Morse Homologie
Die Morse-Homologie ist eine Ansatzhomologie der Morse-Theorie . Es ermöglicht uns, die Homologie eines kompakten Differentialverteilers anhand der Daten einer Morsefunktion und einer Riemannschen Metrik (mit Kompatibilitätsbedingungen) zu verstehen . Umgekehrt ermöglicht die Morse-Homologie ein kombinatorisches Verständnis der Dynamik eines generischen Gradientenflusses einer gegebenen Morse-Funktion auf einem kompakten Verteiler aus der Homologie des Verteilers. Dieser homologische Ansatz führt zum Schreiben von Morse-Ungleichungen .
Lassen Sie uns eine Morsefunktion auf einem kompakten Differentialverteiler festlegen , der mit einer Riemannschen Metrik ausgestattet ist . In der Praxis hat die Wahl der Riemannschen Metrik eine untergeordnete Bedeutung: Der Raum der Riemannschen Metrik ist ein konvexer Kegel des Raums der Abschnitte des Vektorbündels , und es können globale Variationen durchgeführt werden.
f{\ displaystyle f}
M.{\ displaystyle M}
G{\ displaystyle g}
G{\ displaystyle g}
S.2M.→M.{\ displaystyle S ^ {2} M \ bis M}
G{\ displaystyle g}![G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77)
Die Morse-Homologie besteht darin, einen Komplex von Ketten oder Ketten gemäß den Autoren zu definieren, daher:
- Ein graduiertes Modul oder , dessen Definition unabhängig ist von ;BEIM{\ displaystyle A}
VS∗((f,BEIM){\ displaystyle C _ {*} (f, A)}
VS∗((f,BEIM){\ displaystyle C ^ {*} (f, A)}
G{\ displaystyle g}![G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77)
- Eine -lineare Karte oder von Nullquadrat und Grad -1 oder +1.BEIM{\ displaystyle A}
d::VS∗((f,BEIM)→VS∗((f,BEIM){\ displaystyle d: C _ {*} (f, A) \ bis C _ {*} (f, A)}
d::VS∗((f,BEIM)→VS∗((f,BEIM){\ displaystyle d: C ^ {*} (f, A) \ bis C ^ {*} (f, A)}![{\ displaystyle d: C ^ {*} (f, A) \ bis C ^ {*} (f, A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cb3a1ff9c1f4ae7f5b10adc0f7bde7dc5a162ae)
Genauer gesagt, wo ist das grundlegende freie Modul die Menge der kritischen Punkte der Funktion ? Der Abschluss hängt von der Vereinbarung ab. Der On-Board- oder Cobord-Operator wird definiert, indem die Umlaufbahnen des Flusses plus oder minus des Gradienten gezählt werden , der kritische Punkte mit einer Differenz von Indizes von 1 verbindet. Die Endlichkeit der Anzahl solcher Umlaufbahnen wird durch eine allgemeine Bedingung sichergestellt, die sich auf oder auf auswirkt . Die Einführung von Zeichen ist notwendig, um sicherzustellen, dass das Quadrat von Null ist.
VS∗((f,BEIM){\ displaystyle C _ {*} (f, A)}
VS∗((f,BEIM){\ displaystyle C ^ {*} (f, A)}
BEIM{\ displaystyle A}
f{\ displaystyle f}
d{\ displaystyle d}
f{\ displaystyle f}
f{\ displaystyle f}
G{\ displaystyle g}
d{\ displaystyle d}![d](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab)
Die so definierten Homologie- oder Kohomologiegruppen des Komplexes von Ketten oder Cochains sind unabhängig von der Wahl der Metrik : Sie werden mit oder bezeichnet . Sie sind natürlich isomorph zu den Homologie- oder Kohomologiegruppen der Mannigfaltigkeit mit Koeffizienten in .
G{\ displaystyle g}
H.∗((f,BEIM){\ displaystyle H _ {*} (f, A)}
H.∗((f,BEIM){\ displaystyle H ^ {*} (f, A)}
M.{\ displaystyle M}
BEIM{\ displaystyle A}![BEIM](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
Abschluss
Die Graduierung des Moduls oder hängt von der Wahl der Indizierung der kritischen Punkte der Funktion ab .
BEIM{\ displaystyle A}
VS∗((f,BEIM){\ displaystyle C _ {*} (f, A)}
VS∗((f,BEIM){\ displaystyle C ^ {*} (f, A)}
f{\ displaystyle f}![f](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
An einem kritischen Punkt von ist die hessische Matrix von gut definiert und unabhängig von der Wahl der Riemannschen Metrik. Die Nicht-Degeneration von genau bedeutet, dass der Hessische eine bilineare nicht-degenerierte Form ist . Der Index von hängt von seiner Unterschrift ab; Zwei Konventionen existieren nebeneinander:
x{\ displaystyle x}
f{\ displaystyle f}
f{\ displaystyle f}
x{\ displaystyle x}
H.x{\ displaystyle H_ {x}}
T.xM.{\ displaystyle T_ {x} M}
M.{\ displaystyle M}![M.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
- Der Index ist definiert als die Dimension eines maximal positiven bestimmten Unterraums.μ((x){\ displaystyle \ mu (x)}
![\ mu (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f339251a09ebf15dd50bb751d27b02820f68c545)
- Der Index ist definiert als die Dimension eines maximal negativ definierten Unterraums.ν((x){\ displaystyle \ nu (x)}
![\ nu (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cf61b83d9d61e23f4dde443ed366b6019b73df8)
Das Modul, bei dem das grundlegende freie Modul die Menge der kritischen Indexpunkte ist .
BEIM{\ displaystyle A}
VSk((f,BEIM){\ displaystyle C_ {k} (f, A)}
VSk((f,BEIM){\ displaystyle C ^ {k} (f, A)}
BEIM{\ displaystyle A}
f{\ displaystyle f}
k{\ displaystyle k}![k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
Morse-Palais Zustand
Zu einem festen Riemannschen Metrik wird die zugehörige Gradientenvektorfeldes der definiert ist durch:
G{\ displaystyle g}
X.{\ displaystyle X}
f{\ displaystyle f}![f](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
G((X.,Y.)=df((Y.)=Y.⋅f{\ displaystyle g (X, Y) = \ mathrm {d} f (Y) = Y \ cdot f}![g (X, Y) = {\ mathrm d} f (Y) = Y \ cdot f](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6428d4337d6e50affe952b19a78399d08671279)
.
Die Morse-Palais-Bedingung (oder Morse-Smale oder Palais-Smale oder Morse-Palais-Smale nach Angaben der Autoren) ist eine allgemeine Bedingung im Sinne von Baire in Bezug auf die Wahl der Morsefunktion oder die Wahl des Riemannschen Metrik . Es lautet wie folgt:
f{\ displaystyle f}
G{\ displaystyle g}![G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77)
Die
stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten von oder an den kritischen Schnittpunkten kreuzen sich paarweise quer.
X.{\ displaystyle X}
- -X.{\ displaystyle -X}
f{\ displaystyle f}![f](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
Durch die Kompaktheit sind die Felder und global. Die Lösungen der Differentialgleichung:
X.{\ displaystyle X}
- -X.{\ displaystyle -X}![{\ displaystyle -X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04b65f9a4b50bbd3fd4db90fb57f580b7e32b89e)
ddtu((t)=±X.[u((t)]]{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} u (t) = \ pm X {\ bigl [} u (t) {\ bigr]}}![{\ frac {{\ mathrm d}} {{\ mathrm d} t}} u (t) = \ pm X {\ bigl [} u (t) {\ bigr]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92cc9b3d8ab8deb45ab9ea353676438c090784ab)
sind global definiert und haben Grenzen in Grenzen, die kritische Punkte von sind . Die Morse-Palais-Bedingung reicht aus, um den Kanten- oder Cobord-Operator zu definieren .
R.{\ displaystyle \ mathbb {R}}
±∞{\ displaystyle \ pm \ infty}
f{\ displaystyle f}
d{\ displaystyle d}![d](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab)
Für zwei kritische Punkte und von bezeichnen wir den Raum der Umlaufbahnen des Flusses von nach ; ID ist, der Bereich der Anwendungen, die das Problem an den Grenzen überprüfen:
x{\ displaystyle x}
y{\ displaystyle y}
f{\ displaystyle f}
M.±((x,y,f,G){\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ pm} (x, y, f, g)}
±X.{\ displaystyle \ pm X}
x{\ displaystyle x}
y{\ displaystyle y}
R.→M.{\ displaystyle R \ to M}![{\ displaystyle R \ to M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/478d352dc75c61c4009b5012b82088be41285f92)
ddtu((t)=±X.[u((t)]]{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} u (t) = \ pm X \ left [u (t) \ right]}![{\ frac {{\ mathrm d}} {{\ mathrm d} t}} u (t) = \ pm X \ left [u (t) \ right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac5c50f71c2a9998eb3685cdbefd7b67eafe1ff6)
;; und .
limt→- -∞u((t)=x{\ displaystyle \ lim _ {t \ to - \ infty} u (t) = x}
limt→+∞u((t)=y{\ displaystyle \ lim _ {t \ to + \ infty} u (t) = y}![{\ displaystyle \ lim _ {t \ to + \ infty} u (t) = y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a32515a6fa0ca1c529129b854f8e2f395d901ca4)
Die betrachtete Topologie ist im Allgemeinen die Topologie der einheitlichen Konvergenz auf jedem Kompakt von . Das Schreiben der Morse-Homologie wirft nicht die Frage nach der Existenz von Lösungen für dieses Grenzproblem auf. Optional kann leer sein.
R.{\ displaystyle \ mathbb {R}}
M.±((x,y,f,G){\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ pm} (x, y, f, g)}![{\ mathcal {M}} _ {{\ pm}} (x, y, f, g)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f9ea6e9e580a9e732f7859045cd4c30105f4f79)
Der Raum ist natürlich homöomorph am Schnittpunkt des stabilen Verteilers en und des instabilen Verteilers en (für das Feld ).
M.±((x,y,f,G){\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ pm} (x, y, f, g)}
W.s((y,±X.){\ displaystyle W_ {s} (y, \ pm X)}
y{\ displaystyle y}
W.u((x,±X.){\ displaystyle W_ {u} (x, \ pm X)}
x{\ displaystyle x}
±X.{\ displaystyle \ pm X}![{\ displaystyle \ pm X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/151c4ebbabb23d1841f2b930618553a1fc758597)
Unter der Morse-Palais-Bedingung ist dieser Schnittpunkt eine unterschiedliche Teilvariante, deren Dimension als Differenz der Indizes der kritischen Punkte ausgedrückt wird und :
M.{\ displaystyle M}
x{\ displaystyle x}
y{\ displaystyle y}![y](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
-
SonneW.u((x,+X.)∩W.s((y,+X.)=μ((x)- -μ((y)=ν((y)- -ν((x){\ displaystyle \ dim W_ {u} (x, + X) \ cap W_ {s} (y, + X) = \ mu (x) - \ mu (y) = \ nu (y) - \ nu (x )}
;;
-
SonneW.u((x,- -X.)∩W.s((y,- -X.)=μ((y)- -μ((x)=ν((x)- -ν((y){\ displaystyle \ dim W_ {u} (x, -X) \ cap W_ {s} (y, -X) = \ mu (y) - \ mu (x) = \ nu (x) - \ nu (y )}
.
Herkömmlicherweise ist eine Mannigfaltigkeit von streng negativer Dimension leer.
Die Gruppe wirkt kontinuierlich und der Quotient ist eine Sorte, deren Dimension gegeben ist durch:
((R.,+){\ displaystyle (\ mathbb {R}, +)}
M.±((x,y,f,G){\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ pm} (x, y, f, g)}
M.^±((x,y,f,G){\ displaystyle {\ widehat {\ mathcal {M}}} _ {\ pm} (x, y, f, g)}![\ widehat {{\ mathcal {M}}} _ {{\ pm}} (x, y, f, g)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e4f6a6659390529b25dc3952af98a5342ce859e)
-
SonneM.^+((x,y,f,G)=μ((x)- -μ((y)- -1=ν((y)- -ν((x)- -1{\ displaystyle \ dim {\ widehat {\ mathcal {M}}} _ {+} (x, y, f, g) = \ mu (x) - \ mu (y) -1 = \ nu (y) - \ nu (x) -1}
;;
-
SonneM.^- -((x,y,f,G)=μ((y)- -μ((x)- -1=ν((x)- -ν((y)- -1{\ displaystyle \ dim {\ widehat {\ mathcal {M}}} _ {-} (x, y, f, g) = \ mu (y) - \ mu (x) -1 = \ nu (x) - \ nu (y) -1}
.
Orientierung
Bord- oder Cobord-Operator
Gemäß den festen Vereinbarungen definieren wir einen Kanten- oder Cobord-Operator. Die folgende Tabelle fasst die Situation zusammen:
|
Index μ{\ displaystyle \ mu}
|
Index ν{\ displaystyle \ nu}
|
---|
Feld X.{\ displaystyle X}
|
Flugbetreiber
dx=∑y,μ((x)=μ((y)+1∑u∈M.^+((x,y,f,G)ϵ+((u){\ displaystyle \ mathrm {d} x = \ sum _ {y, \ mu (x) = \ mu (y) +1} \ sum _ {u \ in {\ widehat {\ mathcal {M}}} _ { +} (x, y, f, g)} \ epsilon _ {+} (u)}
|
Cobord-Operator
dx=∑y,ν((y)=ν((x)+1∑u∈M.^+((x,y,f,G)ϵ+((u){\ displaystyle \ mathrm {d} x = \ sum _ {y, \ nu (y) = \ nu (x) +1} \ sum _ {u \ in {\ widehat {\ mathcal {M}}} _ { +} (x, y, f, g)} \ epsilon _ {+} (u)}
|
---|
Feld - -X.{\ displaystyle -X}
|
Cobord-Operator
dx=∑y,μ((y)=μ((x)+1∑u∈M.^- -((x,y,f,G)ϵ- -((u){\ displaystyle \ mathrm {d} x = \ sum _ {y, \ mu (y) = \ mu (x) +1} \ sum _ {u \ in {\ widehat {\ mathcal {M}}} _ { -} (x, y, f, g)} \ epsilon _ {-} (u)}
|
Flugbetreiber
dx=∑y,ν((x)=ν((y)+1∑u∈M.^- -((x,y,f,G)ϵ- -((u){\ displaystyle \ mathrm {d} x = \ sum _ {y, \ nu (x) = \ nu (y) +1} \ sum _ {u \ in {\ widehat {\ mathcal {M}}} _ { -} (x, y, f, g)} \ epsilon _ {-} (u)}
|
---|
Wenn es sich um einen Ring mit der Eigenschaft 2 handelt, ist die Einführung von Zeichen nicht erforderlich.
BEIM{\ displaystyle A}![BEIM](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
Anmerkungen und Referenzen
Literaturverzeichnis
(en) Jürgen Jost , Riemannsche Geometrie und geometrische Analyse ,2002[ Detail der Ausgaben ]
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">