Oberflächengravitation

In der Astronomie ist die Oberflächengravitation die Intensität des Gravitationsfeldes auf der Oberfläche eines astrophysikalischen Objekts ( Planet , Stern oder anderes). Dieses Konzept wird auch, wenn auch auf etwas andere Weise, in der Schwarzlochphysik verwendet, wo es die Geschwindigkeit reguliert, mit der das Gravitationsfeld im klassischen Sinne des Begriffs divergiert, wenn es sich der Oberfläche des Schwarzen Lochs nähert, d. H. Über seinen Horizont sagt .

In der Stern- und Substellarphysik (Braune Zwerge, massive Exoplaneten) wird üblicherweise der Dezimallogarithmus des im CGS-System ausgedrückten Werts (cm / s²) verwendet.

Newtonsche Formel

Im Rahmen der klassischen Mechanik wird die Oberflächengravitation durch die übliche Formel des Gravitationsfeldes eines kugelförmigen Objekts gegeben, nämlich: $\ kappa$

{\ displaystyle \ kappa = {\ frac {GM} {R ^ {2}}} = {\ frac {\ mu} {R ^ {2}}}}

oder :

$G$ ist die Gravitationskonstante ;
$M.$ ist die Masse des betrachteten Objekts;
$R.$ ist sein Radius, wobei das Objekt als ungefähr kugelförmig betrachtet wird;
$\ mu$ ist der Standard-Gravitationsparameter, der der Masse des Gegenstands zugeordnet ist . $\ mu = GM$

Himmelskörper des Sonnensystems

Himmelskörper	Oberflächengravitation
Sonne	273,95 m · s -2
Merkur	3,701 m · s -2
Venus	8,87 m · s -2
Erde	9,78 (Äquator) bis 9,83 m · s -2 (Stift)
Mond	1,622 m · s -2
März	3,711 m · s -2
Jupiter	24,796 m · s -2
Saturn	10,44 m · s -2
Titan	1,352 m · s -2
Uranus	8,87 m · s -2
Neptun	11,15 m · s -2

Fall von schwarzen Löchern

Im Kontext der Schwarzlochphysik ist es möglich, ein Analogon zum Konzept der Oberflächengravitation zu definieren. Wir müssen uns jedoch der Tatsache bewusst sein, dass ein Schwarzes Loch fast per Definition als ein Objekt betrachtet werden kann, auf dessen "Oberfläche" (dh auf Höhe seines Horizonts ) das Gravitationsfeld unendlich ist. Es gibt jedoch, die eine andere Menge divergiert , wenn man den Horizont eines schwarzen Lochs erreicht: es das ist Gravitations Rotverschiebung der Signale aus dieser Zone emittiert werden . In diesem Zusammenhang definieren wir die Oberflächengravitation eines Schwarzen Lochs durch die Grenze des Verhältnisses zwischen der Intensität des Gravitationsfeldes und der durch das Schwarze Loch verursachten Rotverschiebung. Wir können dann zeigen, dass diese Größe endlich bleibt, wenn wir uns dem Horizont nähern, und dass im einfachsten Fall eines Schwarzschild-Schwarzen Lochs ihr Wert dem entspricht, den wir bei einer Newtonschen Behandlung naiv ableiten würden, c 'das heißt es ist wieder G M / R 2 wert .

Formel und Sonderfälle

Der genaue Ausdruck der Oberflächengravitation wird in geometrischen Einheiten geschrieben .

{\ displaystyle \ kappa = {\ frac {\ sqrt {M ^ {2} -a ^ {2} -Q ^ {2}}} {2M \ left (M + {\ sqrt {M ^ {2} -a ^ {2} -Q ^ {2}}} \ right) -Q ^ {2}}}}

wobei M , Q , a jeweils die Masse, die elektrische Ladung und den reduzierten Drehimpuls (d. h. das Verhältnis von Drehimpuls zu Masse) des Schwarzen Lochs darstellen.

Für ein extremes Schwarzes Loch , für das die Menge verschwindet, haben wir ${\ displaystyle M ^ {2} -a ^ {2} -Q ^ {2}}$

{\ displaystyle \ kappa _ {\ rm {Ext}} = 0}

Im Fall eines Schwarzschild-Schwarzen Lochs , dh im Gegenteil ohne elektrische Ladung oder Drehimpuls, erhalten wir

{\ displaystyle \ kappa = {\ frac {1} {4M}}}

was mit den Einheiten des Internationalen Systems gibt ,

{\ displaystyle \ kappa _ {\ rm {Sch}} = {\ frac {GM} {R ^ {2}}}}

mit

R = \ frac {2 GM} {c ^ 2}

entsprechend dem Radius von Schwarzschild . Daher durch Eliminieren : $R.$

{\ displaystyle \ kappa _ {\ rm {Sch}} = {\ frac {1} {M}} \ left ({\ frac {c ^ {4}} {4G}} \ right)}

Wir erkennen dort die Kraft, die der Wert der Kraft von Planck ist . Die Oberflächengravitation eines Schwarzschild-Schwarzen Lochs ist daher umgekehrt proportional zu seiner Masse , wobei sein Wert die Umkehrung seiner Masse in reduzierten Planck-Einheiten ist (wobei G durch 4G ersetzt wird). ${\ displaystyle c ^ {4} / 4G}$ $M.$

Eigenschaften der Oberflächengravitation eines Schwarzen Lochs

Die Haupteigenschaft der Oberflächengravitation eines Schwarzen Lochs besteht darin, dass sie über die gesamte Oberfläche des Schwarzen Lochs streng konstant ist. Dieses Ergebnis ist im Fall eines sphärisch symmetrischen Schwarzen Lochs (Schwarzschild- und Reissner-Nordström- Schwarzes Loch ) logisch , aber es ist überraschender, wenn das Schwarze Loch aufgrund seiner Rotation nicht kugelförmig ist ( Kerr-Schwarzes Loch oder von Kerr-Newman ). .

Die Oberflächengravitation kann bestimmt werden, indem die partielle Ableitung der Masse eines Schwarzen Lochs in Bezug auf seine Oberfläche A berechnet wird, während seine elektrische Ladung Q und sein Drehimpuls L gemäß der Formel festgehalten werden

{\ displaystyle \ kappa = {\ frac {G} {8 \ pi}} \ left ({\ frac {\ partielles M} {\ partielles A}} \ rechts) _ {Q, L}}

Daher wird die Differenz der Masse eines Schwarzen Lochs in das System der geometrischen Einheiten geschrieben .

{\ displaystyle {\ rm {d}} M = {\ frac {\ kappa} {8 \ pi}} {\ rm {d}} A + ...}

Die Tatsache, dass die Oberfläche eines Schwarzen Lochs notwendigerweise mit der Zeit wächst und die Oberflächengravitation am Horizont eines Schwarzen Lochs konstant ist, ist mit den Prinzipien der Thermodynamik zu vergleichen, die besagen, dass die Temperatur eines Objekts im Gleichgewicht überall ist das gleiche im Objekt und dass seine Entropie nur mit der Zeit zunehmen kann. Diese Tatsache ist in der Tat nicht trivial und ist der Ursprung der Entwicklung einer tiefen Analogie zwischen Schwarzen Löchern und Thermodynamik: der Thermodynamik von Schwarzen Löchern . Die Demonstration dieses Ergebnisses ist relativ komplex und geht auf Brandon Carter , Stephen Hawking und James Bardeen im Jahr 1973 zurück .

Anmerkungen

(in) James M. Bardeen , Brandon Carter und Hawking , Die vier Gesetze der Schwarzlochmechanik , Kommunikation in der mathematischen Physik , 31 , 161-170 (1973) Siehe online .

Verweise

(en) Robert M. Wald , Allgemeine Relativitätstheorie , University of Chicago Press ,1984498 p. ( ISBN 0226870332 ), Seite 330 bis 334.
„ Auf Exoplaneten laufen: Stimmt Star Wars? "[" Auf Exoplaneten gehen: Stimmt Star Wars ? " »], ArXiv ,2016( online lesen )