Newtonsches Potential

Der Begriff des Potentials ist ein im Wesentlichen mathematischer Begriff. Es wird nicht nur in der Mechanik, sondern auch in vielen anderen Bereichen der Wissenschaft wie Physik, Elektrizität oder Thermodynamik eingeführt.

Wir nennen das Newtonsche Potential jedes skalare Potential "at ". ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {r}}}$

Analytischer Ausdruck der elementaren Arbeit einer Kraft

In diesem Artikel haben wir die Ebene oder den Raum mit einem orthonormalen Koordinatensystem versehen, in dem alle Koordinaten ausgedrückt werden. Jeder Punkt y hat Koordinaten vom Typ (x, y, z).

Sei F eine Kraft, die am Punkt P (x, y, z) ausgeübt wird. Lassen Sie uns die Kraft projizieren : ${\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}$

{\ displaystyle {\ vec {F}} = {\ begin {pmatrix} X \\ Y \\ Z \ end {pmatrix}}}

Angenommen, P bewegt sich um eine infinitesimale Länge "dl", die in "dx", "dy" und "dz" auf die drei Achsen projiziert.

Die elementare Arbeit von ist gleich: ${\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}$

{\ displaystyle \ mathrm {d} W = X \ mathrm {d} x + Y \ mathrm {d} y + Z \ mathrm {d} z}

dW ist das " totale Differential " einer Kraftfunktion , die wir benennen werden . ${\ displaystyle U (x, y, z)}$

Die Gesamtarbeit von P nach P 'ist:

{\ displaystyle W = \ int _ {p} ^ {p '} X \ mathrm {d} x + Y \ mathrm {d} y + Z \ mathrm {d} z}

Kraftfeld

Ein Kraftfeld ist definiert, wenn wir an jedem seiner Punkte den Wert und die Richtung der ausgeübten Kraft kennen:

{\ displaystyle {\ vec {F}} = {\ begin {pmatrix} X \\ Y \\ Z \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} f (x, y, z) \\ g (x , y, z) \\ h (x, y, z) \ end {pmatrix}}}

Bei der Schwerkraft sind die Kraftlinien im Wesentlichen vertikal:

{\ displaystyle X = 0, ~ Y = 0 {\ text {und}} Z = -mg}

Kraftfunktion und potentielle Funktion

Das Kraftfeld ergibt sich aus der Kraftfunktion : ${\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}$ ${\ displaystyle U (x, y, z)}$

{\ displaystyle X \ mathrm {d} x + Y \ mathrm {d} y + Z \ mathrm {d} z = {\ frac {\ partielles U} {\ partielles x}} \ mathrm {d} x + {\ frac {\ partielles U} {\ partielles y}} \ mathrm {d} y + {\ frac {\ partielles U} {\ partielles z}} \ mathrm {d} z}

Wir leiten daher die Projektionen der Kraft auf die drei Achsen ab : ${\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}$

{\ displaystyle X = {\ frac {\ partielles U} {\ partielles x}}, \ quad Y = {\ frac {\ partielles U} {\ partielles y}}, \ quad Z = {\ frac {\ partielles U. } {\ partielle z}}}

Die Kräfte des Kraftfeldes ergeben sich aus einer Potentialfunktion , die gleich der Funktion ist und deren Vorzeichen geändert wurde: ${\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}$ ${\ displaystyle V (x, y, z)}$ ${\ displaystyle U (x, y, z)}$

{\ Anzeigestil V (x, y, z) = - U (x, y, z)}

Wir leiten die folgende Beziehung für die Projektionen von ab : ${\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}$

{\ displaystyle X = - {\ frac {\ partielles V} {\ partielles x}}, \ quad Y = - {\ frac {\ partielles V} {\ partielles y}}, \ quad Z = - {\ frac { \ partielles V} {\ partielles z}}}

Gravitationspotential

Wir kennen das von Isaac Newton angegebene universelle Gesetz der Anziehung , bei dem die Kraft umgekehrt zum Quadrat der Entfernung variiert:

{\ displaystyle f = G {\ frac {mm '} {r ^ {2}}}}

Betrachten Sie zwei Einheitsmassen, eine am Punkt O (0,0,0) und die andere am Punkt P (x, y, z). Sei der Abstand zwischen den Schwerpunkten der beiden Massen: $r$

{\ displaystyle r = \ | {\ overrightarrow {OP}} \ | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}}

Die partiellen Ableitungen dieser Funktion sind:

{\ displaystyle {\ frac {\ partielles r} {\ partielles x}} = {\ frac {1} {2 {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}} } .2x = {\ frac {x} {r}}}

und ebenfalls)

{\ displaystyle {\ frac {\ partielles r} {\ partielles y}} = {\ frac {y} {r}}, \ quad {\ frac {\ partielles r} {\ partielles z}} = {\ frac { z} {r}}}

Die von sind daher: ${\ displaystyle U: = {\ frac {1} {r}}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partielles U} {\ partielles x}} = {\ frac {\ mathrm {d} U} {\ mathrm {d} r}} {\ frac {\ partielles r} {\ partielles x }} = - {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {x} {r}} = - {\ frac {x} {r ^ {3}}}

und (ähnlich):

{\ displaystyle {\ frac {\ partielles U} {\ partielles y}} = - {\ frac {y} {r ^ {3}}}, \ quad {\ frac {\ partielles U} {\ partielles z}} = - {\ frac {z} {r ^ {3}}}}

${\ displaystyle {\ frac {x} {r}}}$ , Und sind die Kosinus des Winkels , die Form mit den drei Achsen und die Anziehungskraft ist (von Minuszeichen , weil es gegenüber dem Ursprung „O“ gerichtet ist). ${\ displaystyle {\ frac {y} {r}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {z} {r}}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {OP}}}$ ${\ displaystyle - {\ frac {1} {r ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}$

Wir berechnen die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung, indem wir die ersten Ableitungen in Form eines Produkts " " schreiben . Wir erhalten so: ${\ displaystyle {\ frac {\ partielles U} {\ partielles x}} = - xr ^ {- 3}}$ $uv$

{\ displaystyle {\ frac {\ partiell ^ {2} U} {\ partiell x ^ {2}}} = v {\ frac {\ partiell u} {\ partiell x}}. u {\ frac {\ partiell v } {\ partielle x}} = - {\ frac {1} {r ^ {3}}} + {\ frac {3x ^ {2}} {r ^ {5}}}

und ebenfalls)

{\ displaystyle {\ frac {\ partiell ^ {2} U} {\ partiell y ^ {2}}} = - {\ frac {1} {r ^ {3}}} + {\ frac {3y ^ {2 }} {r ^ {5}}}, \ quad {\ frac {\ partiell ^ {2} U} {\ partiell z ^ {2}}} = - {\ frac {1} {r ^ {3}} } + {\ frac {3z ^ {2}} {r ^ {5}}}}

Durch die Addition erhalten wir endlich:

{\ displaystyle - {\ frac {3} {r ^ {3}}} + {\ frac {3} {r ^ {5}}} (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2 }) = - {\ frac {3} {r ^ {3}}} + {\ frac {3} {r ^ {5}}} r ^ {2} = - {\ frac {3} {r ^ { 3}}} + {\ frac {3} {r ^ {3}}} = 0}

und wir finden die Beziehung, die Laplace gefunden hat :

{\ displaystyle {\ frac {\ partiell ^ {2} U} {\ partiell x ^ {2}}} + {\ frac {\ partiell ^ {2} U} {\ partiell y ^ {2}}} + { \ frac {\ partiell ^ {2} U} {\ partiell z ^ {2}}} = 0}

Gleichung, die wir auf kompakte Weise notieren

{\ displaystyle \ Delta U = 0}

Zum Thema passende Artikel