Bildmessung

In der Messtheorie ist die Bildmessung eine Messung, die an einem messbaren Raum definiert und über eine messbare Funktion auf einen anderen messbaren Raum übertragen wird .

Definition

Wir geben uns zwei messbare Räume und eine messbare Anwendung und ein Maß . Das Bildmaß von $μ$ durch $f$ ist ein Maß, das über notiert und definiert ist durch: $\ scriptstyle (X_ {1}, \ Sigma _ {1})$ $\ scriptstyle (X_ {2}, \ Sigma _ {2})$ $\ scriptstyle f \ Doppelpunkt X_ {1} \ rechter Pfeil X_ {2}$ $\ scriptstyle \ mu \ Doppelpunkt \ Sigma _ {1} \ rightarrow [0, + \ infty]$ $\ scriptstyle \ Sigma _ {2}$ $\ scriptstyle f _ {\ ast} \ mu$

(f _ {\ ast} \ mu) (B) = \ mu \ left (f ^ {{- 1}} (B) \ right) {\ text {für alle}} B \ in \ Sigma _ {2} .

Diese Definition gilt auch für komplexe unterzeichnete Maßnahmen .

Variable Änderungsformel

Die Formel zum Ändern von Variablen ist eine der Haupteigenschaften: Eine Funktion g auf X 2 ist in Bezug auf das Bildmaß $f * μ$ genau dann integrierbar, wenn die zusammengesetzte Funktion $g\circ f$ in Bezug auf das Maß $μ integrierbar ist$ . In diesem Fall stimmen die beiden Integrale überein:

\ int _ {{X_ {2}}} g ~ {\ mathrm d} (f _ {\ ast} \ mu) = \ int _ {{X_ {1}}} g \ circ f ~ {\ mathrm d} \ mu.

Beispiele und Anwendungen

Das natürliche Lebesgue-Maß auf dem Einheitskreis S 1 , hier als Teilmenge der komplexen Ebene ℂ gesehen, ist nicht als Bildmaß des Lebesgue-Maßes $λ$ auf den Realwerten ℝ definiert, sondern auf seine Einschränkung, die wir auch $λ$ bemerken werden im Intervall $[0, 2π [$ . Sei $f$ $: [0, 2π [\to$ $S$ $1$ die natürliche Bijektion, die durch $f$ $($ $t$ $) = e$ $i$ $t definiert ist$ . Das Lebesgue-Maß für S 1 ist dann das Bildmaß $f$ $*$ $λ$ . Diese Messung $f$ $*$ $λ$ kann auch als Bogenlängenmaß oder Winkelmaß bezeichnet werden , da die $f$ $*$ $λ-$ Messung des Bogens S 1 genau die Länge des Bogens ist.
Das vorige Beispiel erweitert sich, um das Lebesgue-Maß für den n- dimensionalen Torus T n zu definieren . Das Lebesgue-Maß für T n ist bis zur Renormierung das Haar-Maß für die verbundene kompakte Lie-Gruppe T n .
Eine Zufallsvariable ist eine messbare Abbildung zwischen einem Wahrscheinlichkeitsraum und ℝ. Das Wahrscheinlichkeitsmaß einer Zufallsvariablen ist das Bildmaß von ℙ durch die Zufallsvariable X : $\ scriptstyle (\ Omega, {\ mathcal A}, {\ mathbb P})$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {X} = X _ {\ ast} \ mathbb {P} = \ mathbb {P} (X ^ {- 1} (\ cdot)).}$
Betrachten Sie die messbare Funktion $f: X \to X$ und die Zusammensetzung von $f$ für sich $n-$ mal: $f ^ {{(n)}} = \ underbrace {f \ circ f \ circ \ dots \ circ f} _ {{n {\ text {times}}}} \ Doppelpunkt X \ bis X.$ Diese iterative Funktion bildet ein dynamisches System . Es ist oft nützlich, ein Maß $μ$ auf X zu finden , das die Karte $f$ unverändert lässt, oder ein invariantes Maß (en) , dh das erfüllt: $f * μ = μ$ .

Referenz

(de) VI Bogatschow , Maßtheorie , Springer,2007, Abschnitte 3.6-3.7