Lagrange-Gespenst
In der Mathematik und genauer in der Zahlentheorie ist das Lagrange-Spektrum eine Menge reeller Zahlen, die in der diophantinischen Approximationstheorie vorkommen . Das von Andrei Markov definierte Markov-Spektrum ist eine Variante dieses Satzes, die bei der Untersuchung der diophantinischen Markov-Gleichung eine Rolle spielt .
Definitionen
Lagrange-Gespenst
Der Satz Hurwitz sagt, dass jedes reelle ξ durch eine Folge von rationalen m / n as
angenähert werden kann
|ξ- -mnicht|<15nicht2.{\ displaystyle \ left | \ xi - {\ frac {m} {n}} \ right | <{\ frac {1} {{\ sqrt {5}} \, n ^ {2}}}.}Genauer gesagt definieren wir L (ξ) als die Obergrenze von c mit der gleichen Eigenschaft wie √ 5 in dieser Formel (wenn es existiert, d. H. Wenn ξ irrational ist und ein Maß für die Irrationalität gleich 2 ist), mit anderen Worten L ( ξ) ist die Obergrenze von c, so dass es eine Folge von Rationalen m / n gibt , die für die Grenze ξ haben, und so, dass
|ξ- -mnicht|<1vs.nicht2{\ displaystyle \ left | \ xi - {\ frac {m} {n}} \ right | <{\ frac {1} {cn ^ {2}}} ;;
alle L (ξ) (für & xgr irrational) bildet die Lagrange - Spektrum L . Hurwitz Theorem zeigt , dass das kleinste Element ist L , und genauer noch , daß die einzigen Zahlen & xgr; für welche L (ξ) = √ 5 sind die Zahlen äquivalent zu dem Goldenen Schnitt ; Hurwitz bewies auch, dass das nächste Element von L , das durch Ausschließen der vorhergehenden Zahlen erhalten wird, 2 √ 2 = L ( √ 2 ) ist . Allgemeiner definiert dieses Verfahren eine Reihe von Zahlen L n, die Lagrange-Zahlen genannt werden ; Es geht um die Fortsetzung , Grenze 3 und den Teil des Spektrums von Lagrange, der kleiner als 3 ist.
5=L.((1+52){\ displaystyle {\ sqrt {5}} = L \ left ({\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} \ right)} φ=1+52{\ displaystyle \ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}((5,22,2215,151713,...){\ displaystyle \ left ({\ sqrt {5}}, 2 {\ sqrt {2}}, {\ frac {\ sqrt {221}} {5}}, {\ frac {\ sqrt {1517}} {13 }}, \ dots \ right)}
Eine äquivalente Formulierung, die jedoch in Bezug auf die Untergrenzen praktischer ist, bedeutet :
1/.L.((ξ)=lim infnicht→∞nicht2|ξ- -mnicht|,{\ displaystyle 1 / L (\ xi) = \ liminf _ {n \ to \ infty} n ^ {2} \ left | \ xi - {\ frac {m} {n}} \ right |,}Dabei ist m die ganze Zahl (abhängig von n ), wodurch der Unterschied minimal wird.
Kontinuierliche Fraktionsexpansion und Markov-Spektrum
Ausgehend von der fortgesetzten Fraktionsexpansion von ξ ,
ξ=beim0+1beim1+1beim2+1beim3+...=[beim0,beim1,beim2,beim3,⋯]],{\ displaystyle \ xi = a_ {0} + {\ cfrac {1} {a_ {1} + {\ cfrac {1} {a_ {2} + {\ cfrac {1} {a_ {3} + \ dots} }}}}} = [a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ cdots],}
Wir führen die Folge von Zahlen ein , wobei man durch Entfernen der ersten n Terme der Expansion von ξ erhält und das Rationale erhält, das durch Entfernen der entfernten Terme in umgekehrter Reihenfolge erhalten wird. Wir haben dann .
ξnicht=xnicht+rnicht{\ displaystyle \ xi _ {n} = x_ {n} + r_ {n}}xnicht=[beimnicht,beimnicht+1,beimnicht+2,⋯]]{\ displaystyle x_ {n} = [a_ {n}, a_ {n + 1}, a_ {n + 2}, \ cdots]}rnicht=[0,beimnicht- -1,beimnicht- -2,⋯,beim0]]{\ displaystyle r_ {n} = [0, a_ {n-1}, a_ {n-2}, \ cdots, a_ {0}]}L.((ξ)=lim supnicht→∞ξnicht{\ displaystyle L (\ xi) = \ limsup _ {n \ to \ infty} \ xi _ {n}}
Wenn wir in dieser Definition die Obergrenze durch die Obergrenze ersetzen , erhalten wir einen neuen Satz von Zahlen M (ξ) , das Markov-Spektrum M , das 1879 von Andreï Markov im Rahmen seiner Untersuchung quadratischer Formen definiert wurde:
M.((ξ)=supnicht→∞ξnicht.{\ displaystyle M (\ xi) = \ sup _ {n \ to \ infty} \ xi _ {n}.}
Markov-Spektrum-Charakterisierungen
Die vorstehende Definition kann geometrisch interpretiert werden, indem die Position der geraden Steigungslinien ξ in Bezug auf das Netzwerk von Punkten ganzzahliger Koordinaten untersucht wird. Markov folgerte die folgenden zwei Charakterisierungen:
Durch quadratische Formen
Wir betrachten die Menge der quadratischen Formen mit reellen Koeffizienten und der festen Diskriminante . Für jede dieser Formen gehört die Obergrenze der Absolutwerte der Umkehrungen der an einem Punkt des Netzwerks genommenen Nicht-Null-Werte zum Markov-Spektrum; etwas präziser
f((x,y)=beimx2+bxy+vs.y2{\ displaystyle f (x, y) = ax ^ {2} + bxy + cy ^ {2}}Δ=b2- -4beimvs.=1{\ displaystyle \ Delta = b ^ {2} -4ac = 1}Z.2{\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {2}}
M.={((sup((x,y)∈Z.21/.|f((x,y)|)::f((x,y)=beimx2+bxy+vs.y2, b2- -4beimvs.=1}}{\ displaystyle M = \ left \ {\ left (\ sup _ {(x, y) \ in \ mathbb {Z} ^ {2}} 1 / | f (x, y) | \ right): f (x , y) = ax ^ {2} + bxy + cy ^ {2}, \ b ^ {2} -4ac = 1 \ right \}}.
In Bezug auf die diophantinische Markov-Gleichung
Die Markov-Zahlen sind ganze Zahlen x , y oder z , die Teil einer Lösung der diophantinischen Gleichung Markov sind:
Bildung der Sequenz (1,2,5,13,34,89, ...) (Fortsetzung A002559 von OEIS ). Markov hat bewiesen, dass die n- te Lagrange-Zahl L n durch die Formel gegeben ist , wobei m n die n- te Markov-Zahl ist.
x2+y2+z2=3xyz{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 3xyz}L.nicht=9- -4mnicht2{\ displaystyle L_ {n} = {\ sqrt {9- {4 \ over {m_ {n}} ^ {2}}}}
Geometrie der Spektren
Lagrange - Spektrum ist in der Markov enthält, und sie sind identisch in ihrem Anfangsteil zwischen √ 5 und 3 (beginnend mit √ 5 , √ 8 , √ 221 /5 , √ 1517 /13 , ...). Das Lagrange-Spektrum ist von seiner letzten Diskontinuität, der Freimanschen Konstante , einer Zahl, deren genauer Wert ist,
stetig
F.=2221564096+283748462491993569=4,5278295661...{\ displaystyle F = {\ frac {2 \, 221 \, 564 \, 096 + 283 \, 748 {\ sqrt {462}}} {491 \, 993 \, 569}} = 4.5278295661 \ dots}(Fortsetzung A118472 des
OEIS ),
das heißt, und für alle x < F existiert y non in L, so dass x < y < F ist . L ist streng in M enthalten , aber es ist unklar, zum Beispiel, dass der Wert des kleinsten Elements von M nicht in L ist .
[F.,+∞[⊂L.⊂M.{\ displaystyle [F, + \ infty [\ Teilmenge L \ Teilmenge M}
Der Übergang zwischen dem diskreten Teil von L (zwischen √ 5 und 3) und dem kontinuierlichen Teil (nach F ) hat eine fraktale Struktur , die durch den folgenden Satz genauer beschrieben wird:
Für alles ist die Hausdorff-Dimension von gleich der von . Wenn d die Funktion ist, die diese Dimension mit t verknüpft , ist d stetig, nimmt zu und sendet R an [0,1].t∈R.{\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}L.∩((- -∞,t){\ displaystyle L \ cap (- \ infty, t)}M.∩((- -∞,t){\ displaystyle M \ cap (- \ infty, t)}d((t): =SonneH.((M.∩((- -∞,t)){\ displaystyle d (t): = \ dim _ {H} (M \ cap (- \ infty, t))}
Dieser Satz kann auch auf andere ähnliche Spektren verallgemeinert werden.
Mit Spektren verbundene dynamische Systeme
Die Definitionen von L und M mit Hilfe von Entwicklungen in fortgesetzten Brüchen führen natürlich dazu, dass sie einem dynamischen System entsprechen : der Menge von Sequenzen (unendlich in beide Richtungen) von Ganzzahlen ungleich Null, die mit dem durch definierten Operator-Offset ausgestattet sind . Wenn man dann mit jeder Sequenz von S den Real assoziiert, der durch die Summe der Expansionen in fortgesetzten Fraktionen definiert ist , zeigen die oben angegebenen Ergebnisse, dass
S.=((NICHT∗)Z.{\ displaystyle S = ({\ mathbb {N}} ^ {*}) ^ {\ mathbb {Z}}} σ::S.↦S.{\ displaystyle \ sigma: S \ mapsto S}σ((((beimnicht)nicht∈Z.)=((beimnicht+1)nicht∈Z.{\ displaystyle \ sigma ((a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {Z}}) = (a_ {n + 1}) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}((beimnicht)nicht∈Z.{\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}f((((beimnicht)nicht∈Z.)=[beim0,beim1,beim2,...]]+[0,beim- -1,beim- -2,...]]{\ displaystyle f ((a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {Z}}) = [a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, \ dots] + [0, a _ { - 1}, a _ {- 2}, \ dots]}
L.={lim supnicht→∞f((σnicht((beim))::beim∈S.}}{\ displaystyle L = \ left \ {\ limsup _ {n \ to \ infty} f (\ sigma ^ {n} (a)): a \ in S \ right \}} und
M.={limnicht∈NICHTf((σnicht((beim))::beim∈S.}}{\ displaystyle M = \ left \ {\ lim _ {n \ in \ mathbb {N}} f (\ sigma ^ {n} (a)): a \ in S \ right \}}.
Die Geometrie der Spektren (d. H. Zum Beispiel die Hausdorff-Dimension der Beschränkung des Spektrums auf ein gegebenes Intervall) kann dann unter Verwendung von Werkzeugen aus dieser Theorie wie den Partitionen von Markov (in) untersucht werden .
Siehe auch
Anmerkungen und Referenzen
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So benannt als Hommage an die Arbeit von Lagrange über fortgesetzte Brüche .
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Andrei Markov , Über undefinierte binäre quadratische Formen , Math. Ann. 15 (1879) pp. 381–406.
-
Serie 1985
-
Ein weiterer Wert von Δ (positiven) erfordern würde einfach durch Dividieren √ Δ die Zahlen in der Definition des erhaltenen M unter
-
Perrine 1988 , S.44 und folgende
-
Cassels 1957 S.18
-
Gregory Freiman (in) , diophantinische Approximation und Geometrie von Zahlen (Markoff-Spektrum) . Kalininskii Gosudarstvennyi Universitet, Moskau, 1975.
-
(in) Eric W. Weisstein , " Freimans Konstante " auf MathWorld
-
Cusick und Flahive 1989 , S. 35–45.
-
Moreira 2017 ; Dieser Artikel gibt ein wenig mehr Informationen über d und erwähnt zum Beispiel das und das, sobald t größer als ist .d((t)=0⟺t≤3{\ displaystyle d (t) = 0 \ iff t \ leq 3}d((t)=1{\ displaystyle d (t) = 1}12<F.{\ displaystyle {\ sqrt {12}} <F}
-
(in) Aline Cerqueira , Carlos Matheus und Carlos Moreira , " Kontinuität der Hausdorff-Dimension über generische dynamische Markov- und Lagrange-Spektren " , arXiv ,Februar 2016( online lesen ).
-
Ibarra und Moreira 2017 , S.2.
-
Ibarra und Moreira 2017 .
Literaturverzeichnis
-
Serge Perrine , Diophantinische Approximation (Markov-Theorie) , Universität Lothringen,1988( online lesen ).
- (en) John Cassels , Eine Einführung in die diophantinische Approximation , CUP , Slg. "Cambridge Tracts" ( n o 45)1957( online lesen )
- (en) Caroline Series , " Die Geometrie der Markoff-Zahlen " , The Mathematical Intelligencer ,1985( online lesen )
-
(en) Thomas W. Cusick und Mary E. Flahive , The Markov and Lagrange Spectra , vol. 30, American Mathematical Society ,198997 p. ( ISBN 978-0-8218-1531-1 , online lesen ).
-
(en) John Horton Conway und Richard Guy , Das Buch der Zahlen , Springer , pp. 188–189,1996.
- (en) Carlos Moreira , „ Geometrische Eigenschaften der Markov- und Lagrange-Spektren “ , arXiv ,Januar 2017( online lesen )
- (en) Sergio Ibarra und Carlos Moreira , " Über die dynamischen Spektren von Lagrange und Markov " , Ergodic Theory and Dynamical Systems , vol. 37, n o 5,August 2017, p. 1570–1591 ( ISSN 0143-3857 , DOI 10.1017 / etds.2015.121 , online lesen )
Externe Links
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