Affine Ebene

In der Geometrie wurde das Konzept der affinen Ebene erfunden, um von parallelen Linien sprechen zu können, ohne mit metrischen Begriffen wie dem Abstand zwischen zwei Punkten oder dem Winkel zwischen zwei Linien belastet zu sein. Der axiomatische Ansatz setzt weder den Begriff des Vektorraums , in diesem Fall der Vektorebene, noch den des kommutativen Feldes voraus . Diese beiden letzten Konzepte liegen jedoch zugrunde (siehe affiner Plan von Desargues ).

Axiome der affinen Ebene

Eine affine Ebene verifiziert die Axiome

  1. Es gibt mindestens 2 Punkte.
  2. Jede Linie hat mindestens 3 Punkte.
  3. Für zwei verschiedene Punkte gibt es eine und nur eine gerade Linie, die auf sie fällt.
  4. Für jede Linie gibt es mindestens einen nicht einfallenden Punkt auf dieser Linie.
  5. Wenn eine Linie g und ein Punkt P gegeben sind, der nicht auf g fällt, existiert eine und nur eine Linie h, die auf P fällt und die keinen Punkt mit g gemeinsam hat. Wortschatz: Die Linien g und h sollen in diesem Fall streng parallel sein . Eine Linie ist einfach parallel zu sich selbst, sie ist nicht streng parallel zu sich selbst. Wenn zwei Linien einfach parallel sind, sagen wir, dass sie die gleiche Richtung haben.
  6. Affines Pappus-Axiom  : Wenn die Punkte A, E, C ausgerichtet sind, wenn die Punkte B, D, F auf einer anderen Linie ausgerichtet sind, wenn (AB) // (DE) und wenn (BC) // (EF) dann (FA) // (CD).
Pappusaffin.PNG

Äquivalenzbeziehung

Die einfache Parallelität zwischen zwei Linien ist eine Äquivalenzbeziehung (reflexiv, symmetrisch, transitiv). Strenge Parallelität gibt es nicht, es fehlt Reflexivität. Der Mengenquotient der Linien durch das Verhältnis von Parallelität-Einfach wird als Richtungsmenge der affinen Ebene bezeichnet.

Parallelogramm

Affine Definition des Parallelogramms  : Ein allgemeines Parallelogramm ist die Figur, die aus zwei Paaren einfach paralleler Linien besteht.

Interessante Transformationen

Übersetzung

Sei zwei Punkte P und P ', verschieden oder verwirrt.

Definition. Die Translation entlang P und P 'ist die Transformation, die den Punkt M in M' umwandelt, so dass die Linienpaare {(PP ') (MM')}, {(PM) (P'M ')} ein Parallelogramm bilden.

Einfache Eigenschaften von Übersetzungen.

Translahomothetie.PNG.

Homothetik

Betrachten Sie drei ausgerichtete Punkte C, P und P ', wobei P von C verschieden ist.

Definition: Wir nennen Homothetik mit Zentrum C und gemäß PP 'die Transformation, die an jedem Punkt M einen Punkt M' assoziiert, so dass 1) CMM 'ausgerichtet sind und 2) die Linien (PM) und (P'M') sind parallel.

Dilatationen

Das festgelegte Zusammentreffen von Übersetzungen und Homothetik wird manchmal als Satz von Erweiterungen der affinen Ebene bezeichnet (nicht zu verwechseln mit Dilatation (Geometrie) ). Wir können zeigen, dass es sich um eine Gruppe handelt .

Literaturverzeichnis

Siehe auch