In der Mengenlehre kombiniert das Kontraktions-Lemma Mostowski von Andrzej Mostowski ein Ganzes mit einer fundierten Beziehung, die eine einzigartige transitive Menge darstellt . Wenn man also die Mitgliedschaft erhält, ist diese App ein Morphismus . Wenn darüber hinaus die fundierte Beziehung auf der Startmenge eine Erweiterung ist , ist die Karte ein Isomorphismus . Die Bildmenge wird als kontrahiert oder Mostowskis Zusammenbruch der Menge bezeichnet, die mit der begründeten Beziehung versehen ist.
Das Lemma wird auf Klassen verallgemeinert , vorausgesetzt, die Vorläufer eines Elements der Klasse durch die begründete Beziehung, die betrachtet wird - diese Beziehung ist selbst eine Klasse -, bilden eine Menge.
Er interveniert für die Konstruktion von Modellen der Mengenlehre, zum Beispiel beim Forcen .
Sei A eine Menge und R eine Beziehung, die auf dieser Menge begründet ist. Dann gibt es eine und nur eine Funktion φ, die überprüft
φ ( x ) = {φ ( y ) | y ∈ A und y R x }.Diese Beziehung ermöglicht es, φ durch Induktion auf der fundierten Beziehung R zu definieren .
Die Funktion φ ist die Kontraktionsfunktion ( (en) Kollapsfunktion ) der Menge ( A , R ). Sein Bildsatz T ist der kontrahierte oder Mostowski- Zusammenbruch von ( A , R ). Die Funktion φ ist ein Morphismus von ( A , R ) bis ( T , ∈): Die Beziehung, die es erlaubt, sie durch Induktion zu definieren, sagt genau das für x ∈ A und y ∈ A.
φ ( y ) ∈ φ ( x ) genau dann, wenn y R x .Dieses Set ist konstruktionsbedingt transitiv .
Die Funktion φ ist auf T surjektiv , kann aber nicht injektiv sein: Zwei Elemente von A , die die gleichen Antezedenzen von R haben, werden durch φ identifiziert (es ist ein Extensionskollaps).
Ein interessanter Sonderfall ist der, in dem die Beziehung R ist extensionale auf A heißt , dass ( A , R ) erfüllt die Extensionalitatsaxiom , das geschrieben wird ,
∀ x ∈ A ∀ y ∈ A [∀ z ∈ A ( z R x ⇔ z R y ) ⇒ x = y ].Zum Beispiel ist die strikte Ordnungsbeziehung einer vollständig geordneten Menge eine Erweiterung.
Wenn die Beziehung R eine Dehnung ist, ist die Funktion φ ein Isomorphismus von ( A , R ) auf ( I , ∈).
Tatsächlich ist φ bereits ein surjektiver Morphismus auf T , und wir zeigen durch Induktion der fundierten Beziehung R , dass für alle x ∈ A.
∀ y ∈ A (φ ( x ) = φ ( y ) ⇒ x = y ).Es wird angenommen, dass die Eigenschaft für alle R- Vorgänger von x wahr ist . Wenn φ ( x ) = φ ( y ) ist, dann deshalb, weil x und y die gleichen R-Antezedenzien haben (Definitionen von φ ( x ) und φ ( y )) und daher durch Erweiterung gleich sind. Der Morphismus φ ist daher injektiv, daher bijektiv.
Zusammenfassend.
Mostowskis Lemma (Mengenfall). - Wenn ( A , R ) eine Menge ist, die mit einer fundierten Beziehung R ausgestattet ist , dann existiert eine eindeutige transitive Menge T und eine eindeutige Funktion φ, so dass φ ein surjektiver Morphismus von ( A , ist, R ) auf ( T , ∈). Wenn außerdem R auf A dehnbar ist, ist φ ein Isomorphismus.
Zum Beispiel für { a , b } mit der strengen Reihenfolge, die durch a < b , φ ( a ) = ∅, φ ( b ) = {φ ( a )} = {∅} definiert ist, der Mostowski-Kollaps von ({ a , b }, <) ist {∅, {∅}}, dh die Ordnungszahl 2.
Allgemeiner, wenn ( A , <) eine gute strenge Ordnung ist, die zugehörige Ordnung total ist, ist der Mostowski-Kollaps die eindeutige Ordnungszahl, die zu dieser guten Ordnung isomorph ist.
Mostowskis Kontraktionslemma wird in der Zermelo-Fraenkel- ZF- Mengenlehre ohne Gründungsaxiom demonstriert . Das Axiom des Potenzsatzes ist nicht mehr erforderlich.
In Gegenwart des Stiftungsaxioms gilt Mostowskis Lemma für eine mit Mitgliedschaft ausgestattete Menge A. Wenn die Mitgliedschaft Beziehung extensionaler vorbei ist A sei ( A , ∈) erfüllen die Extensionalität Axiom, sagen wir , dass A ist extensional .
Die Menge A ist eine Erweiterung, wenn ∀ x ∈ A ∀ y ∈ A [( x ∩ A = y ∩ A ) ⇒ x = y ].In diesem speziellen Fall wird Mostowskis Lemma dann
Eine Erweiterungsmenge ist durch einen eindeutigen Isomorphismus isomorph zu einer eindeutigen transitiven Menge.Das Lemma verallgemeinert sich auf Klassen , aber wir müssen dann annehmen, dass die "Beziehung" R , die dann auch eine Klasse ist, die Eigenschaft hat, dass für jedes x- Element von A die Klasse der R- Vorgänger von x eine Menge ist. Die "Funktion" φ ist dann eine Funktionsklasse. Diese Bedingung ist nützlich, um den Satz der Definition durch Induktion auf der relationalen Klasse R zu beweisen, in diesem Fall um die Existenz der Funktionsklasse φ zu beweisen.