ellipse, das Periastron P nähert sich dem Fokus F 1 , der andere Fokus F 2 findet ihn immer weiter "projiziert" . Letztlich wird es ebenso wie der Apoastro A bis ins Unendliche abgelehnt , und die Ellipse „öffnet“ sich im Punkt A zu einer Parabel.

Hauptparameter der Flugbahn

Dieser Fall entspricht e = 1, und polar in der Heimat der Trajektoriengleichung ist dann: . Die Periapsis P entspricht w = 0 und befindet sich im Abstand q = p /2 vom Fokus F , und wir haben für . Die Richtung ( FP ) ist die Symmetrieachse der Kurve, und es gibt kein Apozentrum in endlicher Entfernung. r=p1+cos⁡w{\ displaystyle r = {\ frac {p} {1+ \ cos w}}}r→+∞{\ displaystyle r \ bis + \ infty}w→π{\ displaystyle w \ bis \ pi}

Die nebenstehende Abbildung rekapituliert die Hauptmerkmale der Flugbahn.

Energieaspekt - Geschwindigkeit der Freisetzung

Gemäß der Beziehung (10) und wie zuvor angegeben, entspricht dieser Grenzfall H = 0. In diesem Fall ist die gesamte kinetische Energie immer gleich der potentiellen Gravitationsenergie, also bei gegebenem r : es folgt sofort ein einfacher Ausdruck der Geschwindigkeit auf der Bahn bei jedem r , der der Kräftegleichung lebhaft für die parabolische Keplersche Bewegung:, (12). 12μv2=GMTμr{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ mu v ^ {2} = {\ frac {GM_ {T} \ mu} {r}}}v=2GMTr{\ displaystyle v = {\ sqrt {\ frac {2GM_ {T}} {r}}}}

Diese Relation entspricht der für die elliptische Bewegung gefundenen sogenannten Live-Force- Gleichung , Relation (10ter), mit . beim→∞{\ displaystyle a \ to \ infty}

Dieser Wert der Geschwindigkeit ist am Periastron maximal, das sich im Abstand r = q befindet , wo die Geschwindigkeit rein orthoradial ist. Die Befreiungsgeschwindigkeit oder „zweite kosmische Geschwindigkeit“ wird daher für eine gegebene Entfernung R als definiert . v2=2GMTR=2v1{\ displaystyle v_ {2} = {\ sqrt {\ frac {2GM_ {T}} {R}}} = {\ sqrt {2}} v_ {1}}

Dies ist dann die minimale Geschwindigkeit , die dem fiktiven Teilchen im gegebenen Abstand R vom Kraftzentrum (orthoradial) verliehen werden muss, damit es der von ihm ausgeübten Anziehungskraft "entkommen" kann unendlich, einer parabolischen Bahn folgend.

Beispiel: Für die Erde von ihrer Oberfläche gilt v 2 ≈ 11.2  km s −1 .

Konkret ist es möglich, einem Objekt wie einer Raumsonde eine parabolische Flugbahn mit Fokus auf das Zentrum C eines gegebenen Sterns (wie der Erde) und mit einem Scheitelpunkt einen gegebenen Punkt M im Raum zu geben, so dass R = CM durch Kommunikation mit dem eine Geschwindigkeit mit einem Wert gleich der Freigabegeschwindigkeit für R bearbeiten und senkrecht zur radialen Richtung ( CM ) gerichtet ist. Dies kann sehr gut von einer anfänglichen elliptischen Umlaufbahn ausgehend vom Periastron durchgeführt werden: Tatsächlich ist die Geschwindigkeit der Maschine zu diesem Zeitpunkt orthoradial und hat einen maximalen Wert, obwohl die Freisetzungsgeschwindigkeit am Periastron höher ist als am apostaster.

Fall einer hyperbolischen Bewegung

Hauptparameter der Flugbahn

Wenn e > 1 ist, strebt der Wert von r gegen unendlich für , die beiden Richtungen und , symmetrisch zur Hauptachse ( FP ), definieren die Asymptoten auf der Kurve der Bahn. Die Werte von w , die negativen Werten von r entsprechen : Es ist tatsächlich der andere Zweig der Hyperbel, der im Fall eines abstoßenden Feldes durchlaufen würde (vgl. Rutherford-Diffusion ). Physisch gesehen ist der einzige überdachte Zweig derjenige, der dem Haus F am nächsten ist . w∞=arccos⁡(-1e){\ displaystyle w _ {\ infty} = \ arccos {\ left (- {\ frac {1} {e}} \ right)}}w=w∞{\ displaystyle w = w _ {\ infty}}w=2π-w∞{\ displaystyle w = 2 \ pi -w _ {\ infty}}w∞<w<2π-w∞{\ displaystyle w _ {\ infty} <w <2 \ pi -w _ {\ infty}}

Die beiden Asymptoten der Hyperbel schneiden sich in einem Punkt O der Hauptachse, dem Symmetriezentrum der vollständigen mathematischen Kurve, mit zwei Zweigen. Wir können einen Punkt F ' symmetrisch zu F bezüglich O definieren, der im Mittelpunkt des zweiten Zweiges der Hyperbel steht. Wie bei allen Kegelschnitten befindet sich das Periastron P im Abstand vom Brennpunkt und bildet den Scheitelpunkt der Trajektorie. Wir können einen "Apoastro" A definieren , der w = p entspricht und der Spitze des zweiten Zweigs entspricht. Dieser Punkt befindet sich im Abstand vom Brennpunkt, wobei der Abstand zwischen P und A entspricht . Dieser Wert der "Haupthalbachse" a ermöglicht das Schreiben von , und , wobei der Abstand vom Symmetriezentrum O zu einem Brennpunkt ae beträgt . q=p1+e{\ displaystyle q = {\ frac {p} {1 + e}}}Q=p|1-e|=pe-1{\ displaystyle Q = {\ frac {p} {\ left | 1-e \ right |}} = {\ frac {p} {e-1}}}2beim=defQ-q=2pe2-1{\ displaystyle 2a {\ stackrel {\ text {def}} {=}} Qq = 2 {\ frac {p} {e ^ {2} -1}}}p=beim(e2-1){\ displaystyle p = a (e ^ {2} -1)}q=beim(e-1){\ displaystyle q = a (e-1)}Q=beim(e+1){\ Displaystil Q = a (e + 1)}

Die nebenstehende Kurve fasst die Eigenschaften der Trajektorie zusammen, indem sie zwei Beispiele von Hyperbeln mit demselben Parameter zeigt, eine mit e = 2 und die andere mit e = 5.

Energieaspekte - Gleichung der lebendigen Kräfte

Es ist möglich, wie für den Fall der elliptischen Bahn eine Beziehung zwischen H und der großen Halbachse a der oben definierten Hyperbel zu zeigen. Tatsächlich ist an der Periapsis P mit r = q = a ( e –-1) die Geschwindigkeit rein orthoradial und die mechanische Energie H wird in der Form : ausgedrückt , aber wir haben , was durch Einsetzen in die vorherige Gleichung ergibt: H=12μv2-GMTμq=L22μbeim2(e-1)2-GMTμbeim(e-1){\ displaystyle H = {\ frac {1} {2}} \ mu v ^ {2} - {\ frac {GM_ {T} \ mu} {q}} = {\ frac {L ^ {2}} { 2 \ mu a ^ {2} (e-1) ^ {2}}} - {\ frac {GM_ {T} \ mu} {a (e-1)}}}L2=GMTμ2p=GMTμ2beim(e2-1){\ displaystyle L ^ {2} = GM_ {T} \ mu ^ {2} p = GM_ {T} \ mu ^ {2} a (e ^ {2} -1)}

H=GMTμbeim(e-1)(e-1)2-1){\ displaystyle H = {\ frac {GM_ {T} \ mu} {a (e-1)}} \ left ({\ frac {e-1)} {2}} - 1 \ right)}, oder schließlich die Beziehung:, (13).H=GMTμ2beim{\ displaystyle H = {\ frac {GM_ {T} \ mu} {2a}}}

Diese Beziehung ist identisch mit dem für die elliptische Bewegung erhalten wird , indem eine auf - ein . Wir erhalten dann in gleicher Weise wie für den elliptischen Fall die Gleichung der lebenden Kräfte für die hyperbolische Bewegung:

v=GMT(2r+1beim){\ displaystyle v = {\ sqrt {GM_ {T} \ left ({\ frac {2} {r}} + {\ frac {1} {a}} \ right)}}}, (14).

Vektorillustrationen

Einige Animationen, die die Bahnen zweier Körper (weiße Scheiben) um das Schwerpunktzentrum (rotes Kreuz) darstellen.

Verweise

1. Dies gilt für den Fall, dass die Abmessungen der beiden Körper im Vergleich zu ihrem Abstand während der Bewegung sehr klein sind.
2. Diese Näherung läuft darauf hinaus, den Einfluss anderer Körper zu vernachlässigen, wenn man die relative Bedeutung ihrer Handlungen auf jeden der beiden Körper berücksichtigt. Beispielsweise ist für die Bewegung eines Planeten um die Sonne die dominierende Wechselwirkung natürlich die des Sterns auf dem Planeten, zumindest können wir in erster Näherung die Auswirkungen der Wechselwirkung der anderen Körper des Sonnensystems auf beide vernachlässigen der Sonne als auf dem betrachteten Planeten. Sie sollte jedoch für eine vollständigere Beschreibung auf störende Weise berücksichtigt werden.
3. Eigentlich zwei unabhängige Einkörperprobleme, aber die Bewegung des Trägheitszentrums ist trivial.
4. Nach Homothetie gilt natürlich dasselbe für die reellen Teilchen M1 und M2 .
5. Wenn die Bewegung jedoch als entartet bezeichnet und auf eine gerade Linie reduziert wird, hat der Begriff der Ebenheit der Bahn keine BedeutungL→=0→{\ displaystyle {\ overrightarrow {L}} = {\ overrightarrow {0}}}
6. Diese letzte Bedingung ist nicht unbedingt erforderlich, wir erhalten auch ein Potentialbecken, sicherlich unendlich , mit einem harmonischen Raumpotential der Form mit k > 0, aber dieses Beispiel wird im Folgenden nicht betrachtet.V(r)=12kr2{\ displaystyle V (r) = {\ dfrac {1} {2}} kr ^ {2}}
7. Dieser minimale Annäherungsweg entspricht einer Null-Radialgeschwindigkeit bei einem endlichen Abstand.
8. Im Unendlichen ist die Geschwindigkeit rein radial: Tatsächlich ist der orthoradiale Term der in 1 ⁄ r 2 , und strebt daher in großer Entfernung gegen 0.
9. Streng genommen ist der Runge-Lenz-Vektor klassisch definiert durch .p→×L→-GMTμ2er→{\ displaystyle {\ overrightarrow {p}} \ mal {\ overrightarrow {L}} - GM_ {T} \ mu ^ {2} {\ overrightarrow {e_ {r}}}}
10. Dies stellt eine Ursprungsänderung dar, die die bisherigen Ergebnisse, insbesondere die Tatsache, dass L = cte ist, nicht in Frage stellt, da diese nur vom Wert der Winkelgeschwindigkeit abhängt .θ˙=w˙{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = {\ dot {w}}}
11. Wir könnten auch L = 0 für jedes H haben , aber der Parameter p ist dann Null und wir erhalten keine Parabel mehr, sondern einfach einen rechts entarteten "Kegel": siehe die Bemerkung oben zur Entartung der Bewegung. Auf diesen trivialen Fall wird im Folgenden nicht eingegangen.
12. Hier verwechseln wir den Mittelpunkt des Sterns und den Massenmittelpunkt des {Sonde - Stern}-Systems, da die Beziehungen zwischen den Massen der beiden Objekte gegeben sind.

Nützliche Bücher:

• Dumoulin und Parisot, Praktische Astronomie und Informatik , Masson, Paris, 1987.
• Perez, Physik Kurse: mechanisch - 4 th  Edition, Masson, Paris, 2001.
• Landau und Lifchitz, Cours de physique - Tome I: Mécanique , Ellipses - Marketing, Paris, 1994.

Im Internet :

• Luc Duriez, Kurs Klassische Himmelsmechanik , Universität Lille-I / IMCCE, 2002, sehr vollständig, verfügbar unter folgender Adresse als pdf: http://www.imcce.fr/fr/formations/cours/CoursMC_Duriez/mc/ CoursMCecr_Duriez. pdf .

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