MacCullagh-Formel

Die Formel MacCullagh ist eine wichtige Formel, um das Schwerefeld eines nicht kugelförmigen Körpers in ausreichendem Abstand, aber nicht groß im Vergleich zu den linearen Abmessungen des Körpers zu beschreiben. Es wird erhalten, indem man von der grundlegenden Definition des Gravitationspotentials ausgeht, ohne eine allgemeine Entwicklung von Laplace durchzuführen, von der es einen auf eine Annäherung der Ordnung 2 beschränkten Sonderfall darstellt. Es wird in der theoretischen Geodäsie und in der Geophysik häufig verwendet .

Allgemeiner Ausdruck des Gravitationspotentials

In sphärischen Koordinaten bezeichnen die Radialkomponente des Positionsvektors eines Punktes potenziert durch , und der der Positionsvektor eines Punktes potenzierende durch . Der Ursprung des Koordinatensystems ist vorerst noch willkürlich. Der Winkel zwischen den Vektoren und wird notiert und das Massenelement ist , die Gesamtmasse des Körpers B ist . Unter diesen Bedingungen kann das vom Körper B am Punkt erzeugte Gravitationspotential in aller Allgemeinheit geschrieben werden ${\ mathbf {r}}$ $P$ $r$ ${\ displaystyle \ mathbf {r '}}$ $P '$ $r'$ $Ö$ ${\ mathbf {r}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r '}}$ $\ psi$ $P '$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} M (\ mathbf {r '})}$ $M$ ${\ Displaystil V (P)}$ $P$

{\ displaystyle V (P) = G \ int _ {M} {\ frac {1} {\ | \ mathbf {r '} - \ mathbf {r} \ |}} \, \ mathrm {d} M (\ mathbf {r '})}

mit

{\ displaystyle \ | \ mathbf {r '} - \ mathbf {r} \ | = r {\ sqrt {1-2 {\ frac {r'} {r}} \ cos \ psi + \ left ({\ frac {r '} {r}} \ richtig) ^ {2}}}}

Die Konstante bezeichnet die Gravitationskonstante von Newton . $G$

Als wann finden wir, indem wir posieren : ${\ displaystyle (1 + x) ^ {- 1/2} = 1-x / 2 + 3x ^ {2} / 8 + o (x ^ {3})}$ ${\ displaystyle -1 \ leq x \ leq +1}$ ${\ displaystyle x = -2 (r '/r) \ cos \ psi + (r' / r) ^ {2}}$

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1-2 {\ frac {r '} {r}} \ cos \ psi + \ left ({\ frac {r'} {r}} \ right) ^ {2}}}} = 1 + {\ frac {r '} {r}} \ cos \ psi - {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {r'} {r}} \ rechts) ^ {2} + {\ frac {3} {2}} \ left ({\ frac {r '} {r}} \ right) ^ {2} \ cos ^ {2} \ psi + o \ left [\ links ({\ frac {r '} {r}} \ rechts) ^ {3} \ rechts]}

Daher haben wir

{\ displaystyle {\ frac {r} {\ | \ mathbf {r '} - \ mathbf {r} \ |}} = 1 + {\ frac {r'} {r}} \ cos \ psi + \ left ( {\ frac {r '} {r}} \ rechts) ^ {2} - {\ frac {3} {2}} \ links ({\ frac {r'} {r}} \ rechts) ^ {2} \ sin ^ {2} \ psi + \ Punkte}

Das Gravitationspotential ist daher $P$

{\ displaystyle V (P) = {\ frac {G} {r}} \ int _ {M} \ mathrm {d} M + {\ frac {G} {r ^ {2}}} \ int _ {M } r '\ cos \ psi \ mathrm {d} M + {\ frac {G} {r ^ {3}}} \ int _ {M} r' ^ {2} \ mathrm {d} M - {\ frac {3G} {2r ^ {3}}} \ int _ {M} r '^ {2} \ sin ^ {2} \ psi \ mathrm {d} M + \ Punkte}

Theorem von MacCullagh

Dies zeigt, dass in der Näherung 2. Ordnung das Gravitationspotential in vier verschiedene Terme unterteilt werden kann , , , oder ${\ Displaystil V (P)}$ ${\ Anzeigestil V_ {0} (P)}$ ${\ displaystyle V_ {1} (P)}$ ${\ displaystyle V_ {2} (P)}$ ${\ Displaystil V_ {3} (P)}$

{\ displaystyle V (P) = V_ {0} (P) + V_ {1} (P) + V_ {2} (P) + V_ {3} (P)}

Der erste Begriff,

{\ displaystyle V_ {0} = Gr ^ {- 1} \ int _ {M} \, \ mathrm {d} M = GMr ^ {- 1}}

entspricht dem Potential einer kugelförmigen Verteilung, das dem einer Punktmasse gleich der in der ganzen Kugel enthaltenen Masse entspricht. In großer Entfernung ist es offensichtlich der dominierende Term, da seine Abnahme in 1 / r langsamer ist als die der anderen Terme. Dies ist das klassische Newtonsche Potential, das verwendet wird, um die Keplerschen Bahnen der Planeten zu bestimmen. Es soll einem Monopol oder einer monopolaren Massenverteilung entsprechen .

Der zweite Begriff,

{\ displaystyle V_ {1} = Gr ^ {- 2} \ int _ {M} r '\ cos \ psi \, \ mathrm {d} M}

entspricht einer dipolaren Massenverteilung , also einem Dipol . Durch die Wahl des Koordinatenursprungs im Massenmittelpunkt des Körpers wird dieser Term aufgehoben . In der Tat können wir mit Bezug auf die nebenstehende Abbildung schreiben:

{\ displaystyle V_ {1} = Gr ^ {- 2} \ int _ {M} r '\ cos \ psi \, \ mathrm {d} M = Gr ^ {- 2} \ int _ {M} x \, \ mathrm {d} M = GMr ^ {- 2} x_ {0}}

wobei die Komponente entlang einer Achse Ox der Position des Massenschwerpunkts bezeichnet. $x_ {0}$

Die dritten und vierten Terme und beziehen sich auf eine Quadrupol-Massenverteilung , also auf einen Quadrupol . Denn wir finden nacheinander $V_ {2}$ ${\ Displaystil V_ {3}}$ $V_ {2}$

{\ displaystyle V_ {2} = Gr ^ {- 3} \ int _ {M} r '^ {2} \, \ mathrm {d} M = Gr ^ {- 3} \ int _ {M} (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}) \ mathrm {d} M = {\ frac {1} {2}} Gr ^ {- 3} \ int _ {M} [(y ^ { 2} + z ^ {2}) + (x ^ {2} + z ^ {2}) + (x ^ {2} + y ^ {2})] \, \ mathrm {d} M = {\ frac {1} {2}} Gr ^ {- 3} (A + B + C)}

wobei , , die drei Trägheitsmomente in Bezug auf die Achsen Ox, Oy bzw. Oz bezeichnen. Durch die Definition des mittleren Trägheitsmoments als $BEIM$ $B$ $VS$ ${\ displaystyle {\ bar {I}}}$

{\ displaystyle {\ bar {I}} = {\ frac {1} {3}} (A + B + C)}

Also haben wir

{\ displaystyle V_ {2} = {\ frac {3} {2}} Gr ^ {- 3} {\ bar {I}}}

Für finden wir ${\ Displaystil V_ {3}}$

{\ displaystyle V_ {3} = - {\ frac {3} {2}} Gr ^ {- 3} \ int _ {M} r '^ {2} \ sin ^ {2} \ psi \, \ mathrm { d} M = - {\ frac {3} {2}} Gr ^ {- 3} \ int _ {M} r '^ {2} \ cos ^ {2} \ alpha \, \ mathrm {d} M = {\ frac {3} {2}} Gr ^ {- 3} I}

wo ist das Trägheitsmoment um die Richtung OP . Wir landen somit bei der Formel von MacCullagh (manchmal auch Theorem genannt ) : $ich$

{\ displaystyle V (P) = GMr ^ {- 1} - {\ frac {3} {2}} Gr ^ {- 3} (I - {\ bar {I}})}

Dies gilt sehr nützlich für fast kugelförmige Körper wie die Erde und die Planeten, und es ist eine Näherung, die in ausreichender Entfernung für einen Körper beliebiger Symmetrie noch gültig ist. Es gibt offensichtlich eine implizite Einschränkung ihrer Gültigkeit durch die Tatsache, dass die Reihe auf Ordnung 2 gekürzt wurde: Harmonische größer als Grad 2 sind natürlich notwendig, um das äußere Schwerefeld in aller Allgemeinheit genauer darzustellen .

MacCullagh-Formel für Körper mit Rotationssymmetrie

Das Trägheitsmoment I um eine Achse durch den Massenmittelpunkt O eines Körpers kann durch die Hauptträgheitsmomente , geschrieben werden , die man durch Diagonalisierung vor der 3x3-Matrix erhält, die den Trägheitstensor mit der Beziehung $BEIM$ $B$ $VS$

{\ displaystyle I = n_ {x} ^ {2} A + n_ {y} ^ {2} B + n_ {z} ^ {2} C}

Dabei bezeichnen , , den Richtungskosinus der Achse OP in Bezug auf die Hauptträgheitsachsen Ox, Oy bzw. Oz. $n_ {x}$ $n_ {j}$ $n_ {z}$

Unter der Annahme, dass sich der Körper um die Achse Oz dreht, dh dass er eine axiale Symmetrie der Achse Oz hat, erhalten wir . Bezeichnen wir mit dem Winkel, den die Richtung OP mit der Ebene Oxy bildet. Dann und wegen der Beziehung zwischen den Richtkosinus finden wir $A = B$ $\ phi$ ${\ displaystyle n_ {z} = \ sin \ phi}$ ${\ displaystyle n_ {x} ^ {2} + n_ {y} ^ {2} + n_ {z} ^ {2} = 1}$

{\ displaystyle \ sin ^ {2} \ phi = 1-n_ {x} ^ {2} -n_ {y} ^ {2}}

Mit wird die Formel von MacCullagh $A = B$

{\ displaystyle V (P) = GMr ^ {- 1} - {\ frac {1} {2}} Gr ^ {- 3} (3I-2A-C)}

Bei axialer Symmetrie hat das Trägheitsmoment I selbst die Form

{\ displaystyle I = A (n_ {x} ^ {2} + n_ {y} ^ {2}) + C \ sin ^ {2} \ phi = A (1- \ sin ^ {2} \ phi) + C \ sin^ {2} \ phi}

Die Formel von MacCullagh für einen Körper der Revolution nimmt daher schließlich folgende Form an:

{\ displaystyle V (P) = GMr ^ {- 1} - {\ frac {1} {2}} Gr ^ {- 3} (CA) (1-3 \ sin ^ {2} \ phi)}

Geodynamischer Formfaktor

Andererseits wird, noch unter der Annahme einer Achsensymmetrie, die allgemeine Entwicklung des Gravitationspotentials in Multipolen beschränkt auf die Terme der Ordnung 2 geschrieben

{\ displaystyle V (P) = GMr ^ {- 1} -J_ {2} GMa ^ {2} r ^ {- 3} P_ {2} (\ cos \ theta)}

oder

{\ displaystyle P_ {2} (\ cos \ theta) = {\ frac {3} {2}} \ sin ^ {2} \ phi - {\ frac {1} {2}}}

ist das Legendre-Polynom vom Grad 2. Wir haben also

{\ displaystyle V (P) = GMr ^ {- 1} - {\ frac {1} {2}} J_ {2} GMa ^ {2} r ^ {- 3} (1-3 \ sin ^ {2} \ phi)}

Im Fall der Erde wird der zonale Geopotentialkoeffizient vom Grad 2, d . h. oft als "geodynamischer Formfaktor" bezeichnet. Man erhält es, indem man diese letzte Formel mit der von MacCullagh identifiziert, d.h $J_ {2}$

{\ displaystyle J_ {2} = {\ frac {CA} {Ma ^ {2}}}}

Einige Geodäten nennen diese letzte Relation auch "MacCullagh-Formel", aber diese Verwendung scheint nicht sehr vernünftig zu sein.

Anmerkungen

Das Gravitationspotential wird hier als Arbeit definiert. In der Physik ist es eher üblich, das Gravitationspotential als Wechselwirkungsenergie zu definieren , so dass . $V$ $\ Phi$ ${\ displaystyle \ Phi = -V}$
${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {1} {\ sqrt {1-2 {\ frac {r '} {r}} \ cos \ psi + \ left ({\ frac {r'} {r}} \ right ) ^ {2}}}} = 1 - {\ frac {1} {2}} \ left [-2 {\ frac {r '} {r}} \ cos \ psi + \ left ({\ frac {r '} {r}} \ right) ^ {2} \ right] + {\ frac {3} {8}} \ left [-2 {\ frac {r'} {r}} \ cos \ psi + \ left ({\ frac {r '} {r}} \ rechts) ^ {2} \ rechts] ^ {2} + \ Punkte}$ ${\ displaystyle \ textstyle = 1 + {\ frac {r '} {r}} \ cos \ psi - {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {r'} {r}} \ right ) ^ {2} + {\ frac {3} {8}} \ left [4 \ left ({\ frac {r '} {r}} \ right) ^ {2} \ cos ^ {2} \ psi - 4 \ left ({\ frac {r '} {r}} \ right) ^ {3} \ cos \ psi + \ left ({\ frac {r'} {r}} \ right) ^ {4} \ right ] + \ Punkte}$ ${\ displaystyle \ textstyle = 1 + {\ frac {r '} {r}} \ cos \ psi - {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {r'} {r}} \ right ) ^ {2} + {\ frac {3} {2}} \ left ({\ frac {r '} {r}} \ right) ^ {2} \ cos ^ {2} \ psi + o \ left [ \ links ({\ frac {r '} {r}} \ rechts) ^ {3} \ rechts]}$
. ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {r} {\ | \ mathbf {r '} - \ mathbf {r} \ |}} = 1 + {\ frac {r'} {r}} \ cos \ psi + { \ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {r '} {r}} \ right) ^ {2} (3 \ cos ^ {2} \ psi -1) + \ dots = 1 + { \ frac {r '} {r}} \ cos \ psi + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {r'} {r}} \ right) ^ {2} (3-3 \ sin ^ {2} \ psi -1) + \ Punkte}$ ${\ displaystyle \ textstyle = 1 + {\ frac {r '} {r}} \ cos \ psi + \ left ({\ frac {r'} {r}} \ right) ^ {2} - {\ frac { 3} {2}} \ left ({\ frac {r '} {r}} \ right) ^ {2} \ sin ^ {2} \ psi + \ dots}$
So gelingt es, den Masseschwerpunkt der Erde genau zu bestimmen, indem man (durch sukzessive Näherungen) den Bezugssystem bestimmt, in dem sich die Dipolkoeffizienten des Schwerefeldes gegenseitig aufheben.
Hier markieren wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit die Lage eines beliebigen Punktes des Körpers B durch kartesische Koordinaten , , . $x$ $ja$ $z$
In einem geophysikalischen Kontext repräsentiert der Winkel im Allgemeinen die Breite des Ortes oder liegt sehr nahe daran. $\ phi$
. ${\ displaystyle V (P) = GMr ^ {- 1} - {\ frac {1} {2}} Gr ^ {- 3} (3I-2A-C) = GMr ^ {- 1} - {\ frac { 1} {2}} Gr ^ {- 3} (3A-3A \ sin ^ {2} \ phi + 3C \ sin ^ {2} \ phi -2A-C) = GMr ^ {- 1} - {\ frac {1} {2}} Gr ^ {- 3} [AC-3 (AC) \ sin ^ {2} \ phi] = GMr ^ {- 1} + {\ frac {1} {2}} Gr ^ { -3} (CA) (1-3 \ sin ^ {2} \ phi)}$