Hierarchie (Mathematik)

Wir betrachten eine Reihe von Individuen und eine Reihe von Teilen von . H ist eine Hierarchie, wenn und nur wenn: Ω=((x1,...,xnicht){\ displaystyle \ Omega = (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}H.={H.1,...,H.G}}{\ displaystyle H = \ {H_ {1}, \ dots, H_ {g} \}}Ω{\ displaystyle \ Omega}Ω{\ displaystyle \ Omega}

• ∅∈H.{\ displaystyle \ Emptyset \ in H}.
• was auch immer ich , .{xich}}∈H.{\ displaystyle \ {x_ {i} \} \ in H}
• Ω∈H.{\ displaystyle \ Omega \ in H}.
• was auch immer k und , oder oder .ℓ{\ displaystyle \ ell}H.k∩H.ℓ=∅{\ displaystyle H_ {k} \ cap H _ {\ ell} = \ Emptyset}H.k⊂H.ℓ{\ displaystyle H_ {k} \ subset H _ {\ ell}}H.ℓ⊂H.k{\ displaystyle H _ {\ ell} \ subset H_ {k}}

Zum Beispiel für eine Menge die Menge Ω=((x1,x2,x3,x4){\ displaystyle \ Omega = (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4})}

H.={ ∅ ,{x1}},{x2}},{x3}},{x4}},{x1,x2}},{x3,x4}},{x1,x2,x3,x4}}}}{\ displaystyle H = \ left \ {\ \ Emptyset \, \ {x_ {1} \}, \ {x_ {2} \}, \ {x_ {3} \}, \ {x_ {4} \}, \ {x_ {1}, x_ {2} \}, \ {x_ {3}, x_ {4} \}, \ {x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4} \ } \ Recht \}}

ist eine Hierarchie.

Hinweis auf eine Hierarchie

Wir nennen Index für eine Hierarchie H der Funktion i der in den Eigenschaften zu überprüfen: Ω{\ displaystyle \ Omega}H.∖{ ∅ }}{\ displaystyle H \ backslash \ left \ {\ \ Emptyset \ \ right \}}R.+{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}

• wenn und dann ,.H.k⊂H.ℓ{\ displaystyle H_ {k} \ subset H _ {\ ell}}k≠ℓ{\ displaystyle k \ neq \ ell}ich((H.k)<ich((H.ℓ){\ displaystyle i (H_ {k}) <i (H _ {\ ell})}
• unabhängig von , .xich{\ displaystyle x_ {i}}Ω{\ displaystyle \ Omega}ich(({xich}})=0{\ displaystyle i (\ {x_ {i} \}) = 0}

Das Paar wird dann als indizierte Hierarchie bezeichnet . ((H.,ich){\ displaystyle (H, i)}

Bei kontinuierlichen Daten definiert die Trägheitsfunktion einen Index. In Anbetracht der vorhergehenden Beispiel und unter Berücksichtigung , dass die Punkte Punkte sind Koordinaten xich{\ displaystyle x_ {i}}R.2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}

• x1=((1,0){\ displaystyle x_ {1} = (1,0) \,}
• x2=((1,0,5){\ displaystyle x_ {2} = (1,0.5) \,}
• x3=((2,2){\ displaystyle x_ {3} = (2,2) \,}
• x4=((2,2.2){\ displaystyle x_ {4} = (2,2.2) \,}

Die Trägheitsfunktion nimmt folgende Werte an:

• ich(({x1}})=0{\ displaystyle i \ left (\ {x_ {1} \} \ right) = 0 \,}
• ich(({x2}})=0{\ displaystyle i \ left (\ {x_ {2} \} \ right) = 0 \,}
• ich(({x3}})=0{\ displaystyle i \ left (\ {x_ {3} \} \ right) = 0 \,}
• ich(({x4}})=0{\ displaystyle i \ left (\ {x_ {4} \} \ right) = 0 \,}
• ich(({x1,x2}})=1.125{\ displaystyle i \ left (\ {x_ {1}, x_ {2} \} \ right) = 1.125 \,}
• ich(({x3,x4}})=0,2{\ displaystyle i \ left (\ {x_ {3}, x_ {4} \} \ right) = 0.2 \,}
• ich(({x1,x2,x3,x4}})=4,5674{\ displaystyle i \ left (\ {x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4} \} \ right) = 4.5674 \,}

Eine solche Hierarchie kann durch das folgende Dendrogramm dargestellt werden :