Lagrange-Bewegung des Kreisels

Die Lagrange-Bewegung des Verdecks ist die Bewegung eines schweren Verdecks um einen Punkt auf seiner Achse, wobei die Reaktion des Trägers an diesem Punkt ein Nullmoment aufweist ( perfektes Kugelgelenk ).

Es ist mehr oder weniger die Bewegung eines gewöhnlichen Verdecks, außer dass in einem Verdeck seine Spitze rund ist und gleitet, während es auf der Ebene reibt, auf der es "ruht": Es folgt durch Anwendung des gyroskopischen Drehmomentsatzes, dass es aufsteht und kommt in eine ruhende obere Position (dh in stabiler Rotation um eine vertikale Achse).

Wenn die richtige Drehung des Verdecks sehr schnell ist, beobachten wir eine Präzessionsbewegung mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit direkt proportional zum Gewicht, die wir experimentell mit einem Kreiselgleichgewicht überprüfen , wobei der Nutationswinkel konstant ist. Es ist ratsam, diesen einfacheren Fall zuerst zu untersuchen, bevor man sich dem allgemeinen Fall nähert, bei dem die Nutation zwischen zwei Werten oszilliert, wobei die Präzession eine variable Geschwindigkeit aufweist.

Gyroskopische Approximation

Notationen

Wir bemerken :

O der Fixpunkt der Spindelachse, der als Stütze dient,
G das Trägheitszentrum der Spindel,
$({\ vec {\ imath}}, {\ vec {\ jmath}}, {\ vec {k}})$ ein galiläischer Bezugsrahmen, der als fest betrachtet wird und vertikal gerichtet ist, ${\ vec {k}}$
${\ displaystyle ({\ vec {I}}, {\ vec {J}}, {\ vec {K}})}$ ein mobiler Referenzrahmen, der mit der Oberseite verbunden ist und entlang der Achse der Oberseite gerichtet ist, $\ vec {K}$
$\ Theta$ der Winkel zwischen und ( Nutationswinkel ), ${\ vec {k}}$ $\ vec {K}$
$\ vec {u}$ der Einheitsvektor direkt orthogonal zum Paar ( , ). Der Winkel zwischen und ist der Präzessionswinkel. Lassen der Einheitsvektor zu dem Paar direkt orthogonal sein ( , ), ${\ vec {k}}$ $\ vec {K}$ $\ psi$ ${\ vec {\ imath}}$ $\ vec {u}$ ${\ vec {w}}$ $\ vec {K}$ $\ vec {u}$
$\ varphi$ der Winkel zwischen und . ist der richtige Drehwinkel, $\ vec {u}$ ${\ displaystyle {\ vec {I}}}$ $\ varphi$
g die Erdbeschleunigung, m die Masse der Oberseite im Abstand zwischen O und dem Trägheitszentrum der Oberseite.

Die Winkel , , sind die Euler - Winkel . $\ varphi$ $\ Theta$ $\ psi$

Gleichung

Der momentane Rotationsvektor der Oberseite in Bezug auf den festen Referenzrahmen ist:

{\ displaystyle {\ vec {\ Omega}} = {\ dot {\ psi}} {\ vec {k}} + {\ dot {\ theta}} {\ vec {u}} + {\ dot {\ varphi }} {\ vec {K}} = {\ dot {\ theta}} {\ vec {u}} + {\ dot {\ psi}} \ sin (\ theta) {\ vec {w}} + ({ \ dot {\ varphi}} + {\ dot {\ psi}} \ cos (\ theta)) {\ vec {K}}}

Unter Berücksichtigung der Eigenschaften der axialen Symmetrie der Spindel bezeichnen wir mit A , A , C die Trägheitsmomente der Spindel, berechnet in O , in Bezug auf die Achsen oder die Achsen . Der Drehimpuls der Spindel in Bezug auf Punkt O beträgt: ${\ displaystyle ({\ vec {I}}, {\ vec {J}}, {\ vec {K}})}$ ${\ displaystyle ({\ vec {u}}, {\ vec {w}}, {\ vec {K}})}$

{\ displaystyle {\ vec {L}} = A {\ dot {\ theta}} {\ vec {u}} + A {\ dot {\ psi}} \ sin (\ theta) {\ vec {w}} + C ({\ dot {\ varphi}} + {\ dot {\ psi}} \ cos (\ theta)) {\ vec {K}}}

Das Gewicht des Routers und die O-förmige Bodenreaktion üben ein Drehmoment aus . ${\ displaystyle mga \ sin (\ theta) {\ vec {u}}}$

Der Drehimpulssatz in O lautet :

{\ displaystyle {\ vec {OG}} \ wedge m {\ vec {g}} = mga \ sin (\ theta) {\ vec {u}} = {\ frac {{\ rm {d}} {\ vec {L}}} {{\ rm {d}} t}}}

Angenommen, die Achse des Routers ist nicht vertikal. Wir stellen uns in das Zwischen-Repository . Der momentane Rotationsvektor des Zwischenreferenzrahmens in Bezug auf den festen Referenzrahmen ist :, Der im Zwischenreferenzrahmen ausgedrückte Drehimpulssatz ist: ${\ displaystyle (O, {\ vec {u}}, {\ vec {w}}, {\ vec {K}})}$ ${\ displaystyle ({\ vec {u}}, {\ vec {w}}, {\ vec {K}})}$ $({\ vec {\ imath}}, {\ vec {\ jmath}}, {\ vec {k}})$ ${\ displaystyle {\ vec {\ Omega _ {\ rm {int}}} = {\ dot {\ psi}} {\ vec {k}} + {\ dot {\ theta}} {\ vec {u} } = {\ dot {\ theta}} {\ vec {u}} + {\ dot {\ psi}} \ sin (\ theta) {\ vec {w}} + {\ dot {\ psi}} \ cos (\ theta) {\ vec {K}}}$

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} mga \ sin (\ theta) \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix}} = {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} {\ begin {pmatrix} A {\ dot {\ theta}} \\ A {\ dot {\ psi}} \ sin (\ theta) \\ C ({\ dot {\ psi}} \ cos (\ theta) + {\ dot {\ varphi}}) \ end {pmatrix}} + {\ begin {pmatrix} {\ dot {\ theta}} \\ {\ dot {\ psi}} \ sin (\ theta) \\ { \ dot {\ psi}} \ cos (\ theta) \ end {pmatrix}} \ wedge {\ begin {pmatrix} A {\ dot {\ theta}} \\ A {\ dot {\ psi}} \ sin ( \ theta) \\ C ({\ dot {\ psi}} \ cos (\ theta) + {\ dot {\ varphi}}) \ end {pmatrix}}}

was gibt das System:

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} mga \ sin (\ theta) & = & A {\ ddot {\ theta}} & + C {\ dot {\ psi}} \ sin (\ theta) ( {\ dot {\ psi}} \ cos (\ theta) + {\ dot {\ varphi}}) - A {\ dot {\ psi}} ^ {2} \ cos (\ theta) \ sin (\ theta) \ \ 0 & = & A {\ ddot {\ psi}} \ sin (\ theta) + A {\ dot {\ psi}} {\ dot {\ theta}} \ cos (\ theta) & + A {\ Punkt {\ psi}} {\ Punkt {\ Theta}} \ cos (\ Theta) -C {\ Punkt {\ Theta}} ({\ Punkt {\ Psi}} \ cos (\ Theta) + {\ Punkt { \ varphi}}) \\ 0 & = & C {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} ({\ dot {\ psi}} \ cos (\ theta) + { \ dot {\ varphi}}) & + \, 0 \ end {matrix}} \ right.}

Die dritte Gleichung drückt aus, dass es sich um eine Konstante handelt , was bedeutet, dass die Komponente des Drehimpulses entlang konstant ist. Daher lautet die zweite Gleichung: ${\ displaystyle {\ dot {\ psi}} \ cos (\ theta) + {\ dot {\ varphi}}}$ $\Omega$ $\ vec {K}$

{\ displaystyle 0 = A {\ ddot {\ psi}} \ sin (\ theta) + 2A {\ dot {\ psi}} {\ dot {\ theta}} \ cos (\ theta) -C {\ dot { \ theta}} \ omega}

und wenn wir es mit multiplizieren , wird die rechte Seite die Ableitung einer Größe, die daher auch konstant ist, gleich der Komponente des Drehimpulses nach . $\ sin (\ theta)$ ${\ displaystyle A {\ dot {\ psi}} \ sin ^ {2} (\ theta) + C \ omega \ cos (\ theta)}$ ${\ displaystyle L_ {Oz}}$ ${\ vec {k}}$

Ungefähre Auflösung

Wir stellen uns in den Rahmen der gyroskopischen Näherung, wenn die Winkelgeschwindigkeit im Vergleich zu den anderen Winkelgeschwindigkeiten groß ist. In diesem Fall wird die Gleichheit in und die Gleichheit in angenähert . Diese letzte Gleichheit bedeutet insbesondere, dass sie konstant ist. Die erste Gleichung wird dann zu der, in der wir uns annähern . ${\ displaystyle {\ dot {\ varphi}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ psi}} \ cos (\ theta) + {\ dot {\ varphi}} = \ omega}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ varphi}} = \ omega}$ ${\ displaystyle A {\ dot {\ psi}} \ sin ^ {2} (\ theta) + C \ omega \ cos (\ theta) = L_ {Oz}}$ ${\ displaystyle C \ omega \ cos (\ theta) = L_ {Oz}}$ $\ Theta$ ${\ displaystyle mga \ sin (\ theta) = C {\ dot {\ psi}} \ sin (\ theta) \ omega -A {\ dot {\ psi}} ^ {2} \ cos (\ theta) \ sin (\ theta)}$ ${\ displaystyle mga \ sin (\ theta) = C {\ dot {\ psi}} \ sin (\ theta) \ omega}$

Es folgt dem :

Die eigene Winkeldrehzahl ist konstant gleich . ${\ displaystyle {\ dot {\ varphi}}}$ $\Omega$
Der Nutationswinkel ist konstant $\ Theta$
Die Winkelgeschwindigkeit der Präzession ist konstant gleich . ${\ displaystyle {\ dot {\ psi}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {mga} {C \ omega}}}$

Wir können das bemerken und sind parallel, da und . Die Bewegungsgleichung lautet daher auch: ${\ vec {L}}$ ${\ displaystyle {\ vec {OG}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {OG}} = a {\ vec {K}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {L}} = C \ omega {\ vec {K}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} {\ vec {L}}} {{\ rm {d}} t}} = {\ vec {OG}} \ wedge m {\ vec {g} }}$

{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} {\ vec {L}}} {{\ rm {d}} t}} = - {\ frac {ma {\ vec {g}}} {C. \ omega}} \ wedge {\ vec {L}}}

Allgemeiner wird jedes physikalische System, das eine Gleichung des Typs mit einer Konstante ungleich Null verifiziert , so sein, dass der Vektor eine Präzessionsbewegung um die durch gerichtete Achse erfährt , wobei letztere genau gleich dem Winkelgeschwindigkeitsvektor der Präzession ist. In der Tat ist orthogonal zu , daher ist der Modul L dieses Vektors konstant. Und ist orthogonal zum konstanten Vektor , so dass die Komponente entlang dieses Vektors ebenfalls konstant ist. Die beiden vorhergehenden Bedingungen führen dazu, dass ein Achsenkegel beschrieben wird . Es ist dann nicht schwierig zu überprüfen, ob die Geschwindigkeit der Präzession die angekündigte ist. ${\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} {\ vec {L}}} {{\ rm {d}} t}} = {\ vec {\ omega}} _ {p} \ wedge {\ mit {L}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ omega}} _ {p}}$ ${\ vec {L}}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ omega}} _ {p}}$ ${\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} {\ vec {L}}} {{\ rm {d}} t}}}$ ${\ vec {L}}$ ${\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} {\ vec {L}}} {{\ rm {d}} t}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ omega}} _ {p}}$ ${\ vec {L}}$ ${\ vec {L}}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ omega}} _ {p}}$

Ein Beispiel für ein solches Phänomen ist die Larmor-Präzession , die den Drehimpuls eines magnetischen Dipols mit der Eigenschaft beeinflusst, dass sein magnetisches Moment proportional zu dem Magnetfeld ist, in das er eingetaucht ist (dies ist bei vielen Partikeln der Fall). Beachten Sie diesen Proportionalitätskoeffizienten. Der Drehimpuls erfüllt dann eine Gleichung des Typs . Wenn dieses Magnetfeld konstant ist, führen Sie eine Achsenpräzessionsbewegung mit einer Winkelpräzessionsgeschwindigkeit von gleich aus . ${\ vec {B}}$ $\Gamma$ ${\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} {\ vec {L}}} {{\ rm {d}} t}} = - \ gamma {\ vec {B}} \ wedge {\ vec { L}}}$ ${\ vec {L}}$ ${\ vec {B}}$ ${\ displaystyle - \ gamma {\ vec {B}}}$

Präzession der Äquinoktien

Die vorherige Studie bezieht sich auch auf das Phänomen der Präzession der Äquinoktien , indem das Moment des Gewichts ersetzt wird, das von der Spitze durch das Paar ausgeübt wird, das von Sonne und Mond auf die äquatoriale Perle der Erde ausgeübt wird. In erster Näherung lautet der theoretische Ausdruck der Winkelgeschwindigkeit der Präzession:

{\ displaystyle {\ dot {\ psi}} = - {\ frac {3} {2}} G {\ frac {CA} {C}} \ left ({\ frac {M _ {\ rm {Soleil}} } {d _ {\ rm {Sun}} ^ {3}}} + {\ frac {M _ {\ rm {Moon}}} {d _ {\ rm {Moon}} ^ {3}} \ right ) {\ frac {\ cos (\ theta)} {\ omega}}}

wo wir die durchschnittlichen Entfernungen und von der Erde zur Sonne und zum Mond verwenden. und sind die Massen von Sonne und Mond, G die Konstante der universellen Gravitation , C und A die Trägheitsmomente der Erde in Bezug auf die Polarachse und eine Äquatorachse, die Neigung der Erdachse auf der Ekliptik und die Rotationsgeschwindigkeit der Erde auf sich selbst. Der Beitrag des Mondes liegt in der Größenordnung des Doppelten des Beitrags der Sonne (dh ungefähr 16 "/ Jahr für die Sonne und 34" / Jahr für den Mond). ${\ displaystyle d _ {\ rm {Sun}}}$ ${\ displaystyle d _ {\ rm {Moon}}}$ ${\ displaystyle M _ {\ rm {Sun}}}$ ${\ displaystyle M _ {\ rm {Moon}}}$ $\ Theta$ $\Omega$

Für ein homogenes Ellipsoid polare Halbachse ein und halb-äquatoriale Achse b , der Quotient ist , aber diese Modellierung der Erde zu einfach nicht möglich , den genauen Wert der Periode der Präzession abzuleiten. Umgekehrt ermöglicht die Bestimmung dieses Zeitraums durch astronomische Beobachtungen die Ableitung des Wertes von oder ungefähr 1/306. ${\ displaystyle {\ frac {CA} {C}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {b ^ {2} -a ^ {2}} {b ^ {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {CA} {C}}}$

Hipparchus gab eine gute Schätzung der Winkelgeschwindigkeit der Präzession. Er konnte die Position des Frühlingspunktes nicht mit der Genauigkeit von 1 "eines Bogens messen , aber er hatte frühere Messungen, die zwei Jahrhunderte alt waren, oder 10.000" des Bogens, was ausreichend war.

Der Himmelspol ist nicht ewig nahe am Polstern . In 26.000 Jahren beschreibt er am Himmel einen Kreis um Punkt Q in einer Richtung senkrecht zur Ekliptik , Punkt Q ungefähr in der Mitte des Sternbildes Drache : Der Kreis mit einem Radius von 23 ° 26 'ist sehr breit und in 13.000 Jahre werden den Pol an die Grenze der Konstellation von Herkules und Lyra bringen : Aus klimatischer Sicht wird die nördliche Hemisphäre diesmal etwas mehr Wärme erhalten als die südliche Hemisphäre (~ 7%), was bei Milanković wichtig ist Klimatheorie (wir müssen die periodische Variation der Exzentrizität und die periodische Variation der Neigung (stabilisiert durch die Existenz des Mondes) hinzufügen. So erhalten wir eine bemerkenswerte Übereinstimmung mit den Gletscherzyklen aus dem Holozän .

Allgemeiner Fall

Auflösung

Wir haben gesehen, dass die Bewegungsgleichungen waren:

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} mga \ sin (\ theta) & = & A {\ ddot {\ theta}} + C {\ dot {\ psi}} \ sin (\ theta) \ omega - A {\ dot {\ psi}} ^ {2} \ cos (\ theta) \ sin (\ theta) \\ L_ {Oz} & = & A {\ dot {\ psi}} \ sin ^ {2} (\ theta) + C \ omega \ cos (\ theta) \\\ omega & = & {\ dot {\ psi}} \ cos (\ theta) + {\ dot {\ varphi}} \ end {matrix}} \ richtig.}

wo und sind Konstanten. Die zweite Gleichung erlaubt es uns, als Funktion von auszudrücken . Wenn wir diesen Ausdruck in der ersten Gleichung übertragen, erhalten wir eine nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung , die im Allgemeinen formal unlöslich ist, von der wir jedoch nachweisen können, dass ein erstes Integral nichts anderes als der Ausdruck der mechanischen Gesamtenergie ist. die während der Bewegung konstant ist, wenn es keine Reibung gibt: $\Omega$ ${\ displaystyle L_ {Oz}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ psi}}}$ $\ Theta$ $\ Theta$

{\ displaystyle E_ {m} = mga \ cos (\ theta) + {\ frac {1} {2}} \ langle {\ vec {\ Omega}}, {\ vec {L}} \ rangle = mga \ cos (\ theta) + {\ frac {1} {2}} (A {\ dot {\ theta}} ^ {2} + A {\ dot {\ psi}} ^ {2} \ sin ^ {2} ( \ theta) + C ({\ dot {\ varphi}} + {\ dot {\ psi}} \ cos (\ theta)) ^ {2})}

Unter Berücksichtigung der Ausdrücke und Vorgaben der letzten beiden Bewegungsgleichungen erhalten wir: ${\ displaystyle {\ dot {\ psi}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ varphi}}}$

{\ displaystyle E_ {m} = mga \ cos (\ theta) + {\ frac {1} {2}} \ left (A {\ dot {\ theta}} ^ {2} + {\ frac {(L_ { Oz} -C \ omega \ cos (\ theta)) ^ {2}} {A \ sin ^ {2} (\ theta)}} + C \ omega ^ {2} \ right)}

Wir schreiben diese Gleichung im Allgemeinen in der Form:

{\ displaystyle E_ {m} = {\ frac {1} {2}} A {\ dot {\ theta}} ^ {2} + E _ {\ rm {eff}}}

mit der Menge, die als effektive potentielle Energie bezeichnet wird.

{\ displaystyle E _ {\ rm {eff}} = mga \ cos (\ theta) + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {(L_ {Oz} -C \ omega \ cos () \ theta)) ^ {2}} {A \ sin ^ {2} (\ theta)}} + C \ omega ^ {2} \ right)}

Diese Gleichung ermöglicht es, eine qualitative Untersuchung des Verhaltens der Nutation durchzuführen , aber in einigen besonderen Fällen auch eine ungefähre Auflösung, die beispielsweise durch Linearisierung erhalten wird, wenn die Variationen von klein sind. $\ Theta$ $\ Theta$

Wir können zeigen, dass dies eine Bewegung à la Poinsot in einem Referenzrahmen ist, der sich à la Poinsot bewegt .

Qualitative Studie

Angenommen, zu einem bestimmten Zeitpunkt, entweder verschieden von 0 und π, ist dies ungleich Null (zum Beispiel streng positiv) und das ist verschieden von . In diesem Fall ist eine zunehmende Funktion der Zeit. Es ist unmöglich, dass der Wert π annimmt oder sogar zu π tendiert, da die effektive potentielle Energie im Widerspruch zur Konstanz der mechanischen Energie dazu tendieren würde . Daher gibt es einen Maximalwert , der nicht überschritten werden kann. In diesem Wert wird abgebrochen. Wir zeigen auch, dass es einen Mindestwert gibt, unter den nicht gesenkt werden kann. Die Nutationsbewegung ist zwischen diesen beiden Werten begrenzt. Werte unter 90 ° sind auf den Kreiseleffekt zurückzuführen. $\ Theta$ ${\ displaystyle {\ dot {\ theta}}}$ ${\ displaystyle L_ {Oz}}$ ${\ displaystyle \ pm C \ omega}$ $\ Theta$ $\ Theta$ $+ \ infty$ ${\ displaystyle \ theta _ {1} <\ pi}$ $\ Theta$ ${\ displaystyle {\ dot {\ theta}}}$ ${\ displaystyle \ theta _ {0}> 0}$ $\ Theta$ $\ Theta$

Stabilität des ruhenden Routers

Der Fall eines Kreisels, der sich stabil um eine aufsteigende vertikale Achse dreht, wird als ruhender Kreisel bezeichnet. Wir können den Zustand dieser Stabilität bestimmen. Es reicht aus, dass die effektive potentielle Energie in minimal ist . $\ theta = 0$

Wenn die Rotation vertikal ist, haben wir und der Ausdruck der effektiven potentiellen Energie wird: ${\ displaystyle L_ {Oz} = C \ omega}$

{\ displaystyle E _ {\ rm {eff}} = mga \ cos (\ theta) + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {C ^ {2} \ omega ^ {2} ( 1 - \ cos (\ theta) ^ {2}} {A \ sin ^ {2} (\ theta)}} + C \ omega ^ {2} \ right) = mga \ cos (\ theta) + {\ frac {1} {2}} C \ omega ^ {2} + {\ frac {1} {2}} {\ frac {C ^ {2} \ omega ^ {2}} {A}} \ tan ^ {2 } ({\ frac {\ theta} {2}})}

Eine begrenzte Entwicklung der effektiven potentiellen Energie in der Nachbarschaft ergibt dann: $\ theta = 0$

{\ displaystyle E _ {\ rm {eff}} = mga + {\ frac {1} {2}} C \ omega ^ {2} + \ left ({\ frac {C ^ {2} \ omega ^ {2 }} {4A}} - mga \ right) {\ frac {\ theta ^ {2}} {2}} + o (\ theta ^ {2})}

Es gibt ein Minimum in if oder again . Die Stabilität ist umso größer, je höher die Drehzahl, das Trägheitszentrum nahe dem Punkt O und das Trägheitsmoment C im Vergleich zum Trägheitsmoment A (scheibenförmige Spindel statt Kugel) ist. $\ theta = 0$ ${\ displaystyle {\ frac {C ^ {2} \ omega ^ {2}} {4A}} - mga> 0}$ ${\ displaystyle C ^ {2} \ omega ^ {2}> 4Amga}$

Einheitliche Präzession

Es gibt eine gleichmäßige Präzession, wenn sie konstant ist. Die zweite Bewegungsgleichung zeigt, dass dies genau dann geschieht, wenn es konstant ist. In diesem Fall lautet die erste Bewegungsgleichung: ${\ displaystyle {\ dot {\ psi}}}$ ${\ displaystyle L_ {Oz} = A {\ dot {\ psi}} \ sin ^ {2} (\ theta) + C \ omega \ cos (\ theta)}$ $\ Theta$

{\ displaystyle mga = C {\ dot {\ psi}} \ omega -A {\ dot {\ psi}} ^ {2} \ cos (\ theta)}

quadratische Gleichung in . Somit gibt es für eine gegebene Nutation zwei mögliche Präzessionsgeschwindigkeiten. In der Praxis ist der langsamere am einfachsten zu erhalten. Mit zunehmender Annäherung nähert sich diese langsame Präzession dem Wert der Präzessionsrate, die oben im Zusammenhang mit der gyroskopischen Approximation gefunden wurde. ${\ displaystyle {\ dot {\ psi}}}$ $\ Theta$ $\Omega$

Linearisierte Bewegung

Die Linearisierung der Bewegung des Gyroskops besteht in der Annahme, dass kleine Variationen der Euler-Winkel von Referenzwinkeln stattfinden. Man führt dann eine begrenzte Entwicklung der Bewegungsgleichungen durch, indem man nur die Terme erster Ordnung beibehält. Wir erhalten so ein lösbares lineares Differentialsystem.

Als Beispiel nehmen wir den Fall einer einheitlichen Präzession mit den folgenden Näherungen:

${\ displaystyle \ theta (t) = \ theta _ {0} + Y (t)}$ , wobei ein konstanter Nutationswinkel als Referenz dient, $\ theta _ {0}$
${\ displaystyle \ psi (t) = t \ cdot \ mathrm {Pr} + {\ frac {X (t)} {\ sin (\ theta _ {0})}}}$ wobei Pr eine der konstanten Präzessionsraten ist, die der Nutation entspricht und die Gleichung des vorherigen Absatzes erfüllt . Der Nenner von X ( t ) soll das zukünftige Differentialsystem und den Ausdruck der kinetischen Energie des Gyroskops nach X und Y vereinfachen . $\ theta _ {0}$ ${\ displaystyle mga = C \ omega \ times \ mathrm {Pr} -A \ cos (\ theta _ {0}) \ times \ mathrm {Pr} ^ {2}}$

Wir linearisieren die ersten beiden Bewegungsgleichungen:

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} mga \ sin (\ theta) & = & A {\ ddot {\ theta}} + C {\ dot {\ psi}} \ sin (\ theta) \ omega - A {\ dot {\ psi}} ^ {2} \ cos (\ theta) \ sin (\ theta) \\ L_ {Oz} & = & A {\ dot {\ psi}} \ sin ^ {2} (\ theta) + C \ omega \ cos (\ theta) \ end {matrix}} \ right.}

und wir bekommen:

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} 0 & = & {\ ddot {Y}} + {\ frac {C \ omega -2A \ cos (\ theta _ {0}) \ mathrm {Pr}} {A}} {\ dot {X}} + \ sin ^ {2} (\ theta _ {0}) \ mathrm {Pr} ^ {2} Y \\ {\ dot {X}} & = & {\ frac {C \ omega -2A \ cos (\ theta _ {0}) \ mathrm {Pr}} {A}} Y \ end {matrix}} \ right.}

Man beachte , dass in rad / s praktisch gleich für hohe Rotationsgeschwindigkeiten ist und dass dies eine gyroskopische Kopplung kennzeichnet, die Energie spart: Diese überträgt sich von X nach Y und umgekehrt. ${\ displaystyle K = {\ frac {C \ omega -2A \ cos (\ theta _ {0}) \ mathrm {Pr}} {A}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {C} {A}} \ omega}$

Die erste Gleichung lautet:

{\ displaystyle 0 = {\ ddot {Y}} + K {\ dot {X}} + \ sin ^ {2} (\ theta _ {0}) \ mathrm {Pr} ^ {2} Y = {\ ddot {Y}} + (K ^ {2} + \ sin ^ {2} (\ theta _ {0}) \ mathrm {Pr} ^ {2}) Y}

welches in Form einer sinusförmigen Schwingung der Pulsation integriert ist . Das Ende des Gyroskops beschreibt dann einen mehr oder weniger langgestreckten Trochoiden auf einer Kugel . ${\ displaystyle {\ sqrt {K ^ {2} + \ sin ^ {2} (\ theta _ {0}) \ mathrm {Pr} ^ {2}}} \ sim K \ sim {\ frac {C} { A}} \ omega}$

Ein weiteres Beispiel: Wenn wir die Bewegungsgleichungen als Anfangsbedingungen mit einer von 0 und π verschiedenen Nutation und einer Variationsgeschwindigkeit von Nutation und Präzession von Null linearisieren, erhalten wir eine Zykloidenbewegung auf der Kugel, wobei die Punkte der Zykloide sind oben.

Siehe auch

Zum Thema passende Artikel

Externe Links

Michèle Audin, „ Integrable ou pas “ ,andere Version davon ist: Michèle Audin, „ Les Caprices du Satelliten “ Pour la Wissenschaft , n o 317,1 st März 2004( online lesen )

Literaturverzeichnis

Michèle Audin, Hamiltonsche Systeme und ihre Integrierbarkeit , EDV-Wissenschaften , 2001, ( ISBN 978-2868835222 )
J.-P. Pérez, Mechanik, Grundlagen und Anwendungen , Masson,1997( ISBN 2-225-82916-0 )

Anmerkungen und Referenzen

Perez 1997 , p. 383
Perez 1997 , p. 393
Perez 1997 , p. 389
Pierre Kohler, Der Himmel, Leitatlas des Universums , Hachette ,1982, p. 279
Perez 1997 , p. 384
L. Landau und E. Lifchitz, Theoretische Physik, Mechanik , Ellipsen ,1994, p. 173
Perez 1997 , p. 385