Faktorieller Moment

In der Mathematik und insbesondere in der Wahrscheinlichkeitstheorie bezeichnet das Fakultätsmoment die Erwartung der abnehmenden Fakultät einer Zufallsvariablen . Faktorielle Momente sind nützlich bei der Untersuchung von Zufallsvariablen mit Werten in der Menge der natürlichen Zahlen.

Faktorielle Momente werden auch im mathematischen Bereich der Kombinatorik verwendet , um diskrete mathematische Strukturen zu untersuchen.

Definition

Für eine natürliche ganze Zahl $r$ ist das $r-$ te faktorielle Moment einer reellen oder komplexwertigen Zufallsvariablen $X$

{\ displaystyle \ mathbb {E} {\ bigl [} (X) _ {r} {\ bigr]} = \ mathbb {E} {\ bigl [} X (X-1) (X-2) \ cdots ( Xr + 1) {\ bigr]}}

wo bezeichnet Hoffnung und $\ mathbb {E}$

{\ displaystyle (x) _ {r}: = \ underbrace {x (x-1) (x-2) \ cdots (x-r + 1)} _ {r {\ text {Terms}}}}

bezeichnen die abnehmende Fakultät (wir betrachten dies als Konvention). Damit diese letzte Erwartung gut definiert ist, ist es zum Beispiel notwendig, dass oder . ${\ displaystyle (x) _ {0} = 1}$ ${\ displaystyle (X) _ {r} \ geq 0}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} [| (X) _ {r} |] <\ infty}$

Beachten Sie, dass es in der Definition nicht erforderlich ist, dass $X$ positive ganzzahlige Werte hat, auch wenn sehr oft der Begriff des faktoriellen Moments im Kontext von Zufallsvariablen mit Werten in der Menge der natürlichen ganzen Zahlen verwendet wird.

Beispiele

Poissons Gesetz

Wenn eine Zufallsvariable $X$ einer Poisson-Verteilung mit dem Parameter λ folgt , sind die Fakultätsmomente von $X$ gegeben durch

{\ displaystyle \ mathbb {E} {\ bigl [} (X) _ {r} {\ bigr]} = \ lambda ^ {r}}

Diese Formel ist im Vergleich zur klassischen Momentformel , bei der Stirling-Zahlen der zweiten Art verwendet werden, ziemlich einfach .

Binomialgesetz

Wenn eine Zufallsvariable $X$ einer Binomialverteilung der Parameter $n$ und $p$ folgt , sind die Fakultätsmomente von $X$ gegeben durch

{\ displaystyle \ mathbb {E} {\ bigl [} (X) _ {r} {\ bigr]} = (n) _ {r} p ^ {r}}

Hypergeometrisches Gesetz

Wenn eine Zufallsvariable $X$ einem hypergeometrischen Gesetz der Parameter $n$ , $p$ und $N$ folgt , sind die Fakultätsmomente von $X$ gegeben durch

{\ displaystyle \ mathbb {E} {\ bigl [} (X) _ {r} {\ bigr]} = {\ frac {(n) _ {r} (pN) _ {r}} {(N) _ {r}}}}

Beta-Binomialgesetz

Wenn eine Zufallsvariable $X$ einer Beta-Binomialverteilung der Parameter $α$ , $β$ und $n$ folgt , sind die Fakultätsmomente von $X$ gegeben durch

{\ displaystyle \ mathbb {E} {\ bigl [} (X) _ {r} {\ bigr]} = {\ frac {(n) _ {r} (\ alpha) _ {r}} {(\ alpha + \ beta) _ {r}}}}

Markov-Pólya-Gesetz

Wenn eine Zufallsvariable $X$ einem Markov-Pólya-Gesetz mit den Parametern $a$ , $b$ , $h$ und $n$ folgt , mit anderen Worten, wenn

{\ displaystyle \ mathbb {P} (X = k) = {\ binom {n} {k}} {\ frac {a (a + h) \ Punkte (a + (k-1) h) b (b + h) \ Punkte (b + (nk-1) h)} {(a + b) (a + b + h) \ Punkte (a + b + (n-1) h)}} ~~~~~~ \ forall k = 0.1, \ dots n}

dann sind für ungleich Null $h$ die Fakultätsmomente von $X$ gegeben durch

{\ displaystyle \ mathbb {E} {\ bigl [} (X) _ {r} {\ bigr]} = {\ frac {(n) _ {r} (- a / h) _ {r}} {( - (a + b) / h) _ {r}}} = {\ frac {(n) _ {r} (a / h) ^ {(r)}} {((a + b) / h) ^ {(r)}}}}

wobei bezeichnet die zunehmende Fakultät . ${\ displaystyle x ^ {(r)}}$

Wenn $h$ Null ist, folgt $X$ einer Binomialverteilung der Parameter $n$ und $p = a / ( a + b )$ .

Wenn $h$ gleich -1 ist, folgt $X$ einem hypergeometrischen Gesetz mit den Parametern $n$ , $p = a / ( a + b )$ und $N = a + b$ .

Wenn schließlich $h gleich$ 1 ist, folgt $X$ einem Beta-Binomialgesetz mit den Parametern $α = a$ , $β = b$ und $n$ .

Negatives Binomialgesetz

Wenn eine Zufallsvariable $X$ einer negativen Binomialverteilung der Parameter $n$ und $p$ folgt, dh wenn

{\ displaystyle \ mathbb {P} (X = k) = {\ binom {n + k-1} {k}} p ^ {n} (1-p) ^ {k} ~~~~~~ \ forall k = 0,1, \ Punkte}

dann sind die Fakultätsmomente von $X$ gegeben durch

{\ displaystyle \ mathbb {E} {\ bigl [} (X) _ {r} {\ bigr]} = {\ frac {(1-p) ^ {r} n ^ {(r)}} {p ^ {r}}}}

wobei bezeichnet die zunehmende Fakultät . ${\ displaystyle x ^ {(r)}}$

Verknüpfung mit anderen Mengen

Momente

Das $n-$ te Moment einer Zufallsvariablen $X$ existiert und ist genau dann endlich, wenn ihr $n-$ tes faktorielles Moment existiert und endlich ist. Wenn ja, haben wir außerdem die folgende Beziehung

{\ displaystyle \ mathbb {E} {\ bigl [} X ^ {n} {\ bigr]} = \ sum _ {r = 0} ^ {n} S (n, r) \ mathbb {E} [(X. ) _ {r}]}

wobei $S ( n , r )$ eine Stirlingzahl der zweiten Art bezeichnet .

Wahrscheinlichkeitsgeneratorfunktion

Im Fall einer Zufallsvariablen $X$ mit positiven ganzzahligen Werten existiert das $r-$ te faktorielle Moment einer Zufallsvariablen $X$ und ist genau dann endlich, wenn ihre Erzeugungsfunktion der Wahrscheinlichkeiten eine linke Ableitung der Ordnung $r$ in 1 zulässt. Gegebenenfalls haben wir die folgende Beziehung ${\ displaystyle G_ {X}}$

{\ displaystyle \ mathbb {E} {\ bigl [} (X) _ {r} {\ bigr]} = G_ {X} ^ {(r)} (1)}

Massenfunktion

Im Fall einer Zufallsvariablen $X$ mit positiven ganzzahligen Werten kann man natürlich das $r-$ te faktorielle Moment von $X$ mit seiner Massenfunktion wie folgt in Beziehung setzen

{\ displaystyle \ mathbb {E} {\ bigl [} (X) _ {r} {\ bigr]} = \ sum _ {k = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {(r + k)! } {k!}} \ mathbb {P} (X = r + k)}

Es ist möglich, diese Formel umzukehren, um einen Ausdruck der Massenfunktion als Funktion der Fakultätsmomente zu erhalten

{\ displaystyle \ mathbb {P} (X = k) = \ sum _ {\ ell = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {\ ell}} {k! \ ell!} } \ mathbb {E} {\ bigl [} (X) _ {k + \ ell} {\ bigr]}}

Siehe auch

Anmerkungen und Referenzen

DJ Daley und D. Vere-Jones. Eine Einführung in die Theorie der Punktprozesse. Flug. Ich . Wahrscheinlichkeit und ihre Anwendungen (New York). Springer, New York, zweite Ausgabe, 2003
John Riordan , Einführung in die kombinatorische Analyse , Dover,1958
John Riordan , Einführung in die kombinatorische Analyse , Dover,195830 p.
Potts, RB, „ Anmerkung zu den faktoriellen Momenten von Standardverteilungen “, Australian Journal of Physics , CSIRO, vol. 6,1953, p. 498–499 ( DOI 10.1071 / ph530498 )
(in) RC Tripathi, RC Gupta und J Gurland, " Schätzung von Parametern im Beta-Binomial-Modell " , Ann. Inst. Statist. Math , vol. 46,1994, p. 317-331 ( online lesen )
Charles Jordan, „ Über einen verallgemeinerten Fall der Wahrscheinlichkeit wiederholter Tests “, CR Acad. Sci. Paris , vol. 184,1927, p. 315-317
(in) " Faktorielle Zeit des negativen Binomials " ,2016
Laurent Rouvière, " Allgemeine Wahrscheinlichkeiten " , p. 43