Kelvin-Bessel-Funktion

Die Merkmale Kelvin-Bessel sind mathematische Funktionen, die aus den Bessel-Funktionen erhalten werden , wobei für letztere die Quadratwurzel einer imaginären reinen Zahl als Argument herangezogen wird .
Sie werden im Elektromagnetismus verwendet , um die Lösungen von Maxwell-Gleichungen in leitenden Feldern mit zylindrischer Form zu untersuchen.

Definition

Wir definieren zwei Familien von Kelvin-Bessel-Funktionen. Die erste Familie umfasst zwei Funktionen und Ordnungen , die sich auf die Bessel-Funktionen der ersten Art beziehen: ${\ displaystyle \ mathrm {ber} _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {bei} _ {\ nu}}$ $\nackt$

{\ displaystyle J _ {\ nu} (e ^ {i \, 3 \, \ pi / 4} \, x) = \ operatorname {ber} _ {\ nu} (x) + i \, \ operatorname {bei } _ {\ nu} (x)}

Eine andere Möglichkeit, diese Funktionen zu definieren, besteht darin, sie als Reihe zu schreiben :

{\ displaystyle \ operatorname {ber} _ {\ nu} (x) = \ sum _ {p = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ cos \ pi \, ({\ frac {3 \, \ nu } {4}} + {\ frac {p} {2}})} {p! \, \ Gamma (\ nu + p + 1)}} \ left ({\ frac {x} {2}} \ right ) ^ {2p + \ nu}}

{\ displaystyle \ operatorname {bei} _ {\ nu} (x) = \ sum _ {p = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin \ pi \, ({\ frac {3 \, \ nu } {4}} + {\ frac {p} {2}})} {p! \, \ Gamma (\ nu + p + 1)}} \ left ({\ frac {x} {2}} \ right ) ^ {2p + \ nu}}

Die zweite Familie umfasst zwei weitere Funktionen und Ordnungen , die sich auf modifizierte Bessel-Funktionen der zweiten Art beziehen: ${\ displaystyle \ mathrm {ker} _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {kei} _ {\ nu}}$ $\nackt$

{\ displaystyle e ^ {- i \, \ pi \, \ nu / 2} \, K _ {\ nu} (e ^ {i \, \ pi / 4} \, x) = \ operatorname {ker} _ {\ nu} (x) + i \, \ operatorname {kei} _ {\ nu} (x)}

Einige Eigenschaften

Grafische Darstellung

Die Kelvin-Bessel-Ordnungsfunktionen , einfacher ausgedrückt und , sind in der folgenden Abbildung für kleine Werte von dargestellt : ${\ displaystyle \ nu = 0}$ ${\ displaystyle \ mathrm {ber} (x)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {bei} (x)}$ $x$

Zugehörige Differentialgleichung

Die Funktionen und sind Lösungen der folgenden speziellen Bessel-Gleichung: ${\ displaystyle \ mathrm {ber} _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {bei} _ {\ nu}}$

{\ displaystyle x ^ {2} \, {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} y} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} + x \, {\ frac {\ mathrm {d } y} {\ mathrm {d} x}} - (i \, x ^ {2} + \ nu ^ {2}) \, y = 0}

deren allgemeine Lösung geschrieben ist

{\ displaystyle y (x) = \ operatorname {ber} _ {\ nu} (x) + i \, \ operatorname {bei} _ {\ nu} (x)}

Primitive

{\ displaystyle \ int \ operatorname {ber} _ {\ nu} (x) \, x ^ {1+ \ nu} \, \ mathrm {d} x = - {\ frac {x ^ {1+ \ nu} } {\ sqrt {2}}} \, (\ operatorname {ber} _ {\ nu +1} (x) - \ operatorname {bei} _ {\ nu +1} (x))}

{\ displaystyle \ int \ operatorname {bei} _ {\ nu} (x) \, x ^ {1+ \ nu} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {x ^ {1+ \ nu}} {\ sqrt {2}}} \, (\ operatorname {ber} _ {\ nu +1} (x) - \ operatorname {bei} _ {\ nu +1} (x))}

Verweise

A. Angot, Mathe Zusätze , die von den Ingenieuren der Elektrotechnik und Telekommunikation , 6 th Edition, Masson, Paris, 1972.